1、第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系三年三年9 9考考 高考指数高考指数:1 1了解空了解空间直直线、平面位置关系的定、平面位置关系的定义;2 2了解可以作了解可以作为推理根据的公理和定理;推理根据的公理和定理;3 3能运用公理、定理和已能运用公理、定理和已获得的得的结论证明一些空明一些空间位置关系的位置关系的简单命命题1 1点、线、面的位置关系是本节的重点,也是高考的热点点、线、面的位置关系是本节的重点,也是高考的热点2.2.从调查方式看,以调查点、线、面的位置关系为主,同时调从调查方式看,以调查点、线、面的位置关系为主,同时调查逻辑推理才干和空间想象才干查逻辑推理才干和空间想象才干. .3 3从调查题型看,多以选择题、填空题的方式调查,有时也出从调查题型看,多以选择题、填空题的方式调查,有时也出如今解答题中,普通难度不大,属低中档题如今解答题中,普通难度不大,属低中档题. .1.1.平面的根本性质平面的根本性质图形形 文字言文字言语 公公理理 1 1 假假设一条直一条直线上上的的_在一个平在一个平面内,那么面内,那么这条条直直线在此平面内在此平面内 ABl两点两点符号言符号言语
2、 公公理理 2 2 过不在不在_,有且,有且只需一个平面只需一个平面 A A,B B,C C三点不三点不共共线公公理理 3 3 假假设两个不重合两个不重合的平面有一个公的平面有一个公共点,那么它共点,那么它们_条条过该点的公共直点的公共直线 假假设PP且且PP,那么那么=a=a,且且PaPaCBAPa一条直一条直线上的三点上的三点 有且只需有且只需一个平面一个平面,使,使A,B,A,B,CC有且只需一有且只需一【即【即时运用】运用】(1)(1)思索:思索:三个公理的作用分三个公理的作用分别是什么?是什么?他能他能说出公理出公理2 2的几个推的几个推论吗?提示:提示:公理公理1 1的作用:的作用:()()判判别直直线在平面内;在平面内;()()由直由直线在在平面内判平面内判别直直线上的点在平面内上的点在平面内公理公理2 2的作用:确定平面的根据,它提供了把空的作用:确定平面的根据,它提供了把空间问题转化化为平面平面问题的条件的条件公理公理3 3的作用:的作用:()()断定两平面相交;断定两平面相交;()()作两平面的交作两平面的交线;()()证明点共明点共线公理公理2 2的三个推的三个推
3、论为:()()经过一条直一条直线和和这条直条直线外的一点,有且只需一个平面;外的一点,有且只需一个平面;()()经过两条相交直两条相交直线,有且只需一个平面;,有且只需一个平面;()()经过两条平行直两条平行直线,有且只需一个平面,有且只需一个平面(2)(2)判判别以下以下说法的正法的正误( (请在括号中填写在括号中填写“或或“) )假假设两个不重合的平面两个不重合的平面,有一条公共直有一条公共直线a a,就,就说平面平面,相交,并相交,并记作作=a ( )=a ( )两个平面两个平面,有一个公共点有一个公共点A A,就,就说,相交于相交于过A A点的恣点的恣意一条直意一条直线 ( ) ( )两个平面两个平面,有一个公共点有一个公共点A A,就,就说,相交于相交于A A点,并点,并记作作=A ( )=A ( )两个平面两个平面ABCABC与与DBCDBC相交于相交于线段段BC ( )BC ( )【解析】根据平面的性【解析】根据平面的性质公理公理3 3可知可知对;对于于,其,其错误在于在于“恣意二字上;恣意二字上;对于于,错误在于在于=A=A上;上;对于于,应为平面平面ABCABC和平面
4、和平面DBCDBC相交于直相交于直线BC.BC.答案:答案: (3)(3)平面平面,相交,在相交,在,内各取两点,内各取两点,这四点都不在交四点都不在交线上,上,这四点能确定四点能确定_个平面个平面【解析】假【解析】假设这四点在同一平面内,那么确定一个平面;假四点在同一平面内,那么确定一个平面;假设这四点不共面,那么恣意三点可确定一个平面,所以可确定四四点不共面,那么恣意三点可确定一个平面,所以可确定四个个答案:答案:1 1或或4 42.2.空间中两直线的位置关系空间中两直线的位置关系(1)(1)空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系图形言形言语 符号言符号言语 公共点公共点平行平行 直直线 相交相交 直直线 ab ab 个个 ab=A ab=A 个个异面异面 直直线 a,ba,b是异是异面直面直线 个个0 01 10 0abAabba(2)(2)平行公理和等角定理平行公理和等角定理平行公理平行公理平行于平行于_的两条直的两条直线平行用符号表示:平行用符号表示:设a,b,ca,b,c为三条直三条直线,假,假设ab,bcab,bc,那么,那么acac等角定理等角定理空空间中假中假设两个
