刚体的动量与角动量

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1、第五章第五章 刚体的转动刚体的转动 rotation of a rigid body9/14/202415- 1 5- 1 刚体的平动、转动和定轴转动刚体的平动、转动和定轴转动刚体的平动、转动和定轴转动刚体的平动、转动和定轴转动 1. 1. 1. 1. 刚体刚体刚体刚体rigid bodyrigid body 刚体是一种特殊的质点系统，刚体是一种特殊的质点系统，无论它在多大外力作用下，系统内无论它在多大外力作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。任意两质点间的距离始终保持不变。2 2、刚体的平动：、刚体的平动：、刚体的平动：、刚体的平动：translation of a translat

2、ion of a rigid bodyrigid body 当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫平动。动叫平动。9/14/20242刚体的平动过程刚体的平动过程bca平动和转动平动和转动刚体的平动过程刚体的平动过程bca平动和转动平动和转动bcab刚体的平动过程刚体的平动过程平动和转动平动和转动bca刚体的平动过程刚体的平动过程平动和转动平动和转动bca刚体的平动过程刚体的平动过程平动和转动平动和转动bca刚体的平动过程刚体的平动过程平动和转动平动和转动bca刚体的平

3、动过程刚体的平动过程平动和转动平动和转动bca刚体的平动过程刚体的平动过程平动和转动平动和转动bca刚体的平动过程刚体的平动过程平动和转动平动和转动 刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体中刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体中所质点的位移都是相同的。而且在任何时刻，各所质点的位移都是相同的。而且在任何时刻，各个质点的速度和加速度也都是相同的。所以刚体个质点的速度和加速度也都是相同的。所以刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的运内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的运动动。 刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线圆周运动，这种运动就叫做转

4、动，都绕同一直线圆周运动，这种运动就叫做转动，这一直线就叫做转轴。这一直线就叫做转轴。 平动和转动平动和转动9/14/2024123. 3. 3. 3. 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动rotation of a rigid body around a fix axisrotation of a rigid body around a fix axis 定轴转动：定轴转动：定轴转动定轴转动 刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运动，且在相同时间内转过相同的角度。动，且在相同时间内转过相同的角度。特点：特点：角位移，角速度和角加速

5、度均相同；角位移，角速度和角加速度均相同；质点在垂直转轴的平面内运动，且作圆周质点在垂直转轴的平面内运动，且作圆周运动。运动。刚体的定轴转动刚体的定轴转动角位移角位移角速度角速度角加速度角加速度定轴转动定轴转动刚体运动的角量描述刚体运动的角量描述:9/14/2024144. 4. 4. 4. 角速度矢量角速度矢量角速度矢量角速度矢量 angular velocity vectorangular velocity vector角速度角速度 角速度的方向：与刚角速度的方向：与刚体转动方向呈右手螺旋关体转动方向呈右手螺旋关系。系。角速度矢量角速度矢量 在定轴转动中，角速在定轴转动中，角速度的方向沿转

6、轴方向。度的方向沿转轴方向。9/14/2024155、角量与线量的关系、角量与线量的关系:对时间微分对时间微分方向方向对于匀加速转动对于匀加速转动,有下面公式有下面公式:9/14/202416(1) 滑轮的角加速度。滑轮的角加速度。(2) 开始上升后开始上升后,5秒末滑轮的角速度秒末滑轮的角速度(3) 在这在这5秒内滑轮转过的圈数。秒内滑轮转过的圈数。(4) 开始上升后开始上升后,1秒末滑轮边缘上秒末滑轮边缘上 一点的加速度一点的加速度(不打滑不打滑) 。解解: (1) 轮缘上一点的切向加速度与轮缘上一点的切向加速度与 物体的加速度相等物体的加速度相等 ar例题例题5-15-1m, 如果升降机

