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1、空间向量复习空间向量复习例例3、如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质、如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质量为量为500kg,在它的顶点处分别受力在它的顶点处分别受力F1，F2，F3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是是60，且，且|F1|=|F2|=|F3|=200kg.这块钢板在这这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多少时，才能提起这块钢板？少时，才能提起这块钢板？oABCF1F2F3500kg例例4，如图，在四棱锥，如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，侧棱是正
2、方形，侧棱PD 底面底面ABCD，PD=DC，E是是PC的中点，作的中点，作EF PB交交PB于点于点F。 （1）求证：）求证：PA 平面平面EDB； （2）求证：）求证：PB 平面平面EFD； （3）求二面角）求二面角C-PB-D的大小。的大小。DABCEPFabOABba结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。同一平面内的两条有向线段表示。因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。关结论仍适用于它们。3.1.13.1.1空间向量的运
3、算空间向量的运算平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义 表示法 相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零加法交换律加法结合律数乘分配律加法交换律数乘分配律加法结合律类比思想 数形结合思想数乘:ka,k为正数,负数,零推广:（1 1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；向量的起点指向末尾向量的终点的向量；（2 2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。形，则它们的和为零向量。ABCDA1B1C1D1G
4、M 始点相同的三个始点相同的三个不共面向量之和，等不共面向量之和，等于以这三个向量为棱于以这三个向量为棱的平行六面体的以公的平行六面体的以公共始点为始点的对角共始点为始点的对角线所示向量线所示向量一、共线向量一、共线向量: :零向量与任意向量共线零向量与任意向量共线. . 1.1.共线向量共线向量: :空间两向量互相平行空间两向量互相平行或重合或重合, ,则这些向量叫做共线向量则这些向量叫做共线向量( (或平行向或平行向量量),),记作记作 2. 2.共线向量定理共线向量定理: :对空间任意两个对空间任意两个向量向量 的充要条件是存在的充要条件是存在实数实数使使3.1.2共线向量定理与共面向量
5、定理共线向量定理与共面向量定理 推论推论: :如果如果 为经过已知点为经过已知点A A且平行且平行已知非零向量已知非零向量 的直线的直线, ,那么对任一点那么对任一点O,O,点点P P在直线在直线 上的充要条件是存在实数上的充要条件是存在实数t,t,满足等式满足等式OP=OA+t OP=OA+t 其中向量其中向量a叫做直线的叫做直线的方向向量方向向量. .OABPa 若若P P为为A,BA,B中点中点, , 则则假如假如OP=OA+tABOP=OA+tAB，则点，则点P P、A A、B B三点共线。三点共线。可可用用于于证证明明点点共共线线二二. .共面向量共面向量: :1.1.共面向量共面向
6、量: :平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量, ,叫做共面向量叫做共面向量. .OA注意：注意：空间任意两个向量是共面的，但空间空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。任意三个向量就不一定共面的了。2.2.2.2.共面向量定理共面向量定理共面向量定理共面向量定理: : : :如果两个向量如果两个向量如果两个向量如果两个向量 不共线不共线不共线不共线, , , ,则向量则向量则向量则向量 与向量与向量与向量与向量 共面的充要共面的充要共面的充要共面的充要条件是存在实数对条件是存在实数对条件是存在实数对条件是存在实数对 使使使使注：可用于证明三个向量共面注：可用于证明三个
7、向量共面 推论推论: :空间一点空间一点P P位于平面位于平面MABMAB内的充内的充要条件是存在有序实数对要条件是存在有序实数对x,yx,y使使 或对空间任一点或对空间任一点O,O,有有 注意：注意：证明空间四点证明空间四点P、M、A、B共面的两个依据共面的两个依据实数对实数对1 1、已知、已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),a=(2,4,5),b=(3,x,y),若若ab,ab, 求求x,yx,y的值。的值。2 2、证明：三向量、证明：三向量a=ea=e1 1+e+e2 2,b=3e,b=3e1 1-2e-2e2 2,c=2e,c=2e1 1+3e+3e2 2 共面；若共面；若a=
8、mb+nca=mb+nc，试求实数，试求实数m m、n n之值。之值。1 1） 两个向量的夹角两个向量的夹角O OA AB B3.1.33.1.3空间向量的数量积空间向量的数量积向量向量a a与与b b的夹角记作：的夹角记作：2 2）两个向量的数量积）两个向量的数量积注意：注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量两个向量的数量积是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积等于零。零向量与任意向量的数量积等于零。3 3）射影）射影BAA1B1注意：是轴注意：是轴l l上的正射影上的正射影,A,A1 1B B1 1是一个可正可负的实数，是一个可正可负的实数，它的符号代表向量与它的符号代表向量与l
9、l的方向的相对关系，大小代的方向的相对关系，大小代表在表在l l上射影的长度。上射影的长度。4)4)空间向量的数量积性质空间向量的数量积性质 注意：注意：性质性质2 2）是证明两向量垂直的依据；）是证明两向量垂直的依据；性质性质3 3）是求向量的长度（模）的依据；）是求向量的长度（模）的依据；对于非零向量对于非零向量 ，有：，有：5)5)空间向量的数量积满足的运算律空间向量的数量积满足的运算律 注意：注意：数量积不满足结合律数量积不满足结合律1 1、应用、应用 可证明两直线垂直，可证明两直线垂直，2 2、利用、利用 可求线段的长度。可求线段的长度。向量数量积的应用向量数量积的应用3.1.43.
