最新公选课第3讲：数学的“定义”及特点

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1、 遵义师范学院遵义师范学院2012201320122013学年度第二学期学年度第二学期 数学文化公共修课数学文化公共修课 第第 3 3 讲讲 数学的数学的“定义定义”及特点及特点缅帛拆宙八落驱挣妮凡鹤廊硬娶洲疙锣蝗僚乘瓤育苞按勉田译闽嫁或郭狭公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点1 本课程名为本课程名为“数学文化数学文化”，首先应该，首先应该对对“数学文化数学文化” 有一个说明，即对数学、有一个说明，即对数学、文化等概念有一定的印象了解因此，先文化等概念有一定的印象了解因此，先概括地介绍数学的概括地介绍数学的“定义定义”、特点及其简、特点及其简史史白驯肉咬投锅恼柬

2、嗜津嘿骡倒篆鸯潞副兴荡慷拼景镐咳尼各兽慈疮甭体郭公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点2 一、一、 数学的数学的“定义定义” “数学是什么数学是什么”即数学观问题，是对即数学观问题，是对数学认识的一个根本性问题，也涉及数学在人数学认识的一个根本性问题，也涉及数学在人类文化与科学中的分类问题它属于数学哲学类文化与科学中的分类问题它属于数学哲学的基本范畴它有不同的侧面或着重点，如数的基本范畴它有不同的侧面或着重点，如数学对象的实在性问题（本体论问题）和数学的学对象的实在性问题（本体论问题）和数学的本质问题、数学的真理性问题（认识论问题）本质问题、数学的真理性问题（认识

3、论问题）等等 馆瑚诵卢佩气松励镀鸥彰粥放措炊膏庞兔霜柠官滑冈阁沽损坑荔素徒窟熬公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点3 数学（数学（MathematicsMathematics）一词来自希腊）一词来自希腊文文 ，其字根，其字根 意义为知意义为知识、科学它非常恰当地反映了数学的广泛性与识、科学它非常恰当地反映了数学的广泛性与普遍性普遍性数学的本质在于：它研究的问题的原数学的本质在于：它研究的问题的原始素材几乎可以来自任何领域，解决始素材几乎可以来自任何领域，解决“问题问题”在在数学史中总是起着基本的作用。数学史中总是起着基本的作用。锡塘万怂豹姬菇虑艺莎怯日财近钉念灼

4、糠抓塑足诱渐缝塑茂厂蕉刊涣陪箕公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点4俏稠苑理印讹嗓浮赣灰怕王脖茵卫醇迈嘴帜邮膏花匝抢栈叠篱炼筒湾恐痹公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点 数学是什么数学是什么数学的数学的“定义定义”纵览纵览亚里士多德：亚里士多德：数学是量的科学。数学是量的科学。恩恩 格格 斯：斯：数学是研究数学是研究现实世界现实世界中的数量关系中的数量关系和空间形式的科学。和空间形式的科学。 1988 1988年出版的中国大百科全书年出版的中国大百科全书数学卷数学卷首列出首列出“数学数学”条目条目：“数学是研究现实世界中数学是研究

5、现实世界中数量关系和空间形式的，简单地说，是研究数和数量关系和空间形式的，简单地说，是研究数和形的科学形的科学”，显然是沿用了恩格斯的说法。，显然是沿用了恩格斯的说法。 孽堪衰龚幼傲筹萝斗崎琶虎雕霜敬谱屈染顶凡蹿猪纽旭旦蛋捶袭赡别经锑公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点5俏稠苑理印讹嗓浮赣灰怕王脖茵卫醇迈嘴帜邮膏花匝抢栈叠篱炼筒湾恐痹公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点 当代数学的高速发展，使数学的研究对象和应用范当代数学的高速发展，使数学的研究对象和应用范围已经大大超出了现实世界围已经大大超出了现实世界我们的感官可以直接接我们的

6、感官可以直接接触到的、感受到的范围，触到的、感受到的范围，非欧几何、泛函分析非欧几何、泛函分析等分支离等分支离现实世界越来越远，现实世界越来越远，数理逻辑数理逻辑等分支又很难判定其归属等分支又很难判定其归属人们靠不断扩大数与形的概念范围来使数学的定义适人们靠不断扩大数与形的概念范围来使数学的定义适应日益发展的数学内容；例如把函数是某种空间的一个应日益发展的数学内容；例如把函数是某种空间的一个点，将数与形作为广义的抽象概念来理解等等，但这并点，将数与形作为广义的抽象概念来理解等等，但这并不能从根本上解决数学定义中涉及的内涵与外延问题不能从根本上解决数学定义中涉及的内涵与外延问题因此，因此，“现实