7、从静止开始以如果升降机从静止开始以 2 匀加速上升匀加速上升,求：求：9/14/202417(2)(3)(4)ar合加速度的方向与轮缘切线方向夹角合加速度的方向与轮缘切线方向夹角已知已知at29/14/202418* *例题例题5-2 5-2 一飞轮转速一飞轮转速n= =1500r/min，受到制动后均匀，受到制动后均匀 地减速，经地减速，经t t=50 s=50 s后静止。后静止。（1 1）求角加速度）求角加速度a 和飞轮从制动开始到静止所转过和飞轮从制动开始到静止所转过 的转数的转数N；（2 2）求制动开始后）求制动开始后t=25=25s 时飞时飞 轮的加速度轮的加速度 ；（3 3）设飞轮

8、的半径）设飞轮的半径r=1=1m，求在，求在 t=25=25s 时边缘上一点的速时边缘上一点的速 度和加速度。度和加速度。角速度角速度 0vanatarO解解 （1 1）设初角度设初角度为为 0 0方向如图所示，方向如图所示，9/14/202419 量值为量值为 0 0=2=21500/60=501500/60=50 rad/s，对于匀，对于匀变速转动，可以应用以角量表示的运动方程，在变速转动，可以应用以角量表示的运动方程，在t=50=50S 时刻时刻 =0 =0 ，代入方程，代入方程 = = 0+at 得得角速度角速度 从开始制动到静止，飞轮的角位移从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转及转数

9、数N 分别为分别为9/14/202420角速度角速度 （2 2）t=25=25s 时飞轮的角速度为时飞轮的角速度为9/14/202421（3 3）t t=25=25s 时飞轮边缘上一点时飞轮边缘上一点P 的速度。的速度。 的方向与的方向与 0 0相同相同 ； 的方向垂直于的方向垂直于 和和 构成的平面，如构成的平面，如图所示相应的切向加速度和向心加速度分别为图所示相应的切向加速度和向心加速度分别为角速度角速度由由9/14/202422边缘上该点的加速度边缘上该点的加速度 其中其中 的方向的方向与与 的方向相反，的方向相反， 的方向指向轴心，的方向指向轴心， 的大小的大小为为 的方向几乎和的方向

10、几乎和 相同。相同。角速度角速度9/14/202423例题例题5-3 5-3 一飞轮在时间一飞轮在时间t t内转过角度内转过角度 at+bt3-ct4 , ,式中式中a、b、c 都是常量。求它的角加速度。都是常量。求它的角加速度。解：解：飞轮上某点角位置可用飞轮上某点角位置可用 表示为表示为 at+btat+bt3 3-ct-ct4 4将此式对将此式对t t求导数，即得飞轮角速度的表达式为求导数，即得飞轮角速度的表达式为角加速度是角速度角加速度是角速度对对t t的导数，因此得的导数，因此得由此可见飞轮作的是变加速转动。由此可见飞轮作的是变加速转动。角速度角速度9/14/2024245-2 5-

11、2 转动中的功和能转动中的功和能转动中的功和能转动中的功和能 Work and energy in theWork and energy in the rotationrotation 1.1.1.1.力矩的功力矩的功力矩的功力矩的功 work done by torquework done by torque 力矩的功：当刚体在外力矩作用下绕定轴转动力矩的功：当刚体在外力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时，就称力矩对刚体做功。而发生角位移时，就称力矩对刚体做功。 力力 对对P 点作功：点作功：00 9/14/202425因因力矩作功：力矩作功： 对于刚体定轴转动对于刚体定轴转动情形，因质点间无

12、相对情形，因质点间无相对位移，任何一对内力作位移，任何一对内力作功为零。功为零。力矩的功力矩的功力矩的功力矩的功00 9/14/202426A、所谓力矩的功，实质上还是力的功，并无任何关于力、所谓力矩的功，实质上还是力的功，并无任何关于力矩的功的新的定义，只是在刚体转动中，用力矩和角位移矩的功的新的定义，只是在刚体转动中，用力矩和角位移的积来表示功更为方便而己。的积来表示功更为方便而己。B、对对于于定定轴轴转转动动刚刚体体，所所有有内内力力的的功功总总和和在在任任何何过过程程中中均均为为零零。（内内力力成成对对，大大小小相相等等方方向向相相反反，一一对对内内力力矩矩的的代代数数和和为为零零；内

