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1、第七节 函数的图象与变换基础知识梳理1基本初等函数及图象(大致图象)函数函数图象图象一次函数一次函数ykxb二次函数二次函数yax2bxc基础知识梳理函数函数图图象象指数函数指数函数yax对数函数对数函数ylogax基础知识梳理2.函数图象的作法(1)描点法：通过 、 、 三个步骤，有时用函数的奇偶性和周期性(2)图象变换法平移变换：y f(x) yf(xa)y f(x) yf(x)ba0，右移，右移a个单位个单位 a0，左移，左移|a|个单位个单位b0，上移，上移b个单位个单位b0，下移，下移|b|个单位个单位列表列表描点描点连线连线基础知识梳理伸缩变换：yf(x) yf(x)yf(x) y
2、Af(x)0 01 1，伸为原来，伸为原来倍倍 1 1, ,缩为原来缩为原来 倍倍A A1 1，伸为原来，伸为原来A A倍倍0 0A A1 1，缩为原来，缩为原来A A倍倍1 11 1基础知识梳理对称变换：yf(x) yf(x)yf(x) yf(x)yf(x) yf(x)yf(x) yf1(x)关于关于x轴对称轴对称关于直线关于直线y=x对称对称关于原点对称关于原点对称关于关于y轴对称轴对称基础知识梳理yf(x) yf(|x|)yf(x) y|f(x)|去掉左边图，留下右边图，去掉左边图，留下右边图，并作并作y轴对称图象轴对称图象保留保留x轴上方图，把下轴上方图，把下方图对称到方图对称到x轴上
3、方轴上方基础知识梳理3图象的应用识图和用图是解题的两个重要环节识图要从图象上下、左右、范围、趋势、对称性等方面分析，然后利用“数”与“形”的联系，获得最佳解题途径三基能力强化1(2010年中山市四校联考)函数y 的图象大致是_答案：答案：三基能力强化2现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间t的函数关系的是_三基能力强化答案：答案：三基能力强化3函数f(x)2x的反函数yf1(x)的图象是_三基能力强化答案：答案：三基能力强化4(2010年苏州模拟)已知函数f(x)x，g(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，g(x)lnx，则函数yf(x
4、)g(x)的图象大致为_三基能力强化解析：解析： 在在R上，上，f(x)x为奇函数，为奇函数，g(x)为偶函数，为偶函数， f(x)g(x)是奇函数，它的图象关是奇函数，它的图象关于原点对称，于原点对称，又当又当0x0，g(x)0， f(x)g(x)0.答案：答案：三基能力强化5已知图(1)中的图象对应的函数为yf(x)，则图(2)中的图象对应的函数在下列给出的四式中，只可能是_yf(|x|)yf(|x|)y|f(x)|y|f(|x|)|三基能力强化答案：答案：课堂互动讲练作函数的图象，利用图象变换的方法比较快捷，变换的每个过程要依次进行，同时注意结合函数的性质来规范图象的变化趋势，以求图象准
5、确作图作图考点一考点一课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】本题函数为分式本题函数为分式函数，可先用分离法化简解析式，继函数，可先用分离法化简解析式，继而看作由反比例函数图象变化得到而看作由反比例函数图象变化得到例例例例1 1画出函数画出函数y 的图象，的图象，试分析其性质试分析其性质课堂互动讲练课堂互动讲练具体画图时对于图象与坐标轴的交点位置要具体画图时对于图象与坐标轴的交点位置要大致准确，即大致准确，即x0，y1，y0，x .故图象一定过故图象一定过(0，1)和和( ，0)两个两个关键点关键点 再观察其图象可以得到如下性质：定义再观察其图象可以得到如下性质：定义域域x|x3，x R，值域，值域y