5、角的两两个角的两边分分别对应平行,那么平行,那么这两个角两个角_同一条直同一条直线相等或相等或互互补(3)(3)异面直异面直线所成的角所成的角定定义:知两条异面直:知两条异面直线a,ba,b,经过空空间中任一点中任一点O O作直作直线aa,bbaa,bb,把,把aa与与bb所成的所成的_叫做异面直叫做异面直线所成的角所成的角( (或或夹角角) )范范围:_._.锐角角( (或直角或直角) )【即【即时运用】运用】(1)(1)思索:不相交的两条直思索:不相交的两条直线是异面直是异面直线吗?不在同一平面内的?不在同一平面内的直直线是异面直是异面直线吗?提示:不一定由于两条直提示:不一定由于两条直线没有公共点,没有公共点,这两直两直线能能够平行平行也能也能够异面;由于不同在任何一个平面内的直异面;由于不同在任何一个平面内的直线为异面直异面直线,故故该结论不一定正确不一定正确(2)(2)知知a a、b b是异面直是异面直线,直,直线c c平行于直平行于直线a a,那么以下,那么以下结论能否能否正确正确( (请在括号中填写在括号中填写“或或“) )cc与与b b一定是异面直一定是异面直线 ( )
6、 ( )cc与与b b一定是相交直一定是相交直线 ( ) ( )cc与与b b不能不能够是平行直是平行直线 ( ) ( )cc与与b b不能不能够是相交直是相交直线 ( ) ( )【解析】【解析】c c与与b b能能够相交,相交,错;c c与与b b也能也能够异面,异面,错;c c与与b b不能不能够是平行直是平行直线,否那么与条件矛盾,否那么与条件矛盾,对. .答案:答案: 3.3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系空间直线与平面、平面与平面的位置关系图形言形言语 符号言符号言语 公共点公共点直直线与与平平 面面 相交相交 a=A a=A 个个平行平行 a a 个个在平在平 面内面内 a a 个个 aA A1 10 0无数无数aa平平面面与与平平面面平行平行 个个相交相交 =l =l 个个无数无数0 0l【即【即时运用】运用】(1)(1)判判别以下以下说法能否正确法能否正确( (请在括号中填写在括号中填写“或或“) )经过不同的三点有且只需一个平面不同的三点有且只需一个平面 ( ) ( )分分别在两个平面内的两条直在两个平面内的两条直线一定是异面直一定是异面直线 ( ) ( )垂直
7、于同一平面的两直垂直于同一平面的两直线是平行直是平行直线 ( ) ( )垂直于同一平面的两平面是平行平面垂直于同一平面的两平面是平行平面 ( ) ( )(2)(2)两个不重合的平面可把空两个不重合的平面可把空间分成分成_部分部分【解析】【解析】(1)(1)应为经过不在一条直不在一条直线上的三点有且只需一个平面,上的三点有且只需一个平面,错;分;分别在两个平面内的两条直在两个平面内的两条直线能能够平行,平行,错;对;垂直于同一平面的两平面能;垂直于同一平面的两平面能够相交,相交,错. .(2)(2)当两平面平行当两平面平行时可分可分为3 3部分;当两平面相交部分;当两平面相交时分分为4 4部分部分答案:答案:(1) (1) (2)3(2)3或或4 4 平面的根本性质及其运用平面的根本性质及其运用【方法点睛】【方法点睛】平面根本性质的常见运用及解法平面根本性质的常见运用及解法(1)(1)判别所给元素判别所给元素( (点或直线点或直线) )能否能确定独一平面,关键是分能否能确定独一平面,关键是分析所给元素能否具有确定独一平面的条件,此时需求利用公理析所给元素能否具有确定独一平面的条件,此时需