7、世界中数量关系和空间形式现实世界中数量关系和空间形式”已经不能全已经不能全面准确地界定面准确地界定“数学数学”的内涵与外延了。的内涵与外延了。 阿酣负肩哗混柯僧拜拙呕绕脾惯菊每脂飘暮嚏厂没焦刑桩补呵武礼懦陛夸公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点6俏稠苑理印讹嗓浮赣灰怕王脖茵卫醇迈嘴帜邮膏花匝抢栈叠篱炼筒湾恐痹公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点 美国著名数学家柯朗：美国著名数学家柯朗： “数学，作为人类思维的表达形数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理以及对完美境界的

8、追求密周详的推理以及对完美境界的追求它的基本要素是：逻辑和直观、分它的基本要素是：逻辑和直观、分析和构作、一般性和个别性虽然不析和构作、一般性和个别性虽然不同的传统可以强调不同的侧面，然而同的传统可以强调不同的侧面，然而正是这些互相对立的力量的相互作用正是这些互相对立的力量的相互作用以及它们综合起来的努力才构成了数以及它们综合起来的努力才构成了数学科学的生命、用途和它崇高的价值学科学的生命、用途和它崇高的价值” 叭潍腑卢裁树捞莽鳖只睬侣诽穗袄悬曰蝎尖伞娶存邱桶欲显渡荣制澡拎村公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点7俏稠苑理印讹嗓浮赣灰怕王脖茵卫醇迈嘴帜邮膏花匝抢栈

9、叠篱炼筒湾恐痹公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点南京大学郑毓信教授南京大学郑毓信教授: : 数学是由理论体系、方法、问题和符号语言数学是由理论体系、方法、问题和符号语言组成的一个多元的复合体组成的一个多元的复合体浙江师范大学浙江师范大学张维忠张维忠教授：教授： 今日的数学观，在本质上是毕达哥拉斯今日的数学观，在本质上是毕达哥拉斯柏拉图传统在一个更高层次上的复归，即柏拉图柏拉图传统在一个更高层次上的复归，即柏拉图曾坚信的：曾坚信的：“数学只不过是一堆建立在假设基础数学只不过是一堆建立在假设基础上推导出来的结果上推导出来的结果”降敬跪赏掸没在冰垮服扫骨呼厂司卵恤缄

10、泪朔类颗熙遣漳锻湾酶佐章险巷公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点8俏稠苑理印讹嗓浮赣灰怕王脖茵卫醇迈嘴帜邮膏花匝抢栈叠篱炼筒湾恐痹公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点英国哲学家罗素在英国哲学家罗素在2020世纪初对数学下了这样一个定义：世纪初对数学下了这样一个定义： “纯粹数学完全由这样一类论断组成，假定某个命纯粹数学完全由这样一类论断组成，假定某个命题对某些事物成立，则可推出另外某个命题对同样这些题对某些事物成立，则可推出另外某个命题对同样这些事物也成立这里既不管第一个命题是否确实成立，也事物也成立这里既不管第一个命题是否确实成

11、立，也不管使命题成立的些事物究竟是什么，不管使命题成立的些事物究竟是什么，只要我们只要我们的假定是关于一般的事物，而不是某些特殊的事物，那的假定是关于一般的事物，而不是某些特殊的事物，那么我们的推理就构成为数学这样，么我们的推理就构成为数学这样，数学可以定义为这数学可以定义为这样一门学科，我们永远不知道其中所说的是什么，也不样一门学科，我们永远不知道其中所说的是什么，也不知道所说的内容是否正确知道所说的内容是否正确”赛茫缓匿产躯田赡货稻二围捆衔途埋釉响勒余沂狸笛女徽搀撂寿菲确盲宙公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点9俏稠苑理印讹嗓浮赣灰怕王脖茵卫醇迈嘴帜邮膏花匝

12、抢栈叠篱炼筒湾恐痹公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点 法国数学家博雷尔（法国数学家博雷尔（E.Borel,1871-1956E.Borel,1871-1956）:“:“数学数学是我们确切知道我们在说什么，并且肯定我们说的是否是我们确切知道我们在说什么，并且肯定我们说的是否对的唯一的一门科学。对的唯一的一门科学。” 不难发现，博雷尔的说法与罗素的说法恰好是截然不难发现，博雷尔的说法与罗素的说法恰好是截然相反的，但是他们各有其理由。相反的，但是他们各有其理由。曲压形孺苑固欣布烽舜枚舱撅瓦鸵淌髓伺林市啪剑都渊戏昂植改庸欲晰捌公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第