6、|y2，y R，在，在区间区间(，3)和和(3，)上单调递增，既不上单调递增，既不是奇函数也不是偶函数，但是图象是中心对是奇函数也不是偶函数，但是图象是中心对称图形，对称中心是称图形，对称中心是(3，2)课堂互动讲练【点评点评】函数的图象是函数关系的函数的图象是函数关系的一种直观表示形式，它从一种直观表示形式，它从“图形图形”方面刻方面刻画了函数的变化规律通过观察函数的画了函数的变化规律通过观察函数的图象，可以形象地揭示函数的有关性质，图象，可以形象地揭示函数的有关性质，充分利用函数的图象既有助于记忆函数充分利用函数的图象既有助于记忆函数的性质和变化规律，又能利用数形结合的性质和变化规律，又能
7、利用数形结合的方法去解决某些问题的方法去解决某些问题课堂互动讲练1利用函数利用函数f(x)2x的图象，作出下的图象，作出下列各函数的图象列各函数的图象(1)y( )x；(2)f(|x|)；(3)f(x)1；(4)|f(x)1|；(5)f(x)；(6)f(x1)解：解：利用利用f(x)2x的图象及其变换作的图象及其变换作图法可作出所要作的图象，其图象如下：图法可作出所要作的图象，其图象如下： 跟踪训练跟踪训练课堂互动讲练 跟踪训练跟踪训练课堂互动讲练观察函数图象并能正确解读出图象所反映出的函数性质是“数形结合法”的基本要求，这也是“数形结合”的本质所在抓住图象基本的特征并结合相关的性质可以识别图
8、象，但也要变换认识的角度，才能更好地理解图象所反映出的信息图象的识别图象的识别考点二考点二课堂互动讲练例例例例2 2课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】利用函数的性质，再利用函数的性质，再区别各图象的不同之处作出判断区别各图象的不同之处作出判断【答案答案】课堂互动讲练【点评点评】识别函数图象可抓住函识别函数图象可抓住函数的性质如定义域、值域数的性质如定义域、值域(最值点最值点)、单、单调性调性(趋向趋向)、对称性等来判断，对函数、对称性等来判断，对函数出现的一些特殊的点，如与坐标轴的交出现的一些特殊的点，如与坐标轴的交点，以及函数值的正负等情况，都是判点，以及函数值的正负等情况，都是判别函数的图象
9、时常用到的对不同的图别函数的图象时常用到的对不同的图象也可采取对比比较来判断象也可采取对比比较来判断课堂互动讲练2(2009年高考江西卷改编)如图所示 ，一质点P(x，y)在xOy平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x轴上的投影点Q(x,0)的运动速度VV(t)的图象大致为_ 跟踪训练跟踪训练课堂互动讲练 跟踪训练跟踪训练课堂互动讲练解析：解析：由图可知，当质点由图可知，当质点P(x，y)在两个封闭曲线上运动时，在两个封闭曲线上运动时， 投影点投影点Q(x,0)的速度先由正到的速度先由正到0、到负数，再、到负数，再到到0，到正，故，到正，故错误；质点错误；质点P(x，y)在终点的速度是由大到小
10、接近在终点的速度是由大到小接近0，故，故错误；质点错误；质点P(x，y)在开始时沿直线运在开始时沿直线运动，故投影点动，故投影点Q(x,0)的速度为常数，因的速度为常数，因此此是错误的，是错误的，正确正确答案：答案： 跟踪训练跟踪训练课堂互动讲练1函数图象的应用主要是指数形结合思想的具体应用因为函数的图象能很好的反映出函数的性质，所以在研究函数的性质时要注意结合图象，在解方程和不等式时借助图象，利用数形结合能起到事半功倍的效果函数图象的应用函数图象的应用考点三考点三课堂互动讲练2函数的图象是函数的一种表示方法，它形象地展示了函数的几何特征、函数的性质以及性质的数量关系，直观有效地揭示了函数的值