8、求利用公理2 2及其推论及其推论(2)(2)证明点或明点或线共面共面问题,普通有两种途径:,普通有两种途径:首先由所首先由所给条件条件中的部分中的部分线( (或点或点) )确定一个平面,然后再确定一个平面,然后再证其他的其他的线( (或点或点) )在在这个平面内;个平面内;将一切条件分将一切条件分为两部分,然后分两部分,然后分别确定平面,再确定平面,再证两平面重合两平面重合(3)(3)证明点共明点共线问题,普通有两种途径:,普通有两种途径:先由两点确定一条直先由两点确定一条直线,再,再证其他各点都在其他各点都在这条直条直线上;上;直接直接证明明这些点都在同些点都在同一条特定直一条特定直线上上(4)(4)证明明线共点共点问题,常用的方法是:先,常用的方法是:先证其中两条直其中两条直线交于一交于一点,再点,再证其他直其他直线经过该点点 【例【例1 1】(1)(1)以下四个命以下四个命题中中不共面的四点中,其中恣意三点不共不共面的四点中,其中恣意三点不共线;假假设点点A A、B B、C C、D D共面,点共面,点A A、B B、C C、E E共面,那么点共面,那么点A A、B B、C C、D
9、 D、E E共面;共面;假假设直直线a a、b b共面,直共面,直线a a、c c共面,那么直共面,那么直线b b、c c共面;共面;依次首尾相接的四条依次首尾相接的四条线段必共面段必共面. .正确命正确命题的个数是的个数是( )( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(2)(2)如如图,平面,平面ABEFABEF平面平面ABCDABCD,四,四边形形ABEFABEF与与ABCDABCD都是直角都是直角梯形,梯形,BAD=FAB=90BAD=FAB=90,BCADBCAD且且BC= ADBC= AD,BEAFBEAF且且BE=BE= AF AF,G G,H H分分别为FAFA,FDFD的中点的中点. .证明:四明:四边形形BCHGBCHG是平行四是平行四边形;形;CC,D D,F F,E E四点能否共面?四点能否共面?为什么?什么?【解【解题指南】指南】(1)(1)根据确定平面的公理及推根据确定平面的公理及推论进展判展判别. .(2)(2)根据平行四根据平行四边形的断定方法形的断定方法证明;明;证明明EFCHEFCH,由此构,由此构成平面,再成
10、平面,再证点点D D在在该平面上平面上【规范解答】范解答】(1)(1)选B.B.假假设其中有三点共其中有三点共线,那么,那么该直直线和直和直线外的另一点确定一个平面外的另一点确定一个平面. .这与四点不共面矛盾,故其中恣意与四点不共面矛盾,故其中恣意三点不共三点不共线,所以,所以正确正确.从条件看出两平面有三个公共点从条件看出两平面有三个公共点A A、B B、C C,但是假,但是假设A A、B B、C C共共线,那么,那么结论不正确;不正确;不正确;不正确;不正确,由于此不正确,由于此时所得的四所得的四边形的四条形的四条边可以不在一个平面可以不在一个平面上,如空上,如空间四四边形形. .(2)(2)由由题设知,知,FG=GAFG=GA,FH=HDFH=HD,所以所以GHADGHAD且且GH= AD,GH= AD,又又BCADBCAD且且BC= ADBC= AD,故故GHBCGHBC且且GH=BCGH=BC,所以四所以四边形形BCHGBCHG是平行四是平行四边形形CC,D D,F F,E E四点共面理由如下:四点共面理由如下:由由BEAFBEAF且且BE= AFBE= AF,G G是是F
11、AFA的中点知,的中点知,BEGFBEGF且且BE=GFBE=GF,所以四所以四边形形EFGBEFGB是平行四是平行四边形,形,所以所以EFBG.EFBG.由由知知BGCHBGCH,所以,所以EFCHEFCH,故故ECEC,FHFH共面共面. .又点又点D D在直在直线FHFH上,所以上,所以C C,D D,F F,E E四点共面四点共面. .【反思【反思感悟】点共感悟】点共线和和线共点共点问题,都可,都可转化化为点在直点在直线上的上的问题来来处置,本置,本质上是利用公理上是利用公理3 3,证明点在两平面的交明点在两平面的交线上,上,解解题时要留意要留意这种种转化思想的运用化思想的运用 空空间中两直中两直线的位置关系的位置关系【方法点睛】【方法点睛】断定直断定直线位置关系的方法位置关系的方法空空间中两直中两直线位置关系的断定,主要是异面、平行和垂直的断位置关系的断定,主要是异面、平行和垂直的断定,定,对于异面直于异面直线,可采用直接法或反,可采用直接法或反证法;法;对于平行直于平行直线,可利用中位可利用中位线的性的性质及及线面平行的性面平行的性质;对于垂直关系,往往于垂直关系,往往利用