10、1.4空间向量正交分解及其坐标表示空间向量正交分解及其坐标表示空间向量基本定理：空间向量基本定理：如果三个向量如果三个向量a,b,c不共面不共面，那么对空间任一向量，那么对空间任一向量p,存在有序存在有序实数组实数组x,y,z,使得使得p=xa+yb+zc.空间所有向量的集合空间所有向量的集合p|p=xa+yb+zc,x,y,z Ra,b,c叫做空间的一个叫做空间的一个基底基底，a,b,c都叫做都叫做基向量。基向量。二、空间直角坐标系二、空间直角坐标系 单位正交基底：单位正交基底：如果空间的一个如果空间的一个基底基底的的三个三个基向量互相垂直基向量互相垂直，且，且长都为长都为1，则这个，则这个
11、基底叫做基底叫做单位正交基底单位正交基底，常用，常用 i , j , k 表表示。示。则空间中任意一个向量则空间中任意一个向量p可表示为可表示为 p=xi+yj+zk(x,y,z)就是向量就是向量p的坐标。的坐标。3.1.5 向量的直角坐标运算向量的直角坐标运算二、距离与夹角二、距离与夹角1.1.距离公式距离公式（1 1）向量的长度（模）公式）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。角线的长度。在空间直角坐标系中，已知、在空间直角坐标系中，已知、，则，则（2 2）空间两点间的距离公式）空间两点间的距离公式终点坐标减终点坐标减起
12、点坐标起点坐标2.2.两个向量夹角公式两个向量夹角公式注意：注意：（1）当）当 时，同向；时，同向；（2）当）当 时，反向；时，反向；（3）当）当 时，。时，。思考：当思考：当 及及 时，的夹角在什么范围内？时，的夹角在什么范围内？立体几何中的向立体几何中的向量方法量方法1 1、用空间向量解决立体几何问题的、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”。 （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、
13、直线、平面之间的）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义。成相应的几何意义。（化为向量问题）（化为向量问题）（进行向量运算）（进行向量运算）（回到图形问题）（回到图形问题）ala二、怎样求平面法向量？二、怎样求平面法向量？1 1、已知正方体、已知正方体ABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1的棱长为的棱长为2 2，E E、F F分别是分别是BB1BB1、DD1DD1的中点，求证：的中点，求证：（1 1）FC1/FC1/平面平面ADEADE（
14、2 2）平面）平面ADE/ADE/平面平面B1C1FB1C1F证明：如图证明：如图1 1所示建立空间直角所示建立空间直角坐标系坐标系D-D-xyzxyz，则有，则有D D（0 0，0 0，0 0）、）、A A（2 2，0 0，0 0）、）、C C（0 0，2 2，0 0）、）、C1C1（0 0，2 2，2 2）、）、E E（2 2，2 2，1 1）、）、F F（0 0，0 0，1 1），所以），所以 设设 ， 分别是分别是平面平面ADEADE、平面、平面B1C1FB1C1F的法向量，则，的法向量，则， ， 2、已知向量 则 上的单位向量为： 同理可求（1），又FC1平面ADE，平面ADE 平面
15、ADE/平面B1C1F（2 2）取取y=1y=1，则，则 设直线设直线l,m的方向向量分别为的方向向量分别为a,b，平面，平面， 的法向量分别为的法向量分别为u,v,则则线线平行：线线平行：l m a b a=kb;线面平行：线面平行：l a u au=0;面面平行：面面平行： u v u=kv.线线垂直：线线垂直：l m a b ab=0;面面垂直：面面垂直： u v uv=0.线面垂直：线面垂直：l a u a=ku;三、有关结论三、有关结论异面直线所成角的范围： 结论：结论：题型一：线线角题型一：线线角3.2.3利用空间向量求空间角利用空间向量求空间角题型二：线面角题型二：线面角直线与平
16、面所成角的范围：直线与平面所成角的范围： 题型二：线面角题型二：线面角直线直线AB与平面与平面所成所成的角的角可看成是向量与可看成是向量与平面平面的法向量所成的的法向量所成的锐角的余角，所以有锐角的余角，所以有 题型三：二面角题型三：二面角二面角的范围：关键：观察二面角的范围关键：观察二面角的范围BAaMNnab一、求异面直线的距离一、求异面直线的距离方法指导方法指导: :作直线作直线a、b的的方向向量方向向量a、b，求，求a、b的法的法向量向量n，即此异面直线，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；的公垂线的方向向量；在直线在直线a、b上各取一点上各取一点A、B，作向量，作向量AB；求向量求
