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1、 第第2 2章章 气体动理论气体动理论 统计方法的一般概念统计方法的一般概念1. 1. 统计规律统计规律- - 大量偶然事件整体所遵从的规律大量偶然事件整体所遵从的规律. .加尔顿板实验加尔顿板实验: :单个粒子运动单个粒子运动-偶然事件偶然事件 ( (落入那个槽落入那个槽) )大量粒子运动大量粒子运动-统计规律统计规律( (粒子在槽中的分布粒子在槽中的分布) )1单个粒子遵循牛顿定律单个粒子遵循牛顿定律; ;大量粒子遵从统计规律大量粒子遵从统计规律 - - 牛顿运动定律无法说明牛顿运动定律无法说明统计规律特点统计规律特点: :( (2) 2) 是与单个粒子遵循的动力学规律有本质区别的新规律是
2、与单个粒子遵循的动力学规律有本质区别的新规律. .( (3) 3) 与系统所处宏观条件有关与系统所处宏观条件有关. .( (4) 4) 存在起伏存在起伏( (涨落涨落) .) .2. 2. 概率的定义概率的定义 实验总观测次数为实验总观测次数为N N , ,其中出现结果其中出现结果 A A 的次数为的次数为 N NA A 事件事件A A 出现的概率出现的概率 (1) (1) 对大量偶然事件有效对大量偶然事件有效, , 对少量事件不适用。对少量事件不适用。不矛盾不矛盾23. 3. 概率的基本性质概率的基本性质( (1) 1) W=0W=0为为不可能事件不可能事件; ; W=1W=1为为必然事件必
3、然事件. .( (2) 2) A,BA,B为为互斥事件互斥事件, ,不可能同时出现不可能同时出现, ,则出现则出现A A或或B B的总概率的总概率: :- - 概率叠加原理概率叠加原理归一化条件归一化条件: : 对所有可能发生的事件的概率之和必定为对所有可能发生的事件的概率之和必定为1.1.或或( (3) 3) J,KJ,K为为相容事件相容事件( (可同时出现可同时出现 ），则同时发生），则同时发生J J和和K K的概率的概率. .- - 概率乘法定理概率乘法定理34.4.平衡态是概率最大的状态平衡态是概率最大的状态a b c d 4a b c d 4个可分辨热运动粒子，在等容体个可分辨热运动
4、粒子，在等容体A,BA,B两室中：两室中：（中间隔板打开）中间隔板打开）A AB BA AB Ba b c da b c da b ca b cd da b da b dc ca c da c db bb c db c da aa b a b c dc da ca cb db db cb ca da da b a b c dc da ca cb cb cb db da da da b ca b ca b da b da c da c db c db c dd dc cb ba aa b c da b c d1 14 46 64 41 1( (平衡态概率最大平衡态概率最大) )42.1 2.1
5、理想气体压强理想气体压强思路思路: : 压强由大量气体分子不断碰撞容器壁而产生压强由大量气体分子不断碰撞容器壁而产生. . 压强为大量气体分子在单位时间内作用在器壁压强为大量气体分子在单位时间内作用在器壁 单位面积上的平均冲量单位面积上的平均冲量. .建立理想气建立理想气体微观模型体微观模型利用牛顿运动定律处理单个粒子的运动利用牛顿运动定律处理单个粒子的运动利用统计规律处理大量粒子的行为利用统计规律处理大量粒子的行为得到得到理想气体压强公式理想气体压强公式推导推导: :理想气体微观模型理想气体微观模型. .( (1)1)气体分子看成质点气体分子看成质点(2)(2)除碰撞外除碰撞外, ,忽略其它