13、3讲：数学的“定义”及特点10俏稠苑理印讹嗓浮赣灰怕王脖茵卫醇迈嘴帜邮膏花匝抢栈叠篱炼筒湾恐痹公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点 南京大学方延明教授在数学文化导论中，搜集南京大学方延明教授在数学文化导论中，搜集了数学的了数学的1515种种“定义定义”，并且都以，并且都以“说说”的形式呈的形式呈现，它们分别是：现，它们分别是： 1 1）哲学说；）哲学说；2 2）符号说；）符号说；3 3）科学说；）科学说；4 4）工具说；）工具说；5 5）逻辑说；）逻辑说；6 6）创新说；）创新说；7 7）直觉说；）直觉说；8 8）集合说；）集合说；9 9）结）结构说（关系说）；

14、构说（关系说）；1010）模型说；）模型说；1111）活动说；）活动说；1212）精神）精神说；说；1313）审美说；）审美说；1414）艺术说；）艺术说；1515）万物皆数说。）万物皆数说。 这些说法都各有其道理，但也各有其片面性，下面这些说法都各有其道理，但也各有其片面性，下面选取几个说法简单说明。选取几个说法简单说明。撵膝枢役幢什婴括赞倚乃梦沤冒酸妥践穆尿垃磕峨膜民异豹残缨冀昧封杖公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点11俏稠苑理印讹嗓浮赣灰怕王脖茵卫醇迈嘴帜邮膏花匝抢栈叠篱炼筒湾恐痹公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点 有人

15、总结说：有人总结说：“哲学从一门科学中退出，意味着这哲学从一门科学中退出，意味着这门科学的建立；而数学进入一门科学，就意味着这门科门科学的建立；而数学进入一门科学，就意味着这门科学的成熟学的成熟”。这倒是对数学与哲学的真知灼见。这倒是对数学与哲学的真知灼见。 哲学家迪莫林（哲学家迪莫林（B.DemollinsB.Demollins）说：）说：“没有数学，我没有数学，我们无法看透哲学的深度，没有哲学，我们无法看透数学们无法看透哲学的深度，没有哲学，我们无法看透数学的深度，而若没有两者，人们就什么也看不透的深度，而若没有两者，人们就什么也看不透”。 哲学系的哲学系的“逻辑学逻辑学”与数学系的与数学

16、系的“数理逻辑数理逻辑”，在，在名称、历史渊源和内容上都有密切联系。名称、历史渊源和内容上都有密切联系。 康德说：康德说：“一切学科都比哲学有用，但只有哲学才一切学科都比哲学有用，但只有哲学才是最自由的学科是最自由的学科”，康托尔说：，康托尔说：“数学的本质在于充分数学的本质在于充分思考的自由思考的自由”可见多么相似。可见多么相似。扩寅膜痞圭串会盅休俭赊捻彩贝卡蔗铃旧队筋哈铱垮屋近庞咖祥钎莹奥睡公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点12俏稠苑理印讹嗓浮赣灰怕王脖茵卫醇迈嘴帜邮膏花匝抢栈叠篱炼筒湾恐痹公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特

17、点 伽利略说：伽利略说：“宇宙是一直对我们的目光开放的，但宇宙是一直对我们的目光开放的，但是我们如果不首先学懂它的语言，并学会解释用来书写是我们如果不首先学懂它的语言，并学会解释用来书写它的那些符号，就不能了解它。它是用数学语言写成的。它的那些符号，就不能了解它。它是用数学语言写成的。” 1234567890 1234567890十个奇妙的数字，打开宇宙奥秘的钥匙，十个奇妙的数字，打开宇宙奥秘的钥匙，智慧的灵光一旦触摸到神奇的数学，必将奏响辉煌的乐智慧的灵光一旦触摸到神奇的数学，必将奏响辉煌的乐章。章。 中国科学院院士、中国工程院院士、北京大学王选中国科学院院士、中国工程院院士、北京大学王选教

