《D62定积分在几何学上的应用实用教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《D62定积分在几何学上的应用实用教案（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、平面一、平面(pngmin)图形的面积图形的面积1. 直角坐标(zh jio zu bio)情形设曲线(qxin)与直及 x 轴所则机动 目录 上页 下页 返回 结束 围曲边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为 线第1页/共50页第一页，共51页。例例1.计算计算(jsun)两两条抛物线条抛物线在第一(dy)象限(xingxin)所围所围图形的面积 . 解: 由得交点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共50页第二页，共51页。例例2.计算计算(jsun)抛物线抛物线与直线(zhxin)围图形(txng)的面积 . 解: 由得交点所为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有机动 目
2、录 上页 下页 返回 结束 第3页/共50页第三页，共51页。例例3.求椭圆求椭圆(tuyun)解: 利用(lyng)对称性 , 所围图形(txng)的面积 . 有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当 a = b 时得圆面积公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共50页第四页，共51页。例例4.求由摆线求由摆线(bixin)的一拱与 x 轴所围平面(pngmin)图形的面积 .解:机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第5页/共50页第五页，共51页。2.极坐标情形极坐标情形(qngxing)求由曲线(qxin)及围成的曲边扇形(shn xn)的面积 .在区间上任取小区间则对
3、应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共50页第六页，共51页。对应(duyng)例例5.计算计算(jsun)阿基阿基米德螺线米德螺线解:点击图片(tpin)任意处播放开始或暂停机动 目录 上页 下页 返回 结束 从 0 变到 2 所围图形面积 . 第7页/共50页第七页，共51页。例例6.计算计算(jsun)心形线心形线所围图形(txng)的面积(min j) . 解:(利用对称性)心形线 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共50页第八页，共51页。例例7.计算计算(jsun)心形线心形线与圆所围图形(txng)的面积 . 解:
4、 利用(lyng)对称性 ,所求面积机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共50页第十页，共51页。例例8.求双纽线求双纽线所围图形(txng)面积 . 解: 利用(lyng)对称性 ,则所求面积(min j)为思考: 用定积分表示该双纽线与圆所围公共部分的面积 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案:第11页/共50页第十一页，共51页。二、平面曲线的弧长二、平面曲线的弧长定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,当折线(zhxin)段的最大边长 0 时,折线的长度趋向于一个确定(qudng)的极限 ,此极限为曲线弧 AB 的弧长 ,即并称(bn chn)此曲线弧为可求长的.定理
5、: 任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称第12页/共50页第十二页，共51页。(1)曲线曲线(qxin)弧由直角坐弧由直角坐标方程给出标方程给出:弧长元素(yun s)(弧微分) :因此(ync)所求弧长(P168)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共50页第十三页，共51页。(2)曲线弧由参数曲线弧由参数(cnsh)方程给出方程给出:弧长元素(yun s)(弧微分) :因此(ync)所求弧长机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共50页第十四页，共51页。(3)曲线曲线(qxin)弧由极坐标方程弧由极坐标方程给出给出:因此(ync
6、)所求弧长则得弧长元素(yun s)(弧微分) :(自己验证)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共50页第十五页，共51页。例例9.两根电线杆之间的电线两根电线杆之间的电线,由于其本身由于其本身(bnshn)的重量的重量,成悬链线 .求这一段弧长 . 解:机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 下垂(xi chu)悬链线方程为第16页/共50页第十六页，共51页。例例10.求连续求连续(linx)曲线段曲线段解:的弧长.机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共50页第十七页，共51页。例例11.计算计算(jsun)摆线摆线一拱的弧长 .解:机动 目录 上
7、页 下页 返回(fnhu) 结束 第18页/共50页第十八页，共51页。例例12.求阿基米德求阿基米德(jmd)螺线螺线相应(xingyng)于 02一段的弧长 . 解:(P349 公式(gngsh)39)小结 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共50页第十九页，共51页。三、已知平行截面面积函数的立体三、已知平行截面面积函数的立体(lt)体体积积设所给立体垂直于x 轴的截面(jimin)面积为A(x), 则对应(duyng)于小区间的体积元素为因此所求立体体积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 上连续,第20页/共50页第二十页，共51页。特别特别(tbi),当考虑连当考虑连续曲线段
8、续曲线段绕 x 轴旋转(xunzhun)一周围成的立体体积时,有当考虑(kol)连续曲线段绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共50页第二十一页，共51页。例例13.计算计算(jsun)由椭圆由椭圆所围图形(txng)绕 x 轴旋转(xunzhun)而转而成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程则(利用对称性)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共50页第二十二页，共51页。方法方法2利用利用(lyng)椭圆参椭圆参数方程数方程则特别当b = a 时, 就得半径(bnjng)为a 的球体的体积机动 目录 上页 下页 返回(fn
9、hu) 结束 第23页/共50页第二十三页，共51页。例例14.计算计算(jsun)摆摆线线的一拱与y0所围成的图形分别(fnbi)绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .解: 绕 x 轴旋转(xunzhun)而成的体积为利用对称性机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共50页第二十四页，共51页。绕绕y轴旋转轴旋转(xunzhun)而成的体积为而成的体积为注意(zh y)上下限 !注注 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第25页/共50页第二十五页，共51页。柱壳体积(tj)说明说明(shumng):柱面面积(min j)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页/共5