13、内力力矩矩的的功功总总和和为为零零。另另一一角度，内力的功角度，内力的功 相对位移为零相对位移为零 .）C、功率：、功率： 当当 M 与与 同方向，同方向，A 和和P 为正为正 当当 M 与与 反方向，反方向， A 和和P 为负为负说明：说明：9/14/2024271).刚体的转动动能刚体的转动动能:刚体是有许多质点组成的刚体是有许多质点组成的,第第 i 小块质点的动能小块质点的动能总动能总动能:质点运动的动能质点运动的动能rotational kinetic energy of a rotational kinetic energy of a rigid bodyrigid body9/14

14、/2024282).转动惯量转动惯量:rotational inertia (moment of inertia)如果刚体是连续分布的质点系如果刚体是连续分布的质点系转动惯量的物理意义转动惯量的物理意义平动：平动：质点平动动能质点平动动能动量动量刚体的转动动能刚体的转动动能转动：转动：角动量角动量可见，转动惯量可见，转动惯量J是转动中惯性大小的量度是转动中惯性大小的量度9/14/202429说明：说明： A、转动动能定理转动动能定理也与质点动力学中讲的动能定理也与质点动力学中讲的动能定理 相同，只是动能的表示形式不同而己，相同，只是动能的表示形式不同而己， B、对刚体，内力的功总和在任何过程中

15、都为零。、对刚体，内力的功总和在任何过程中都为零。3 3、定轴转动的动能定律、定轴转动的动能定律rotational kinetic energy theorem把把质质点点系系的的动动能能定定理理应应用用到到定定轴轴转转动动的的刚刚体体，由由于于刚刚体体内内各各个个质质元元间间相相互互不不作作功功，Ainr=0, 而而Aext=Md.则则刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对刚体所做的刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。功等于刚体转动动能的增量。9/14/2024304 4、刚体的重力势能、刚体的重力势能: :xyzoC9/14/202431质元的质量质元的质量

16、质元到转轴的距离质元到转轴的距离转动惯量的计算转动惯量的计算 刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可 写成积分形式写成积分形式5.3 5.3 5.3 5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算转动惯量的计算转动惯量的计算Calculation of moment of inertiaCalculation of moment of inertia (Calculation of rotational inertia) (Calculation of rotational inertia)按转动惯量的定义有按转动惯量的定义有9/14/202432转动惯量是转动

17、中惯性大小的量度转动惯量是转动中惯性大小的量度。质量是平动中惯性大小的量度。质量是平动中惯性大小的量度。转动惯量的计算转动惯量的计算区别区别：平动：平动： 平动动能平动动能 线动量线动量转动：转动： 转动动能转动动能 角动量角动量9/14/202433 P146, P146,均匀圆环均匀圆环 ：dmC R9/14/202434转动惯量的计算转动惯量的计算例题例题5.5 5.5 求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的 转动惯量。设圆盘的半径为转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为，质量为m，密度均匀。，密度均匀。rRdr解解 设圆盘的质量面密度为设圆盘的质量面密

18、度为 ，在圆盘上取一半径为，在圆盘上取一半径为r r、 宽度为宽度为drdr的圆环（如图），环的面积为的圆环（如图），环的面积为2 2 rdrrdr，环的，环的 质量质量dm= dm= 2 2 rdr rdr 。可得。可得9/14/202435例例5.5 : 计算质量为计算质量为m, 半径为半径为R, 厚为厚为l 的均匀圆盘的转动惯量的均匀圆盘的转动惯量. 轴与盘面垂直并通过盘心。轴与盘面垂直并通过盘心。l解解: 圆盘可以认为由许多圆环组成。圆盘可以认为由许多圆环组成。实心圆柱对轴的转动惯量实心圆柱对轴的转动惯量R09/14/202436例题例题5.6 5.6 求质量为求质量为m m、长为、长