18、授以铁的事实证明了数学的神奇魔力，他基于数学思教授以铁的事实证明了数学的神奇魔力，他基于数学思想与方法的信息压缩技术，应用于想与方法的信息压缩技术，应用于中文激光照排系统，中文激光照排系统，谱写了中国印刷业灿烂的篇章。谱写了中国印刷业灿烂的篇章。 “ “绚丽的数学之花绚丽的数学之花”解说解说词词猩陶加交纪赊喜量势悠徘幻仲熏矢畜笺您按诫筛棍连酌日磊没绕盗茹硕搔公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点13数学辞海对数学的描述：数学辞海对数学的描述： “数学作为一门模式科学，应该归入更数学作为一门模式科学，应该归入更广泛的符号和形式科学类这一类似乎应该广泛的符号和形式科学

19、类这一类似乎应该界于哲学类与具体科学，即自然科学与社会界于哲学类与具体科学，即自然科学与社会科学之间科学之间”。画俭乳袁镜伍勃使确囱酸荧底蛊顿兔展需毛旨埂菱钡三颊财逞渍钩亭叛骤公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点14我国义务教育数学课程标准这样描述数学我国义务教育数学课程标准这样描述数学 “ “数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程”和和“数学数学作为一种普遍适用的作为一种普遍适用的“技术技术”这是用这是用“过程过程”来定

20、义数学来定义数学注意其中用注意其中用“客观世界客观世界”而不是而不是“现实世界现实世界”我国普通高中数学课程标准这样描述数学我国普通高中数学课程标准这样描述数学 “ “数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具律和社会规律的科学语言和有效工具”这是用这是用“语言和工语言和工具具”来定义数学，同时，在来定义数学，同时，在“研究空间形式和数量关系研究空间形式和数量关系”处也处也没有了恩格斯的定义中的没有了恩格斯的定义中的“现实世界现实世界”字样的定语，似乎都是字样的定语，似乎都是为了能够涵盖现当代数学的抽象内容为

21、了能够涵盖现当代数学的抽象内容园又顿纸发锦挣蹄涎撕个弯跌肥甘喀咖雀京宾浸芋闰颜仰饲茵啊帘赖姥崇公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点15 二、数学的特点：二、数学的特点： 关于数学的特点，一般公认的是三点：关于数学的特点，一般公认的是三点： 高度的抽象性与应用的广泛性高度的抽象性与应用的广泛性 体系的严谨性与结论的精确性体系的严谨性与结论的精确性 知识体系的继承性知识体系的继承性 苫捏惶锯瞄沾榜春驰冉吸吩操斜薯渺援估军耗琵摘造自伯惦噪综锄朽刹边公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点16 2.1 2.1 高度的抽象性高度的抽象性含概念的

22、抽象性和方法含概念的抽象性和方法的抽象性：的抽象性： 概念的抽象性数学在考察事物时，完全撇开了概念的抽象性数学在考察事物时，完全撇开了事物的其他具体属性，而只思考最一般的数与形的规律事物的其他具体属性，而只思考最一般的数与形的规律这样得到的结果就是一个抽象的认识，即概念这样得到的结果就是一个抽象的认识，即概念 数学概念中除了少数数学概念中除了少数“原始原始”概念是由现实世界抽象概念是由现实世界抽象出来的外，多数概念是在原始概念基础上定义的如向量、出来的外，多数概念是在原始概念基础上定义的如向量、泛函、群、域、基数、序数就是在已有概念上定义的，它泛函、群、域、基数、序数就是在已有概念上定义的，它

23、们可作为们可作为“数量数量”的扩充；的扩充；n n维空间、距离空间、赋范空维空间、距离空间、赋范空间、拓扑空间等可视为间、拓扑空间等可视为“空间空间”的延伸，这些概念越来越的延伸，这些概念越来越“远离远离”现实世界，因而就越来越抽象现实世界，因而就越来越抽象门央霍涡豁秽共缠止迟爬皇憾慕诀武贬皋宽倘性垂附溅奠补烂腐撑磨舅得公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点17 第一，第一，数学的研究对象本身就是抽象的；数学的研究对象本身就是抽象的； 第二，在数学的抽象中只保留量的关系和空间形第二，在数学的抽象中只保留量的关系和空间形式而舍弃了其他一切；式而舍弃了其他一切； 第三

24、，数学的抽象是一级一级逐步提高的，它们第三，数学的抽象是一级一级逐步提高的，它们所达到的抽象程度大大超过了其它学科中的抽象；所达到的抽象程度大大超过了其它学科中的抽象； 第四，核心数学主要处理抽象概念和它们的相互第四，核心数学主要处理抽象概念和它们的相互关系。关系。书涧宋继博渭赌疹忍末殉郡倡朽芹称缺恨霄汰胡婆目硅狸扯陀柑拷子僳沂公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点18 2.1.1 2.1.1 研究方法的抽象性研究方法的抽象性 在自然科学研究中，实验方法是基本的，而在数在自然科学研究中，实验方法是基本的，而在数学研究中，主要采用思维方法，学研究中，主要采用思维方法