11、域、单调性、奇偶性等基本性质，是数形结合思想的考查热点和重点因此，要熟练绘制各种基本初等函数的图象，掌握函数图象的变换，利用函数图象的直观性将问题化繁为简、化难为易课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】画出函数画出函数f(x)的图的图象，观察象，观察a、b在图象中的位置变化在图象中的位置变化例例例例3 3设设f(x)|2x2|，若，若ab0，且，且f(a)f(b)，则，则ab的取值范围是的取值范围是_课堂互动讲练【解析解析】保留函数保留函数y2x2在在x轴上方的图象，将其在轴上方的图象，将其在x轴下方的轴下方的图象翻折到图象翻折到x轴上方区即可得到函数轴上方区即可得到函数f(x)|2x2|的图象的图
12、象课堂互动讲练 通过观察图象，可知通过观察图象，可知f(x)在区间在区间(， )上是减函数，在区间上是减函数，在区间( ，0上是增函数，上是增函数，由由ab0，且，且f(a)f(b)可知可知a b0，所，所以以f(a)a22，f(b)2b2，从而，从而a222b2，即，即a2b24，又，又2|ab|a2b24，所以，所以0ab2.【答案答案】(0,2)课堂互动讲练【点评点评】考查函数图象的翻折考查函数图象的翻折变换体现了数学由简到繁的原则，变换体现了数学由简到繁的原则，通过研究函数通过研究函数y2x2的图象和性质，的图象和性质，进而得到进而得到f(x)|2x2|的图象和性质的图象和性质课堂互动
13、讲练3在例3中条件ab0变为ab0，b0，cR)是奇函数，当x0时，f(x)有最小值2，其中bN*且f(1)0时，时，f(x)有有最小值最小值2；b N*，且，且f(1) ，可求，可求a，b，c的值，从而可以确定函数的值，从而可以确定函数f(x)的的解析式解析式课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练(2)设存在一点设存在一点(x0，y0)在在yf(x)的图的图象上，并且关于点象上，并且关于点(1,0)的对称点的对称点(2x0，y0)也在也在yf(x)的图象上的图象上课堂互动讲练 【点评点评】函数的奇偶性、周期性与函数函数的奇偶性、周期性与函数图象的对称性常会放置在一起综合考查函数图象的对称性常会
14、放置在一起综合考查函数f(x)上的某点上的某点A(x0，y0)关于点关于点(a，b)的对称点为的对称点为A(2ax0,2by0)，利用此关系可求点的坐标，利用此关系可求点的坐标或证明函数关于某点的对称问题或证明函数关于某点的对称问题课堂互动讲练 自我挑战自我挑战课堂互动讲练解：解： (1)(1)法一：法一：设设P(x，y)是函数是函数h(x)的图象上任意一点，的图象上任意一点，则点则点P关于关于A点的对称点点的对称点(x，y)在函数在函数f(x)的图象上的图象上 自我挑战自我挑战课堂互动讲练法二：法二：易知易知h(x)经过点经过点(1,3)，故，故f(x)经过点经过点(1，1)， 自我挑战自我
15、挑战课堂互动讲练 自我挑战自我挑战课堂互动讲练法二：法二：任意取任意取x1，x2 (0,2，不妨，不妨设设x1x2.故故x1x2(a1)0，对，对0x1x22恒恒成立成立.8分分 1a4， a3.即即a的取值范围为的取值范围为3，).10分分 自我挑战自我挑战规律方法总结1作函数图象的一般步骤是：(1)求出函数的定义域；(2)化简函数式；(3)讨论函数的性质(如奇偶性、周期性)以及图象上的特殊点、线(如渐近线、对称轴等)；(4)利用基本函数的图象画出所给函数的图象规律方法总结2函数图象是对函数关系的一种直观、形象的表示，是体现数形结合思想的基础，应解决好以下三个方面的问题：(1)作图；(2)识图；(3)用图规律方法总结3证明图象的对称性时应注意：(1)证明函数图象的对称性，即证明其图象上的任意一点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在图象上(2)证明曲线C1和C2的对称性，即要证明C1上任一点关于对称中心(对称轴)的对称点在C2上，反之亦然规律方法总结4函数图象的应用：利用函数图象讨论函数性质，求最值、研究单调性、确定方程解的个数等随堂即时巩固点击进入点击进入课时活页训练点击进入点击进入