6、力忽略其它力(3)(3)完全弹性碰撞完全弹性碰撞5速度在速度在的分子一次碰撞的分子一次碰撞dsds后的动量变化为后的动量变化为dtdt时间内时间内, ,凡是在底面积为凡是在底面积为dsds, , 高为高为v vixixdtdt 的斜柱体内的斜柱体内, , 的分子都能与的分子都能与 ds ds 相碰相碰. .这些分子作用于这些分子作用于 dsds 冲量为冲量为 推导理想气体压强公式用图推导理想气体压强公式用图v vivvidsx xvviv vivi =2vix而且速度在而且速度在dtdt内内各种各种速度分子对速度分子对ds ds 的总冲量为的总冲量为: :v vdsdsx xv vixixdt
7、dt6因而因而 压强压强由于由于所以所以其中其中为为分子的平均平动动能分子的平均平动动能这些分子作用于这些分子作用于 dsds 冲量为冲量为dtdt内各种速度分子对内各种速度分子对ds ds 的总冲量为的总冲量为: :平衡状态下分子沿任何平衡状态下分子沿任何方向的运动都不占优势方向的运动都不占优势7推导中用到的统计概念和统计假设推导中用到的统计概念和统计假设: :分子以各种方向入射角去碰分子以各种方向入射角去碰dsds的概率相同的概率相同平衡状态下分子沿任何方向的运动都不占优势，因而有平衡状态下分子沿任何方向的运动都不占优势，因而有: :讨论讨论: : 压强公式将宏观量压强公式将宏观量 p p
8、 和微观量和微观量 n n i ii i 的统计平的统计平均值联系在一起均值联系在一起 注意推导中的思维方法注意推导中的思维方法 气体分子相互碰撞时气体分子相互碰撞时, ,一个分子失去多少动量必有另一个分子失去多少动量必有另一个分子得到相同的动量一个分子得到相同的动量. . 分子相互碰撞导致分子与分子相互碰撞导致分子与dsds碰撞的次数增加和减碰撞的次数增加和减少的机会是相同的少的机会是相同的, , 推导未考虑分子间的相互碰撞推导未考虑分子间的相互碰撞. .8 温度是气体分子平均平动动能的量度温度是气体分子平均平动动能的量度, , 具有统计意义具有统计意义. .2.2 2.2 温度的微观意义温
9、度的微观意义温度反映了组成系统的大量微观粒子的无规则运动的温度反映了组成系统的大量微观粒子的无规则运动的剧烈程度，剧烈程度，92.3 能量均分定理能量均分定理 自由度自由度:气体分子：气体分子： 单原子单原子（看作质点）（看作质点） 3个平动自由度个平动自由度双原子双原子 3个平动自由度个平动自由度(质心质心), 2个转动自由度个转动自由度(联接方式联接方式)刚性刚性 5个自由度（无振动）个自由度（无振动）非刚性非刚性 6个自由度个自由度(1(1个振动自由度个振动自由度) )确定一个物体的空间位置所需的独立坐标数确定一个物体的空间位置所需的独立坐标数ox yzC(x,y,z)多原子多原子3个平
10、动自由度个平动自由度, 3个转动自由度，若干个振动自由度个转动自由度，若干个振动自由度ox yzC(x,y,z)10能量均分定理能量均分定理: 在温度为在温度为 T 的平衡态下的平衡态下, 分子每一个可能的自由度分子每一个可能的自由度都占有相同的能量都占有相同的能量 kT/2. 设分子有设分子有 t 个平动自由度个平动自由度, r 个转动自由度个转动自由度, s 个振动自由度个振动自由度, 由于每个振动自由度又占有振动动能和振动势能由于每个振动自由度又占有振动动能和振动势能 2 份能量份能量, 该分子的平均能量为该分子的平均能量为:理想气体理想气体(刚性分子刚性分子), S=0, S=0, 则
11、则单原子单原子双原子双原子多原子多原子( i= t + r + 2s )常温下常温下例：粒子的平均平动动能例：粒子的平均平动动能11理想气体内能理想气体内能:1mol理想气体分子数为理想气体分子数为 NA , 内能为内能为:质量为质量为 m的理想气体内能为的理想气体内能为:分子的平均能量为分子的平均能量为:( i= t + r + 2s )12一一 等概率假设等概率假设处在平衡态的孤立体系处在平衡态的孤立体系, , 其可能的微观态出现的几率相等其可能的微观态出现的几率相等 - - 平衡态统计理论的基础平衡态统计理论的基础 如果可能微观态总数为如果可能微观态总数为 ，则系统的任意微观态则系统的任