12、利用线面垂直的性面垂直的性质来来处理理【提示】异面直【提示】异面直线所成角的所成角的论证和和计算是本算是本节的重点的重点. . 【例【例2 2】(2021(2021福州模福州模拟) )如如图,在四面体,在四面体ABCDABCD中,截面中,截面PQMNPQMN是是正方形,那么在以下命正方形,那么在以下命题中,中,错误的的为( )( )(A)ACBD(A)ACBD(B)AC(B)AC截面截面PQMNPQMN(C)AC=BD(C)AC=BD(D)(D)异面直异面直线PMPM与与BDBD所成的角所成的角为4545【解【解题指南】指南】结合合图形,根据有关的知形,根据有关的知识逐一逐一进展判展判别留意留意此此题选择的是的是错误选项!【规范解答】范解答】选C.C.由于四由于四边形形PQMNPQMN为正方形,所以正方形,所以PQMNPQMN,又,又PQ PQ 平面平面ADCADC,MNMN 平面平面ADCADC,所以,所以PQPQ平面平面ADC.ADC.又平面又平面BACBAC平面平面DAC=ACDAC=AC,所以,所以PQAC.PQAC.同理可同理可证QMBD.QMBD.由由PQACPQAC,QM
13、BDQMBD,PQQMPQQM可得可得ACBDACBD,故,故A A正确;正确;由由PQACPQAC可得可得ACAC截面截面PQMNPQMN,故,故B B正确;异面直正确;异面直线PMPM与与BDBD所成的角所成的角等于等于PMPM与与PNPN所成的角,故所成的角,故D D正确;正确;综上知,上知,C C错误,应选C.C.【反思【反思感悟】感悟】处理此理此类问题常出常出现的的错误是不能是不能发掘掘题中的条中的条件,不能将件,不能将问题适当地适当地转化;另外,由于化;另外,由于图形复形复杂、空、空间想象力想象力不不够,分析,分析问题不到位,感到无从下手,也是常出不到位,感到无从下手,也是常出现的的问题 异面直线的断定及所成的角异面直线的断定及所成的角【方法点睛】【方法点睛】1.1.求异面直线所成的角的常用方法求异面直线所成的角的常用方法求异面直线所成的角的常用方法是平移法,普通有三种类型:求异面直线所成的角的常用方法是平移法,普通有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点利用图中已有的平行线平移;利用特殊点( (线段的端点或中点线段的端点或中点) )作平行线平移;补形平移作平行线平
14、移;补形平移2.2.求异面直线所成角的步骤求异面直线所成角的步骤(1)(1)作:经过作平行线,得到相交直线;作:经过作平行线,得到相交直线;(2)(2)证:证明相交直线所成的角为异面直线所成的角;证:证明相交直线所成的角为异面直线所成的角;(3)(3)算:经过解三角形,求出该角算:经过解三角形,求出该角 【例【例3 3】(2021(2021厦厦门模模拟) )如下如下图,在正,在正方体方体ABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1中,中,(1)(1)求求A1C1A1C1与与B1CB1C所成角的大小;所成角的大小;(2)(2)假假设E E、F F分分别为ABAB、ADAD的中点,的中点,求求A1C1A1C1与与EFEF所成角的大小所成角的大小. .【解【解题指南】利用正方体中的平行关系,将两异面直指南】利用正方体中的平行关系,将两异面直线所成的角所成的角转化成三角形的内角化成三角形的内角进展求解展求解【规范解答】范解答】(1)(1)如如图,衔接接ACAC、AB1AB1,由由ABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1是正方体,是正方体,知知AA1C1CAA1C1C为平行四