17、向量AB在在n上的射影上的射影d，则异面直线，则异面直线a、b间的距间的距离为离为方法指导方法指导: :作直线作直线a、b的的方向向量方向向量a、b，求，求a、b的法的法向量向量n，即此异面直线，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；的公垂线的方向向量；在直线在直线a、b上各取一点上各取一点A、B，作向量，作向量AB；求向量求向量AB在在n上的射影上的射影d，则异面直线，则异面直线a、b间的距间的距离为离为3.2.4如图点如图点P为平面外一点，点为平面外一点，点A为平面内的任为平面内的任一点，平面的法向量为一点，平面的法向量为n,过点过点P作平面作平面 的垂的垂线线PO，记，记PA和平面和平面
18、 所成的角为所成的角为 ，则点，则点P到平面的距离到平面的距离n APO 二、求点到平面的距离二、求点到平面的距离例例4、已知正方形、已知正方形ABCD的边长为的边长为4，CG平面平面ABCDABCD，CG=2,ECG=2,E、F F分别是分别是ABAB、ADAD的中点，求直线的中点，求直线BDBD到平面到平面GEFGEF的距离。的距离。DABCGFExyz三、求直线与平面间距离三、求直线与平面间距离例例5、在边长为、在边长为1的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，M、N、E、F分别是棱分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求平的中点，求平面面AMN与平面与平面EF
19、DB的距离。的距离。ABCDA1B1C1D1MNEFxyz四、求平行平面与平面间距离四、求平行平面与平面间距离立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法坐标法坐标法问题1：已知：已知：ABC为正三角形，正三角形，EC 平面平面ABC,且且EC,DB在平面在平面ABC同同侧，CE=CA=2BD.求求证：平面平面ADE 平面平面ACE.怎样建立适当的空间直角坐标系？怎样建立适当的空间直角坐标系？怎样证明平面怎样证明平面ADE 平面平面ACE？如何求平面如何求平面ADE、平面平面ACE的法向量？的法向量？一个平面的法向量有多少个？一个平面的法向量有多少个？能否设平面能否设平面ADE的法向量为的法向量为
20、n n=(1,y,z)?这样做有什么好处？这样做有什么好处？解：分别以解：分别以CB，CE所在直线为所在直线为y,z轴，轴，C为原点建立空为原点建立空间直角坐标系间直角坐标系C-xyz,如右下图如右下图,设正三角形设正三角形ABC边长为边长为2则则C(0,0,0)、E(0,0,2)、D(0,2,1)、B(0,2,0)、设设N为为AC中点，则中点，则N 连接连接BN， ABC为正三角形，为正三角形，BN AC，EC 平面平面ABC, BN EC,又又ACEC=C, BN 平面平面ACE.因此可因此可取向量取向量 为平面为平面ACE的法向量的法向量.那么那么设平面设平面ADE的法向量为的法向量为n
21、=(1,y,z),n=(1,y,z),则则n nn nn=n= n n平面平面DEA 平面平面ACE.为了方便计算，能否取平面为了方便计算，能否取平面ACE的法向量为的法向量为通过上例，你能说出用坐标法解决立体几通过上例，你能说出用坐标法解决立体几何中问题的一般步骤吗？何中问题的一般步骤吗？步骤如下：步骤如下：1.建立适当的空间直角坐标系；建立适当的空间直角坐标系；2.写出相关点的坐标及向量的坐标；写出相关点的坐标及向量的坐标；3.进行相关的计算；进行相关的计算；4写出几何意义下的结论写出几何意义下的结论.小结：小结：1 1、怎样利用向量求距离？、怎样利用向量求距离？点到平面的距离：点到平面的
22、距离：连结该点与平面上任意一点的向量连结该点与平面上任意一点的向量在平面定向法向量上的射影（在平面定向法向量上的射影（如果不知道判断方向，如果不知道判断方向，可取其射影的绝对值可取其射影的绝对值）。）。点到直线的距离：点到直线的距离：求出垂线段的向量的模。求出垂线段的向量的模。直线到平面的距离：直线到平面的距离：可以转化为点到平面的距离。可以转化为点到平面的距离。平行平面间的距离：平行平面间的距离：转化为直线到平面的距离、点到转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。平面的距离。异面直线间的距离：异面直线间的距离：转化为直线到平面的距离、点到转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。也可运用闭合曲线求公垂线向量的模或平面的距离。也可运用闭合曲线求公垂线向量的模或共线向量定理和公垂线段定义求出公垂线段向量的模。共线向量定理和公垂线段定义求出公垂线段向量的模。