10、0页第二十七页，共51页。偶函数奇函数机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第28页/共50页第二十八页，共51页。例例15.设设在 x0 时为连续(linx)的非负函数, 且 形绕直线 xt 旋转(xunzhun)一周所成旋转(xunzhun)体体积 ,证明(zhngmng):证:利用柱壳法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 故第29页/共50页第二十九页，共51页。例例16.一平面经过半径一平面经过半径(bnjng)为为R的圆柱体的圆柱体的底圆中心的底圆中心,并与底面交成 角,解: 如图所示取坐标系,则圆的方程(fngchng)为垂直于x 轴 的截面(jimin)是直角三角形,
11、其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第30页/共50页第三十页，共51页。思考思考:可否选择可否选择(xunz)y作积分变量作积分变量?此时截面面积函数(hnsh)是什么 ?如何用定积分表示(biosh)体积 ?提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第31页/共50页第三十一页，共51页。垂直 x 轴的截面(jimin)是椭圆例例17.计算计算(jsun)由曲面由曲面所围立体(lt)(椭球体)解:它的面积为因此椭球体体积为特别当 a = b = c 时就是球体体积 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 的体积.第32页/共50页第三十二
12、页，共51页。例例18.求曲求曲线线(qxin)与 x 轴围成的封闭(fngb)图形绕直线 y3 旋转(xunzhun)得的旋转(xunzhun)体体积.(94 考研)解: 利用对称性 ,故旋转体体积为在第一象限 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第33页/共50页第三十三页，共51页。四、旋转体的侧面积四、旋转体的侧面积(minj)(补充补充)设平面光滑(gung hu)曲线积分(jfn)后得旋转体的侧面积求它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .取侧面积元素:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第34页/共50页第三十四页，共51页。侧面积(min j)元素的线性主部 .若光滑曲
13、线(qxin)由参数方程给出,则它绕 x 轴旋转一周(y zhu)所得旋转体的不是薄片侧面积S 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:侧面积为第35页/共50页第三十五页，共51页。例例19.计算计算(jsun)圆圆x 轴旋转一周所得(su d)的球台的侧面积 S .解: 对曲线(qxin)弧应用公式得当球台高 h2R 时, 得球的表面积公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第36页/共50页第三十六页，共51页。例例20.求由星形线求由星形线轴旋转(xunzhun)一周所得的旋转(xunzhun)体的表面积 S .解: 利用(lyng)对称性绕 x星形线 目录(ml) 上页 下
14、页 返回 结束 第37页/共50页第三十七页，共51页。内容内容(nirng)小结小结1. 平面(pngmin)图形的面积边界(binji)方程参数方程极坐标方程2. 平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程弧微分:直角坐标方程直角坐标方程注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小机动 目录 上页 下页 返回 结束 第39页/共50页第三十九页，共51页。3.已知平行截面已知平行截面(jimin)面面积函数面面积函数的立体体积的立体体积旋转体的体积(tj)绕 x 轴 :4. 旋转体的侧面积(min j)侧面积元素为(注意在不同坐标系下 ds 的表达式)绕 y 轴 :(柱壳法)机动 目录 上页
15、下页 返回 结束 第40页/共50页第四十页，共51页。思考思考(sko)与练习与练习1.用定积分(jfn)表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s .提示(tsh): 交点为弧线段部分直线段部分机动 目录 上页 下页 返回 结束 以 x 为积分变量 , 则要分两段积分, 故以 y 为积分变量. 第41页/共50页第四十一页，共51页。2.试用试用(shyng)定积分求圆定积分求圆上半圆(bnyun)为下求体积(tj) :提示:方法1 利用对称性机动 目录 上页 下页 返回 结束 绕 x 轴旋转而成的环体体积 V 及表面积 S .第42页/共50页第四十二页，共51页。方法方法(fngf)2用
16、柱壳法用柱壳法说明(shumng): 上式可变形为机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 上半圆为下此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示). 第43页/共50页第四十三页，共51页。求侧面积求侧面积(minj):利用(lyng)对称性机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 上式也可写成上半圆为下它也反映了环面微元的另一种取法. 第44页/共50页第四十四页，共51页。作业作业(zuy)P284 2 (1) , (3) ; 4; 5 (2) , (3) ; 8 (2) ; 10; 27 ; 30 第三节 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 面积(min j)及弧长部分： 体
17、积及表面积部分：P284 13; 14 ; 15 (1), (4); 17; 18补充题: 设有曲线 过原点作其切线 , 求由此曲线、切线及 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.第45页/共50页第四十五页，共51页。备用备用(biyng)题题解：1. 求曲线(qxin)所围图形(txng)的面积.显然面积为同理其它.机动 目录 上页 下页 返回 结束 又故在区域第46页/共50页第四十六页，共51页。分析(fnx)曲线特点2.解:与 x 轴所围面积(min j)由图形(txng)的对称性 ,也合于所求. 为何值才能使与 x 轴围成的面积等机动 目录 上页 下页 返回
18、 结束 故第47页/共50页第四十七页，共51页。3.求曲线(qxin)所围成图形的公共部分(b fen)的面积 .解：与得所围区域(qy)的面积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第48页/共50页第四十八页，共51页。设平面(pngmin)图形 A 由与所确定(qudng) , 求图形 A 绕直线(zhxin) x2 旋转一周所得旋转体的体积 . 提示：选 x 为积分变量.旋转体的体积为4.机动 目录 上页 下页 返回 结束 若选 y 为积分变量, 则 第49页/共50页第四十九页，共51页。感谢您的欣赏(xnshng)！第50页/共50页第五十页，共51页。内容(nirng)总结一、平面图形的面积。象限所围所围图形的面积 .。设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),。绕 x 轴旋转一周围成的立体体积时,。绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,。绕直线 y3 旋转得的旋转体体积.。则它绕 x 轴旋转一周所得(su d)旋转体的。圆周滚动时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线)。(注意在不同坐标系下 ds 的表达式)。第49页/共50页。感谢您的欣赏第五十一页，共51页。