12、意微观态出现的概率均为出现的概率均为 1/ 1/ : : 系统自发趋向于最概然分布系统自发趋向于最概然分布求经典粒子（例：气体分子）按能量的最概然分布的思路求经典粒子（例：气体分子）按能量的最概然分布的思路: :( (1)1)求将求将N N个粒子按个粒子按 的各种量子态中去的可能占据的方式数的各种量子态中去的可能占据的方式数分别放到能量为分别放到能量为（2 2） 求求 取最大值的分布取最大值的分布, , 即最概然分布即最概然分布( (3)3) 求在最概然分布下求在最概然分布下, , 每个能级上的粒子数每个能级上的粒子数2.4 麦克斯韦速率分布律（预备知识）麦克斯韦速率分布律（预备知识）13能级
13、上每个量子态被占据的概率能级上每个量子态被占据的概率讨论过程中要用到讨论过程中要用到等概率假设等概率假设和和约束条件约束条件约束条件约束条件: 孤立体系孤立体系( (1)1)求将求将N N个粒子按个粒子按 的各种量子态中去的可能占据的方式数的各种量子态中去的可能占据的方式数分别放到能量为分别放到能量为（2 2） 求求 取最大值的分布取最大值的分布, , 即最概然分布即最概然分布( (3) 3) 求在最概然分布下求在最概然分布下, , 每个能级上的粒子数每个能级上的粒子数14二二. 麦克斯韦麦克斯韦-玻尔兹曼统计玻尔兹曼统计 ( M-B分布分布 )经典粒子彼此可以区分经典粒子彼此可以区分, 每个
14、量子态中的粒子数不受限制每个量子态中的粒子数不受限制. 2 2个经典粒子在个经典粒子在3 3个量子个量子态中的可能分布态中的可能分布（共（共9 9种种) )( (M-BM-B分布分布) )哈哈尔尔滨滨飞机飞机火车火车汽车汽车飞机飞机火车火车汽车汽车北北京京上上海海共有共有种方案种方案（2 2个不同粒子放入个不同粒子放入3 3个盒个盒子，分子，分2 2步完成。）步完成。）2 2个不同色子扔下，先扔个不同色子扔下，先扔1 1个，再扔另个，再扔另1 1个，共个，共6 62 2种状种状态态15 (2) 个粒子分别占用能级个粒子分别占用能级 的的 个量子态的占据方式为个量子态的占据方式为 Ni个经典粒子
15、分布在个经典粒子分布在 能级的能级的 个量子态上的占据方式为个量子态上的占据方式为 N 个可区分个可区分 粒子，分为粒子，分为 个粒子的组合方式为个粒子的组合方式为因而因而( (3)3)( (1)1)16(2) 为使为使 极大极大, 令令利用斯特令公式利用斯特令公式 因而因而y y1 1 2 2 3 3x x17由宏观约束条件由宏观约束条件（3） 由宏观约束条件确定由宏观约束条件确定 由拉格朗日乘子法原理由拉格朗日乘子法原理18最后可得最后可得由由可得可得经典粒子按能级经典粒子按能级的最概然分布的最概然分布M-BM-B分布分布理论和实理论和实验证明验证明192.4 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速
16、率分布律1. 麦克斯韦分子速度分布律麦克斯韦分子速度分布律 利用利用M-B分布可导出在没有势场情况下，分布可导出在没有势场情况下，理想气体按速度的分布规律。理想气体按速度的分布规律。 对理想气体，在温度对理想气体，在温度T的平衡态下的平衡态下:分子速度在分子速度在的概率的概率20利用利用212. 麦克斯韦分子速率分布律麦克斯韦分子速率分布律如果不考虑分子速度的方向，只考虑速度大小如果不考虑分子速度的方向，只考虑速度大小,由由并对并对由由 在在T的平衡态下，理想气体分子速率在的平衡态下，理想气体分子速率在 v-v+dv 范围范围 内的概率内的概率速率分布函数速率分布函数- 概率密度概率密度麦克斯