19、为 l l 的均匀细棒对下面的均匀细棒对下面 三种转轴的转动惯量：三种转轴的转动惯量： （1 1）转轴通过棒的中心并和棒垂直；）转轴通过棒的中心并和棒垂直； （2 2）转轴通过棒的一端并和棒垂直）转轴通过棒的一端并和棒垂直； * *（3 3）转轴通过棒上距中心为转轴通过棒上距中心为h h的一点的一点 并和棒垂直。并和棒垂直。llOxdxlOxdxAlxdxAABh9/14/202437llOxdxA解解 如图所示，在棒上离轴如图所示，在棒上离轴x 处，取一长度元处，取一长度元d dx，如，如棒的质量线密度为棒的质量线密度为 ，这长度元的质量为，这长度元的质量为d dm= = d dx。 （1

20、1）当转轴通过中心并和棒垂直时，我们有）当转轴通过中心并和棒垂直时，我们有转动惯量的计算转动惯量的计算9/14/202438因因 = =m/ l ，代入得，代入得转动惯量的计算转动惯量的计算（2 2）当转轴通过棒的一端）当转轴通过棒的一端A A并和棒垂直时，我们有并和棒垂直时，我们有lxdxA9/14/202439转动惯量的计算转动惯量的计算（3 3）当转轴通过棒上距中心为）当转轴通过棒上距中心为h h的的B B点并和棒垂点并和棒垂 直时，我们有直时，我们有 这个例题表明，同一刚体对不同位置的转这个例题表明，同一刚体对不同位置的转轴，转动惯量并不相同。轴，转动惯量并不相同。lOxdxABh9/

21、14/202440哪种握法转动惯量大？哪种握法转动惯量大？9/14/202441转动惯量与质量分布有关转动惯量与质量分布有关转动惯量与材料性质有关转动惯量与材料性质有关平行轴定理平行轴定理:刚体对任一轴的转动惯量刚体对任一轴的转动惯量J,等于对过中心的平行轴等于对过中心的平行轴的转动惯量的转动惯量 、 与二轴间的垂直距离与二轴间的垂直距离d的平方和的平方和刚体质量的乘积之和。刚体质量的乘积之和。证明略，见例题证明略，见例题5.6（3）9/14/202442 定轴定轴（相当于（相当于 ） 刚体所受到的对于给定轴的总外力矩等于刚体刚体所受到的对于给定轴的总外力矩等于刚体对该轴的角动量的时间变化率对

22、该轴的角动量的时间变化率由转动的动能定律微分形式：由转动的动能定律微分形式：5.4 5.4 5.4 5.4 刚体转动定律刚体转动定律刚体转动定律刚体转动定律 law of rotation law of rotation of a of a rigid bodyrigid body两边除以两边除以dt:dt:9/14/202443amm mRMh例题例题5.8. 已知：已知：M、R、m，绳质量不计，求：物体，绳质量不计，求：物体由静止开始下落由静止开始下落h 高度时的速度和滑轮的角速度。高度时的速度和滑轮的角速度。 T1T2mgT1=T2=T 0+）9/14/202444m1R m2*例例5.

23、9. 物体物体 m1m2，滑轮（滑轮（R，m）。阻力）。阻力 矩矩Mf ， 绳子质量忽略，不伸长、不打滑。绳子质量忽略，不伸长、不打滑。 求重物的加速度及绳中张力求重物的加速度及绳中张力解：解：m1gT1T2m2ga1a2T2T1Mf9/14/2024451.不计轴上摩擦不计轴上摩擦 Mf=09/14/2024463.不计轴上摩擦、不计滑轮质量不计轴上摩擦、不计滑轮质量(Mf=0, m=0)2.不计滑轮质量不计滑轮质量 m=09/14/202447解：解： 外力：重力、轴的作用力外力：重力、轴的作用力重力势能的减少重力势能的减少1)、例例5.9：一匀质细杆（：一匀质细杆（l，m）绕光滑水平轴在

