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1、二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则第三节第三节一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念高阶导数高阶导数 第二章 一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念速度即加速度即引例引例：变速直线运动定义定义.若函数的导数可导,或类似定义三阶导数,n 阶导数 ,或的二阶导数二阶导数 , 记作的导数为 ,分别记作则称设求解解:例例1.思考思考: 设问例例2. 设求解解:特别有:解解:规定 0 ! = 1思考思考:例例3. 设求例例4. 设求解解: 一般地 ,类似可证:例例5 . 设 ，求解解:二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则都有 n 阶导数 , 则(C为常数)莱布尼兹莱布尼兹(Leibniz)
2、 公式公式注注及设函数例例6. 求解解: 设则代入莱布尼兹公式 , 得课堂练习课堂练习1. 如何求下列函数的 n 阶导数?提示提示: 提示提示: (3)提示提示: 令原式原式解解:第四节第四节一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率三、相关变化率 隐函数和参数方程求导隐函数和参数方程求导 相关变化率相关变化率 一、隐函数的导数一、隐函数的导数由确定 y 是 x 的函数：显函数显函数 ：例如：例如：可确定显函数可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .隐函数隐函数 ：隐函数求导方法求导方法: 两边对 x 求导(含导数
3、的方程)或者 x 是 y 的函数：例例1. 求由方程在 x = 0 处的导数解解: 方程两边对 x 求导得因 x = 0 时 y = 0 , 故确定的隐函数例例2. 求椭圆在点处的切线方程.解解: 椭圆方程两边对 x 求导切线:即例例3. 求的导数 . （幂指函数（幂指函数对数求导法对数求导法）解解: 两边取对数 , （化为隐式）两边对 x 求导二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个 y 与 x 之间的函数可导, 且则时, 有时, 有(此时看成 x 是 y 的函数 )关系,注：若二阶可导, 且 由 确定的函数可求二阶导数 .方法： 由练习练习1. 设,
4、 且求 P112 8（4）解解:例例4. 设由方程确定函数求解解: 方程组两边对 t 求导 , 得故 三、相关变化率三、相关变化率为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率例例5. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为当气球高度为 500 m 时, 观察员视线的仰角增加率是多少? 解解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,则两边对 t 求导已知 h = 500m 时, 1) 对幂指函数可用对数求导法对数求导法求导 :小结：第四节隐函数补充说明小结：第四节隐函数补充说
5、明: :按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .练习练习. 其中其中1、2求导数求导数 1. 2. 3. 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以100 mmin 的速率向气球出发点走来, 当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ? 4. 设由方程 确定，求P126. Ex11 5. 6.1、两边取对数两边对 x 求导2、 对 x 求导两边取对数 3. 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以100 mmin 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?提示提示: 对 t 求导已知求 4. 设由方程确定 , 解解: 方程两边对 x 求导, 得再求导, 得当时,故由 得再代入 得 求P126. Ex11试求当容器内水 5. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 ,今以 自顶部向容器内注水 ,位等于锥高的一半时水面上升的速度.解解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x , 水的两边对 t 求导而故体积为 V , 则6. 试从 导出解：解：同样可求(P103 题4 )作业作业P103 1 (9) , (12) ; 3 (1) ; 10 (2);P111 2 ; 6；11 3 (4) ; 4 (3) ; 7 (2) ; 8 (3) ;