15、平行四边形,形,所以所以ACA1C1ACA1C1,从而,从而B1CB1C与与ACAC所成的角所成的角就是就是A1C1A1C1与与B1CB1C所成的角所成的角. .由由AB1=AC=B1CAB1=AC=B1C可知可知B1CA=60,B1CA=60,即即A1C1A1C1与与B1CB1C所成角所成角为60.60.(2)(2)如如图,衔接接BDBD,由,由AA1CC1AA1CC1,且,且AA1=CC1AA1=CC1可知可知A1ACC1A1ACC1是平行四是平行四边形,形,ACA1C1.ACA1C1.ACAC与与EFEF所成的角就是所成的角就是A1C1A1C1与与EFEF所成的角所成的角. .EFEF是是ABDABD的中位的中位线,EFBD.EFBD.又又ACBD,EFAC,ACBD,EFAC,即所求角即所求角为90.90.【反思【反思感悟】感悟】1.1.求异面直求异面直线所成的角所成的角时,常采用平行平移的,常采用平行平移的方法,方法,转化化为三角形的内角来求解三角形的内角来求解. .解解题时经常借助三角形的中常借助三角形的中位位线来完成角的来完成角的转化化. .2.2.在求异面直在求异面直线
16、所成的角所成的角时常犯的常犯的错误是忽是忽视角的范角的范围,如在,如在解三角形的解三角形的过程中求得三角形内角的余弦程中求得三角形内角的余弦值为负时,必需,必需转化化为(0(0, 内的角内的角【总分分值指点】求异面直指点】求异面直线所成角客所成角客观题的的规范解答范解答【典例】【典例】(13(13分分)(2021)(2021上海高考改上海高考改编) )知知ABCDA1B1C1D1ABCDA1B1C1D1是底面是底面边长为1 1的正的正四棱柱,高四棱柱,高AA1=2AA1=2,求,求(1)(1)异面直异面直线BDBD与与AB1AB1所成角的余弦所成角的余弦值;(2)(2)四面体四面体AB1D1CAB1D1C的体的体积. .【解【解题指南】指南】(1)(1)利用平行平移法得到异面直利用平行平移法得到异面直线所成的角,所成的角,转化化为解三角形的解三角形的问题;(2)(2)利用割利用割补法求体法求体积即可即可【规范解答】范解答】(1)(1)连BDBD,AB1AB1,B1D1B1D1,AD1. 1AD1. 1分分BDB1D1,BDB1D1,异面直异面直线BDBD与与AB1AB1所成角所成角为A
17、B1D1(AB1D1(或其或其补角角) ),记AB1D1=, 4AB1D1=, 4分分由知条件得由知条件得AB1=AD1= AB1=AD1= ,在,在AB1D1AB1D1中,由余弦定理得中,由余弦定理得 7 7分分异面直异面直线BDBD与与AB1AB1所成角的余弦所成角的余弦值为 .8 .8分分(2)(2)衔接接ACAC,CB1CB1,CD1CD1,那么所求四面体的体,那么所求四面体的体积 13 13分分【阅卷人点拨】经过高考中的阅卷数据分析与总结,我们可以得【阅卷人点拨】经过高考中的阅卷数据分析与总结,我们可以得到以下失分警示和备考建议:到以下失分警示和备考建议:失失分分警警示示在解答本在解答本题时有两点容易造成失分:有两点容易造成失分:(1)(1)在用平行平移将异面直在用平行平移将异面直线所成的角所成的角转化化为三角形的内角三角形的内角时,忽,忽视对三角形的内角三角形的内角“即即为两异面直两异面直线所成的角所成的角( (或其或其补角角)”)”的叙述;的叙述;(2)(2)在求几何体的体在求几何体的体积时,不知将其,不知将其转化化为四棱柱的体四棱柱的体积与与四个三棱四个三棱锥体体积的差
18、的差备考考建建议解决异面直解决异面直线所成角的所成角的问题时,还有以下几点容易造成失有以下几点容易造成失分,在分,在备考考时要高度关注:要高度关注:(1)(1)辅助助线的作法不灵活,不能利用已知条件中的平行或的作法不灵活,不能利用已知条件中的平行或中点;中点;(2)(2)对立体几何立体几何计算算题的解答的解答规范不熟悉,范不熟悉,书写不条理;写不条理;(3)(3)通通过解三角形得到某一内角的余弦解三角形得到某一内角的余弦值为负值后,忽后,忽视角的范角的范围,不知将其,不知将其转化化为正正值来来处理建理建议在在备考中要考中要强化化对立体几何中解答立体几何中解答题的的训练,这是高考中的考是高考中的考查重点重点之一之一. .同同时要注重解答要注重解答题的的规范表达和准确范表达和准确计算算. .1.(20211.(2021四川高考四川高考)l1,l2,l3)l1,l2,l3是空是空间三条不同的直三条不同的直线,那么以下命,那么以下命题正确的正确的选项是是( )( )(A)l1l2,l2l3(A)l1l2,l2l3 l1l3 l1l3(B)l1l2,l2l3(B)l1l2,l2l3 l1l3 l