24、竖直面内）绕光滑水平轴在竖直面内 转动转动,初初始始 时在水平位置，静止释放，时在水平位置，静止释放，求求: 1)、竖直位置时重力所作的功、竖直位置时重力所作的功; 2)、下落、下落角角 时的角加速度、角速度时的角加速度、角速度; *3)、竖直位置时轴端所受的力。、竖直位置时轴端所受的力。mg 2 2）、由转动定律：）、由转动定律：9/14/202448l2l2lll2l2由转动定律：由转动定律：细棒在竖直位置时，端点细棒在竖直位置时，端点A A和中心点和中心点C C的速度分别为的速度分别为9/14/202449*3、转动、转动mgNC质心运动质心运动mg llll9/14/202450质点质

25、点mi对对O点的角动量为点的角动量为：因因vi垂直于垂直于Ri,，所以所以Li的大小为的大小为刚体对刚体对O点的角动量，等于各质点角动量的点的角动量，等于各质点角动量的矢量和。矢量和。L并不和并不和OZ 方向一致。感兴趣的方向一致。感兴趣的OZ的分量的分量Lz,叫做刚体绕定轴的角动量，即叫做刚体绕定轴的角动量，即转动惯量转动惯量J一、刚体的角动量一、刚体的角动量angular momentum of a rigid body5.5 刚体定轴转动的角动量守恒刚体定轴转动的角动量守恒law of conservationof angular momentum of a rotational rig

26、id body around a fix axis9/14/202451二、定轴转动刚体的角动量定理二、定轴转动刚体的角动量定理 angular momentum theorem of a rotational rigid body around a fix axis 转动物体所受合外力矩的冲量矩等于转动物体所受合外力矩的冲量矩等于在这段时间内转动物体角动量的增量在这段时间内转动物体角动量的增量-角动量定理。角动量定理。 所以 由转动定律9/14/202452 当当物物体体所所受受合合外外力力矩矩等等于于零零时时，物物体体的的角动量保持不变。角动量保持不变。-角动量守恒定律角动量守恒定律若则由

27、角动量定理由角动量定理三、三、三、三、 定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律law of conservation of angular momentum of law of conservation of angular momentum of a a rotational rigid body around a fix axisrotational rigid body around a fix axis角动量守恒定律：角动量守恒定律：9/14/202453讨论：讨论：a. .对于绕固定转轴转动的刚体，因对于绕固定

28、转轴转动的刚体，因J J 保持不变，保持不变， 当合外力矩为零时，其角速度恒定。当合外力矩为零时，其角速度恒定。J=J=恒量恒量9/14/202454b. .若系统由若干个刚体构成若系统由若干个刚体构成, ,当合外力矩为零时当合外力矩为零时, ,系系 统的角动量依然守恒。统的角动量依然守恒。J J 大大 小小, ,J J 小小 大。大。c.c.若系统内既有平动也有转动现象若系统内既有平动也有转动现象发生，若对某一定轴的合外力矩为发生，若对某一定轴的合外力矩为零零, ,则系统对该轴的角动量守恒。则系统对该轴的角动量守恒。定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律9/14/20245

29、5LABABCC常平架上的回转仪常平架上的回转仪应用事例：应用事例：定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律精确制导精确制导9/14/202456应用事例：应用事例：定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律直升飞机直升飞机9/14/202457直线运动与定轴转动规律对照直线运动与定轴转动规律对照质点的直线运动质点的直线运动刚体的定轴转动刚体的定轴转动定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律9/14/202458例例5.10 一长为一长为l 、质量为、质量为m 的匀质细杆，可绕光滑轴的匀质细杆，可绕光滑轴O 在铅直面内摆动。当杆静止时，一颗质量为在