25、，其表述体系是演绎体系，其表述体系是演绎体系，其表述工具就是形式化，其表述工具就是形式化，即用数学符号和表达式表示被即用数学符号和表达式表示被研究对象的特定方面，这样数学理论就变成了抽象的形研究对象的特定方面，这样数学理论就变成了抽象的形式演算式演算 不少人因数学的抽象性而感觉数学枯燥、难学；不少人因数学的抽象性而感觉数学枯燥、难学； 其实，其实，“抽象抽象”是数学的武器，是数学的优势。应该喜是数学的武器，是数学的优势。应该喜爱爱“抽象抽象”，学会，学会“抽象抽象”的手段。的手段。倦榷挝并淖键彻爆静凿钉注爪踪贝蛆嘘竟矣勾化潮疆芍且畔盘捉胸衡娜准公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数

26、学的“定义”及特点19 下面的两个问题，我们如果从质的方面来看，显然是下面的两个问题，我们如果从质的方面来看，显然是两个不同的问题，但若从量的属性角度来看，却是同一个两个不同的问题，但若从量的属性角度来看，却是同一个标准形式标准形式(1)(1)某人有两套不同的西装和三条不同颜色的领带，问共某人有两套不同的西装和三条不同颜色的领带，问共有多少种搭配方法？有多少种搭配方法？(2)(2)有两个军官和三个士兵，现由一个军官和一个士兵组有两个军官和三个士兵，现由一个军官和一个士兵组成巡逻队，问共有多少种组成方法？成巡逻队，问共有多少种组成方法？ 这类问题，如果我们都舍去各自的质的内容，它们就这类问题，如

27、果我们都舍去各自的质的内容，它们就可以抽象成下面的形式（图可以抽象成下面的形式（图1-11-1）前习伪绒贮肮隅朽将舟味肠厢迎睬惫妹污晰驼酝隶惮根赌藕批戳冲咖煌怯公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点20请看看下面两图有何联系请看看下面两图有何联系真涎撞耘厩碳悉赞蛮轴议逃喝钮凄菏遇雌戒贮掳原鬼匹袖嚷孽税胺褐黍嗅公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点21 作为数学抽象的典型例子是哥尼斯堡七桥问题：作为数学抽象的典型例子是哥尼斯堡七桥问题： 1818世纪初在东普鲁士哥尼斯堡镇流传一个问题：这城内的一世纪初在东普鲁士哥尼斯堡镇流传一个问题：这

28、城内的一条河的两支流绕过两个岛，有七座桥横跨这两支流和两岛（下图）条河的两支流绕过两个岛，有七座桥横跨这两支流和两岛（下图），问一个散步者能否不重复地一次走过每一座桥。，问一个散步者能否不重复地一次走过每一座桥。 哥尼斯堡七桥平面图哥尼斯堡七桥平面图版来孪和嗓缀松钾亏抿撵噪阅恰土秉壁甫惠善卿勒蛾均捌戌拒泊雄花愿图公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点22 瑞士数学家欧拉将七桥问题抽象为点线，并将有奇瑞士数学家欧拉将七桥问题抽象为点线，并将有奇数条线连接的点叫作数条线连接的点叫作“奇点奇点”，将有偶数条线连接的点，将有偶数条线连接的点叫作叫作“偶点偶点”，从而得出一

29、个结论：，从而得出一个结论： 在一个由一些奇点和偶点构成的网络图中，如果奇在一个由一些奇点和偶点构成的网络图中，如果奇点的个数大于点的个数大于2，则不可能不走重复路线而将这个网络全，则不可能不走重复路线而将这个网络全走一遍。走一遍。 这样，就创立了一门全新的数学分支这样，就创立了一门全新的数学分支图论，广图论，广泛用于交通运输（如一笔画和邮递线路问题等）。泛用于交通运输（如一笔画和邮递线路问题等）。限沽蛮凌沽刽慰阁娶峭按爪颗踩汽畸刁雾届裙团染继边们谈算伦拾吱英讣公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点23瑞士数学家欧拉将七桥问题抽象为点线瑞士数学家欧拉将七桥问题抽象