17、韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数满足归满足归-化条件化条件:ovyvzvxv* *220 0v vf(v)f(v). . . . . . . . .。银蒸汽银蒸汽真空真空2.5 麦克斯韦速率分布实验：麦克斯韦速率分布实验：银银相相对对厚厚度度23vv2vp vv+dv f (vp)o f (v)v1讨论讨论:(1) f (v)曲线下面积的物理意义曲线下面积的物理意义 寛度为寛度为dv的窄条面积的窄条面积:曲线下总面积曲线下总面积:24（3） 最概然速率最概然速率（最可几速率）（最可几速率）- f(v)-v曲线极大值所对应的速率曲线极大值所对应的速率 vpvp 的物理意义：的物理意义： vp
18、附近概率密度最大附近概率密度最大（同样速率间隔（同样速率间隔dv, 速率在速率在 vp - vp+ d v 的分子数最多的分子数最多)由由及及 f (vp)vp vv2vv+dvo f (v)v1（2） 由由同理，同理，253 三种速率三种速率平均速率平均速率方均根速率方均根速率最概然速率最概然速率vpvo f (v)可以看出可以看出前面前面说明说明是合理的是合理的26 2.6 重力场中粒子按高度的分布重力场中粒子按高度的分布外力场中外力场中, 粒子在粒子在速度在速度在的分子数的分子数对所有速度积分对所有速度积分,由速度分布由速度分布函数的归一函数的归一化条件化条件,得得得体积元得体积元dxd
19、ydz内的总分子数内的总分子数:27用空间粒子数密度表示用空间粒子数密度表示: n0为为 Ep =0 处的粒子数密度处的粒子数密度重力场中重力场中重力场中粒子按高度的分布重力场中粒子按高度的分布- - 恒温气压公式恒温气压公式28空气密度空气密度气体压强气体压强可以看作单位面积上空气柱重量可以看作单位面积上空气柱重量由由重力场中粒子按高度的分布重力场中粒子按高度的分布另一种推导方法：另一种推导方法：29 分子热运动分子热运动 踫撞示意图踫撞示意图2.9 气体分子的平均自由程气体分子的平均自由程1. 分子平均踫撞频率分子平均踫撞频率dddu分子平均踫撞频率分子平均踫撞频率30 由于分子向各个方向
20、运动的概率相同由于分子向各个方向运动的概率相同,所有两分子运动方向的平均夹角将是所有两分子运动方向的平均夹角将是 0至至 180之间的平均值之间的平均值 90因此因此所以所以即每秒内一个分子要发生几十亿次踫撞即每秒内一个分子要发生几十亿次踫撞.分子平均踫撞频率分子平均踫撞频率常温常压下常温常压下, 数量级为数量级为 例：例：H H2 2常温常压常温常压312. 平均自由程平均自由程平均自由程平均自由程: 分子在连续两次踫撞间所通过的自由路程的平均值分子在连续两次踫撞间所通过的自由路程的平均值将将 p=nkT 代入上式得代入上式得分子平均踫撞频率分子平均踫撞频率约为分子直径约为分子直径1010-
21、10-10米的米的10001000倍倍32*2.10 输运过程输运过程1.1.内摩擦内摩擦黏力黏力内摩擦系数内摩擦系数（黏度）（黏度）2.2.热传导热传导热量热量热导率热导率3.3.扩散扩散传递质量传递质量气体扩散系数气体扩散系数33物理意义？物理意义？速率大于速率大于V V1 1的速率平均值的速率平均值由由例例1 134v vf(v)f(v)温度温度T T相同，哪个是相同，哪个是H H2 2? ? 哪个是哪个是O O2 2? ?都个是都个是H H2, 2, 温度不同，哪个温度高？温度不同，哪个温度高？V Vp1p1V Vp2p20 0例例2 235用用简化运算简化运算例例3 336例：例：求求300300K K时，空气中速率在时，空气中速率在v vp p附近和附近和1010v vp p附近附近单位速率区间单位速率区间的的分子数占总分子数占总分子数的百分比各是多少？分子数的百分比各是多少？解：解：37例例4 4已知：已知： N N个粒子的速率分布函数为个粒子的速率分布函数为（C C为待定常数）为待定常数） 求：求：平均速率平均速率解：解：由由38例例5 5一瓶气体由一瓶气体由N N个分子组成。试证不论分子速率个分子组成。试证不论分子速率分布函数如何，总有分布函数如何，总有证：证：39