30、铅直面内摆动。当杆静止时，一颗质量为m0 的子弹水的子弹水平射入与轴相距为平射入与轴相距为a 处的杆内，并留在杆中，使杆能偏处的杆内，并留在杆中，使杆能偏转到转到 =300，求子弹的初速，求子弹的初速v0。解：分两个阶段进行考虑解：分两个阶段进行考虑其中其中(1)子子弹弹射射入入细细杆杆,使使细细杆杆获获得得初初速速度度。因因这这一一过过程程进进行行得得很很快快,细细杆杆发发生生偏偏转转极极小小,可可认认为为杆杆仍仍处处于于竖竖直直状状态态。子子弹弹和和细细杆杆组组成成待待分分析析的的系系统统,无无外外力力矩矩,满满足足角角动动量量守守恒恒条条件件。子子弹弹射射入入细细杆杆前前、后后的一瞬间的

31、一瞬间,系统角动量分别为系统角动量分别为定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律9/14/202459(2)(2)子弹随杆一起绕轴子弹随杆一起绕轴O O 转转动。以子弹、细杆及地球构动。以子弹、细杆及地球构成一系统，只有保守内力作成一系统，只有保守内力作功，机械能守恒。选取细杆功，机械能守恒。选取细杆处于竖直位置时子弹的位置处于竖直位置时子弹的位置为为重力势能零点重力势能零点，系统在始，系统在始末状态的机械能为：末状态的机械能为：由角动量守恒，得：由角动量守恒，得： (1)势能零点势能零点定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律9/14/202460由机械能守恒

32、，由机械能守恒，E=E0, 代入代入 =300，得：得：将上式与将上式与 联立，并代入联立，并代入J 值，得值，得定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律9/14/202461例例5.11：圆盘（：圆盘（R，M），人（），人（m）开始静止，人走一）开始静止，人走一 周，求盘相对地转动的角度周，求盘相对地转动的角度 解：解：系统对转轴系统对转轴角动量守恒角动量守恒人人 ，盘，盘 9/14/202462例例题题5-12* 5-12* 图图中中的的宇宇宙宙飞飞船船对对其其中中心心轴轴的的转转动动惯惯量量为为J= 2 103kg m2 ，它它以以 rad/s的的角角速速度度绕绕中中心心

33、轴轴旋旋转转。宇宇航航员员用用两两个个切切向向的的控控制制喷喷管管使使飞飞船船停停止止旋旋转转。每每个个喷喷管管的的位位置置与与轴轴线线距距离离都都是是。两两喷喷管管的的喷喷气气流流量量恒恒定定，共共是是 =2kg/s 。废废气气的的喷喷射射速速率率（相相对对于于飞飞船船周周边边）u=50m/s，并并且且恒恒定定。问问喷喷管管应应喷喷射射多多长长时时间间才才能能使使飞船停止旋转。飞船停止旋转。rdm/2dm/2u- -u L0Lg解解 把飞船和排出的把飞船和排出的废气看作一个系统，废气看作一个系统，废气质量为废气质量为m m。可以。可以认为废气质量远小于认为废气质量远小于飞船的质量，飞船的质量

34、，定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律9/14/202463所以原来系统对于飞船中心轴的角动量近似地等所以原来系统对于飞船中心轴的角动量近似地等于飞船自身的角动量，即于飞船自身的角动量，即 在在喷喷气气过过程程中中，以以dm表表示示dt时时间间内内喷喷出出的的气气体体，这这些些气气体体对对中中心心轴轴的的角角动动量量为为dm r(u+v)， 方方 向向 与与 飞飞 船船 的的 角角 动动 量量 相相 同同 。 因因u=50m/s远远大大于于飞飞船船的的速速率率v(= r) ，所所以以此此角角动动量量近近似似地地等等于于dm ru。在在整整个个喷喷气气过过程程中中喷出废气的总

