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1、第一章第一章 函数与极限习题课函数与极限习题课一、主要内容一、主要内容（一）函数的定义（一）函数的定义（二）极限的概念（二）极限的概念（三）连续的概念（三）连续的概念函函 数数的定义的定义函函 数数的性质的性质奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性反函数反函数隐函数隐函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数双曲函数与双曲函数与反双曲函数反双曲函数（一）函数（一）函数1.1.函数的定义函数的定义函数的分类函数的分类2.2.函数的性质函数的性质有界、单调、奇偶、周期有界、单调、奇偶、周期3.3.反函数反函数4.4.隐函数
2、隐函数5.5.基本初等函数基本初等函数6.6.复合函数复合函数7.7.初等函数初等函数8.8.双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数数列极限数列极限函函 数数 极极 限限左右极限左右极限极限存在的极限存在的充要条件充要条件无穷大无穷大两者的两者的关系关系无穷小无穷小的性质的性质极限的性质极限的性质求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小判定极限判定极限存在的准则存在的准则两个重要两个重要极限极限无穷小的比较无穷小的比较等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性（二）极限（二）极限1 1、极限的定义：、极限的定义：单侧极限单侧极限2 2、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大无穷小；无穷小；
3、 无穷大；无穷大； 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系无穷小的运算性质无穷小的运算性质3 3、极限的性质、极限的性质四则运算、复合函数的极限四则运算、复合函数的极限极限存在的条件极限存在的条件4 4、求极限的常用方法、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限；利用左右极限求分段函数极限；f.利用等价无穷小；利用等价无穷小；g.利用重要极限利用重要极限5 5、判定极限存在的准则、
4、判定极限存在的准则夹逼定理、单调有界原理夹逼定理、单调有界原理6 6、两个重要极限、两个重要极限7 7、无穷小的比较、无穷小的比较8 8、等价无穷小的替换性质、等价无穷小的替换性质9 9、极限的唯一性、局部有界性、保号性、极限的唯一性、局部有界性、保号性（三）连续（三）连续左右连续左右连续连续的连续的充要条件充要条件间断点定义间断点定义 振振荡荡间间断断点点 无无穷穷间间断断点点 跳跳跃跃间间断断点点 可可去去间间断断点点第一类第一类 第二类第二类在区间在区间a,ba,b上连续上连续连续函数的连续函数的运算性质运算性质初等函数初等函数的连续性的连续性非初等函数非初等函数的连续性的连续性连续函数
5、连续函数的的 性性 质质1 1、连续的定义、连续的定义单侧连续单侧连续连续的充要条件连续的充要条件 闭区间的连续性闭区间的连续性2 2、间断点的定义、间断点的定义间断点的分类间断点的分类第一类、第二类第一类、第二类3 3、初等函数的连续性、初等函数的连续性连续性的运算性质连续性的运算性质 反函数、复合函数的连续性反函数、复合函数的连续性4 4、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理二、例题二、例题例例解解将分子、分母同乘以因子将分子、分母同乘以因子(1-x), 则则例例解解例例解解例例6 6解解例例证明证明
6、讨论讨论:由零点定理知由零点定理知,综上综上,例例 证证即即xn单调减，有下界单调减，有下界故由单调有界原理得故由单调有界原理得例例 求求解一解一例例 求求解解例例. 求极限求极限例例解一解一解二解二例例 证明证明证证由夹逼定理知由夹逼定理知例例解解因因f(x)在在x=0处为无穷间断，即处为无穷间断，即又又x=1为可去间断，为可去间断，例例解解从而由等价无穷小的代换性质得从而由等价无穷小的代换性质得例例利用介值定理证明，当利用介值定理证明，当 n 为奇数时，方程为奇数时，方程至少有一实根至少有一实根证证故由函数极限的保号性质可知故由函数极限的保号性质可知又又 n 是奇数，所以是奇数，所以故由零点定理知故由零点定理知和差化积和差化积sin+sin = 2 sin(+)/2 cos(-)/2sin-sin = 2 cos(+)/2 sin(-)/2cos+cos = 2 cos(+)/2 cos(-)/2cos-cos = -2 sin(+)/2 sin(-)/2积化和差积化和差sinsin = cos(+)-cos(-) /2coscos = cos(+)+cos(-)/2sincos = sin(+)+sin(-)/2cossin = sin(+)-sin(-)/2