19、1l3(C)l1l2(C)l1l2,l2l3l2l3 l1,l2,l3 l1,l2,l3共面共面(D)l1(D)l1,l2,l3l2,l3共点共点 l1 l1,l2,l3l2,l3共面共面【解析】选【解析】选B.B.对于对于A A:空间中垂直于同一条直线的两条直线不一:空间中垂直于同一条直线的两条直线不一定平行,如图定平行,如图l1, l3可以相交或异面可以相交或异面,故命故命题错误.对于于B:由异面直由异面直线所成的角可所成的角可知,知,l2l3,那么那么l1与与l3所成的角与所成的角与l1与与l2所成的角相等,故所成的角相等,故l1l3,故命故命题正确正确.对于于C:空空间中三条相互平行的直中三条相互平行的直线不一定共面,不一定共面,如三棱柱的三条如三棱柱的三条侧棱不共面棱不共面,故命故命题错误.对于于D:空空间中共点的三中共点的三条直条直线不一定共面,如三棱不一定共面,如三棱锥中共中共顶点的三条棱不共面点的三条棱不共面.2.(20212.(2021莆田模莆田模拟)“)“直直线a,ba,b为异面直异面直线是是“直直线a,ba,b不相交不相交的的( )( )(A)(A)充分不用要条件
20、充分不用要条件(B)(B)必要不充分条件必要不充分条件(C)(C)充要条件充要条件(D)(D)既不充分也不用要条件既不充分也不用要条件【解析】【解析】选A.A.直直线a,ba,b异面,那么异面,那么a,ba,b一定不相交;反之,假一定不相交;反之,假设直直线a,ba,b不相交,那么不相交,那么a,ba,b除了异面外除了异面外还能能够平行平行3.(20213.(2021浙江高考浙江高考) )假假设直直线l l不平行于平面不平行于平面,且,且l l ,那么,那么( ( ) )(A)(A)内的一切直内的一切直线与与l l异面异面(B)(B)内不存在与内不存在与l l平行的直平行的直线(C)(C)内存在独一的直内存在独一的直线与与l l平行平行(D)(D)内的直内的直线与与l l都相交都相交【解析】【解析】选B.B.由由题意可得直意可得直线l l与平面与平面相交,如相交,如图: :对A A,由于,由于内一切不内一切不过交点的直交点的直线与与l l异面,故异面,故A A错误;对B B,假,假设内存在与内存在与l l平行的直平行的直线,那么直,那么直线l l与与平行,直平行,直线不存在,不存在,故
21、故B B正确;正确;对C C,可得直,可得直线l l与与平行,与平行,与题设不符,故不符,故C C错误;对D D,内一切不内一切不过交点的直交点的直线与与l l异面,故异面,故D D错误. .4.(20214.(2021龙岩模岩模拟) )如如图,正棱柱,正棱柱ABCDA1B1C1D1ABCDA1B1C1D1中,中,AA1=2ABAA1=2AB,那么异面直,那么异面直线A1BA1B与与AD1AD1所成角的余弦所成角的余弦值为( )( )【解析】【解析】选D.D.如如图,衔接接BC1BC1,A1C1A1C1,A1BC1A1BC1是异面直是异面直线A1BA1B与与AD1AD1所成的角,所成的角,设AB=a,AA1=2a,A1B=C1B= a,A1C1= a,A1BC1AB=a,AA1=2a,A1B=C1B= a,A1C1= a,A1BC1的余弦的余弦值为 . .5.(20215.(2021大大纲版全国卷版全国卷) )知正方体知正方体ABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1中,中,E E为C1D1C1D1的的中点,那么异面直中点,那么异面直线AEAE与与BCBC所成角的余弦所成角的余弦值为_._.【解析】取【解析】取A1B1A1B1的中点的中点M M,衔接接EM,AM,AEEM,AM,AE,那么,那么AEMAEM就是异面直就是异面直线AEAE与与BCBC所成的角所成的角. .设正方体棱正方体棱长为2 2,那么在,那么在AEMAEM中,中,答案:答案:
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