35、的角动量喷出废气的总的角动量Lg应为应为定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律9/14/202464当当宇宇宙宙飞飞船船停停止止旋旋转转时时，其其角角动动量量为为零零。系系统统这这时时的的总总角角动动量量L L1 1就就是是全全部部排排出出的的废废气气的的总总角角动动量量，即即为为在在整整个个喷喷射射过过程程中中，系系统统所所受受的的对对于于飞飞船船中中心心轴轴的的外外力力矩矩为为零零，所所以以系系统统对对于于此此轴轴的的角角动动量量守守恒恒，即即L L0 0=L=L1 1 ，由此得，由此得即即定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律9/14/202465于是

36、所需的时间为于是所需的时间为定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律9/14/202466例例题题5-13* 5-13* 一一匀匀质质细细棒棒长长为为l ，质质量量为为m，可可绕绕通通过过其其端端点点O的的水水平平轴轴转转动动，如如图图所所示示。当当棒棒从从水水平平位位置置自自由由释释放放后后，它它在在竖竖直直位位置置上上与与放放在在地地面面上上的的物物体体相相撞撞。该该物物体体的的质质量量也也为为m ，它它与与地地面面的的摩摩擦擦系系数数为为 。相相撞撞后后物物体体沿沿地地面面滑滑行行一一距距离离s而而停停止止。求求相相撞撞后后棒棒的的质质心心C 离离地地面面的的最最大大高高

37、度度h，并并说说明明棒棒在在碰碰撞撞后后将将向向左左摆摆或或向向右右摆摆的的条件。条件。解：解： 这个问题可分为三个阶段这个问题可分为三个阶段进行分析。第一阶段是棒自由进行分析。第一阶段是棒自由摆落的过程。这时除重力外，摆落的过程。这时除重力外，其余内力与外力都不作功，所其余内力与外力都不作功，所以机械能守恒。我们把棒在竖以机械能守恒。我们把棒在竖直位置时质心所在处取为势能直位置时质心所在处取为势能CO定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律9/14/202467零点，用零点，用 表示棒这时的角速度表示棒这时的角速度, ,则则（1 1） 第第二二阶阶段段是是碰碰撞撞过过程程。因

38、因碰碰撞撞时时间间极极短短，自自由由的的冲冲力力极极大大，物物体体虽虽然然受受到到地地面面的的摩摩擦擦力力，但但可可以以忽忽略略。这这样样，棒棒与与物物体体相相撞撞时时，它它们们组组成成的的系系统统所所受受的的对对转转轴轴O的的外外力力矩矩为为零零，所所以以，这这个个系系统统的的对对O轴轴的的角角动动量守恒。我们用量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度，则表示物体碰撞后的速度，则（2 2）式式中中 棒棒在在碰碰撞撞后后的的角角速速度度，它它可可正正可可负负。 取取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守

39、恒定律9/14/202468第第三三阶阶段段是是物物体体在在碰碰撞撞后后的的滑滑行行过过程程。物物体体作作匀匀减减速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为（3 3）由匀减速直线运动的公式得由匀减速直线运动的公式得（4）亦即亦即由式（由式（1 1）、（）、（2 2）与（）与（4 4）联合求解，即得）联合求解，即得（5）定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律9/14/202469亦亦即即l6l6 s；当当 取取负负值值，则则棒棒向向右右摆摆，其其条条件件为为亦即亦即l 6 s 棒棒的的质质心心C C上上升升的的最最大大高高度度，与与第第一一阶阶

40、段段情情况况相似，也可由机械能守恒定律求得：相似，也可由机械能守恒定律求得：把式（把式（5 5）代入上式，所求结果为）代入上式，所求结果为当当 取正值，则棒向左摆，其条件为取正值，则棒向左摆，其条件为(6)(6)定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律9/14/202470例例题题4-14 4-14 工工程程上上，两两飞飞轮轮常常用用摩摩擦擦啮啮合合器器使使它它们们以以相相同同的的转转速速一一起起转转动动。如如图图所所示示，A和和B两两飞飞轮轮的的轴轴 杆杆 在在 同同 一一 中中 心心 线线 上上 ， A轮轮 的的 转转 动动 惯惯 量量 为为JA=10kg m2，B B的的

41、转转动动惯惯量量为为JB=20kg m2 。开开始始时时A A轮轮的的转转速速为为600r/min，B轮轮静静止止。C为为摩摩擦擦啮啮合合器器。求求两两轮轮啮啮合合后后的的转转速速；在在啮啮合合过过程程中中，两两轮轮的的机机械械能有何变化？能有何变化？ A ACBACB定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律9/14/202471解解 以飞轮以飞轮A A、B B和啮合器和啮合器C C作为一系统来考虑，在作为一系统来考虑，在啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴切向摩擦力，前者对转轴的力

42、矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律可得可得 为两轮啮合后共同转动的角速度，于是为两轮啮合后共同转动的角速度，于是以各量的数值代入得以各量的数值代入得定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律9/14/202472或共同转速为或共同转速为 在在啮啮合合过过程程中中，摩摩擦擦力力矩矩作作功功，所所以以机机械械能能不不守守恒恒，部部分分机机械械能能将将转转化化为为热热量量，损损失的机械能为失的机械能为定轴转动刚体的角动量守恒定律

43、定轴转动刚体的角动量守恒定律9/14/202473 例例题题4-15 4-15 恒恒星星晚晚期期在在一一定定条条件件下下，会会发发生生超超新新星星爆爆发发，这这时时星星体体中中有有大大量量物物质质喷喷入入星星际际空空间间，同同时时星星的的内内核核却却向向内内坍坍缩缩，成成为为体体积积很很小小的的中中子子星星。中中子子星星是是一一种种异异常常致致密密的的星星体体，一一汤汤匙匙中中子子星星物物体体就就有有几几亿亿吨吨质质量量！设设某某恒恒星星绕绕自自转转轴轴每每4545天天转转一一周周，它它的的内内核核半半径径R0约约为为2 2 10107 7m，坍坍缩缩成成半半径径R仅仅为为6 6 10103

44、3m的的中中子子星星。试试求求中中子子星星的的角角速速度度。坍坍缩缩前前后后的星体内核均看作是匀质圆球。的星体内核均看作是匀质圆球。解解 在在星星际际空空间间中中，恒恒星星不不会会受受到到显显著著的的外外力力矩矩，因因此此恒恒星星的的角角动动量量应应该该守守恒恒，则则它它的的内内核核在在坍坍缩缩前前后后的的角动量角动量J J0 0 0 0和和J J 应相等。因应相等。因定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律9/14/202474代入代入J0 0=J 中，整理后得中，整理后得 由由于于中中子子星星的的致致密密性性和和极极快快的的自自转转角角速速度度，在在星星体体周周围围形形成成

45、极极强强的的磁磁场场，并并沿沿着着磁磁轴轴的的方方向向发发出出很很强强的的无无线线电电波波、光光或或X X射射线线。当当这这个个辐辐射射束束扫扫过过地地球球时时，就就能能检检测测到到脉脉冲冲信信号号，由由此此，中中子子星星又又叫叫脉脉冲星。目前已探测到的脉冲星超过冲星。目前已探测到的脉冲星超过300300个。个。定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律9/14/202475例例1616、 已知：均匀直杆已知：均匀直杆( (l l,M),M),一端挂在光滑水平轴上，开始时一端挂在光滑水平轴上，开始时静止在竖直位置，有一子弹（静止在竖直位置，有一子弹（m.m.v vo o) )水平射入而不复出。水平射入而不复出。求杆与子弹一起运动时的角速度求杆与子弹一起运动时的角速度解：解：子弹进入到一起运动子弹进入到一起运动瞬间完成瞬间完成系统（子弹系统（子弹+棒）棒）外力：外力： 重力、轴的作用力重力、轴的作用力对轴的力矩为零对轴的力矩为零角动量守恒角动量守恒动量守恒？动量守恒？方向方向？v vo o9/14/202476