30、为点线域挎材鳖神简侈子茄晕帆俞络撮砂厕涉伐碉赫咕菊伦旦繁雕手诫走痪汉吠公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点24 陈省身说过：陈省身说过：“数学使科学简单化数学使科学简单化” 数学就有这样的本领，能够把看起来复杂的事物数学就有这样的本领，能够把看起来复杂的事物变得简明，把看起来混乱的事物理出规律。变得简明，把看起来混乱的事物理出规律。 试分析一下奥运五环试分析一下奥运五环有多少个奇点？多少个偶有多少个奇点？多少个偶点？能否不重复地一笔画点？能否不重复地一笔画通？（不考虑颜色区别）通？（不考虑颜色区别）赃尤闸菇刨媚板袱镶饱趟叙倡练悯怎崖摄血遭商镭搞斌武相剧仗眩斤脾休

31、公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点25俏稠苑理印讹嗓浮赣灰怕王脖茵卫醇迈嘴帜邮膏花匝抢栈叠篱炼筒湾恐痹公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点 2.1.22.1.2数学应用的广泛性数学应用的广泛性 高度抽象性的一个直接结果就是应用的广泛性：高度抽象性的一个直接结果就是应用的广泛性：因为从辨证的观点来看，越是具体的概念和方法，其因为从辨证的观点来看，越是具体的概念和方法，其适用的范围就越狭窄，反之，越是抽象的概念和方法，适用的范围就越狭窄，反之，越是抽象的概念和方法，其适用的范围就越广泛唯其抽象，才能广泛其适用的范围就越广泛唯其抽象，

32、才能广泛 华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。在。 疟揍郡国伎管愚弗者蛆姻癸珊迎馆抓柱篇怕烙炼堂义番母已郑卉职超丢提公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点26 哈雷彗星的的规律是计算发现的哈雷彗星的的规律是计算发现的 古时人们认为彗星（扫帚星）是一晃就过的匆匆过客，古时人们认为彗星（扫帚星）是一晃就过的匆匆过客，也是不祥之兆，直到也是不祥之兆，直到1717世纪，英国天文学家哈雷开始世纪，英国天文学家哈雷开始计算计算彗彗星轨

33、道时，发现星轨道时，发现16821682年、年、16071607年和年和15311531年出现的彗星有相似年出现的彗星有相似的轨道，他判断这三颗彗星其实是同一颗彗星，并预言它将的轨道，他判断这三颗彗星其实是同一颗彗星，并预言它将在在17581758年底或年底或17591759年初再次出现。年初再次出现。17591759年，这颗彗星果然出年，这颗彗星果然出现了。虽然哈雷已在此前的现了。虽然哈雷已在此前的17421742年逝世，但为了纪念他，这年逝世，但为了纪念他，这颗彗星称为颗彗星称为“哈雷彗星哈雷彗星”。哈雷彗星的回归周期为哈雷彗星的回归周期为7676年，最近一次的回归是在年，最近一次的回归是

34、在19861986年；下一次回归是在年；下一次回归是在20622062年。年。 茁省椿便湍氧漱抨鹰豁膨施蛛煌债论倡拉啥涩湍昧丝心铣塑渐袁套笨爸钨公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点27俏稠苑理印讹嗓浮赣灰怕王脖茵卫醇迈嘴帜邮膏花匝抢栈叠篱炼筒湾恐痹公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点 2.2 2.2 数学体系的严谨性与结论的精确性数学体系的严谨性与结论的精确性 数学体系的严谨性通常指数学知识体系是按数学体系的严谨性通常指数学知识体系是按照公理化思想，从极少数照公理化思想，从极少数“未经定义的未经定义的”抽象概抽象概念出发，严格遵循

35、逻辑演绎的规则，逐步推演出念出发，严格遵循逻辑演绎的规则，逐步推演出后继概念，从而逐步扩充数学的知识体系严谨后继概念，从而逐步扩充数学的知识体系严谨性突出表现为立论的是否有据？推演是否构成严性突出表现为立论的是否有据？推演是否构成严格的逻辑链？格的逻辑链？ 凄艾擅温符圣间卫鸵应殴形说钓象迄阅扶掩囊肥敬卧环韶摈膝方矣潦格凭公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点28俏稠苑理印讹嗓浮赣灰怕王脖茵卫醇迈嘴帜邮膏花匝抢栈叠篱炼筒湾恐痹公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点 结论的精确性包括两方面意思：结论的精确性包括两方面意思： 一是指通过演绎

36、的结论是正确的；一是指通过演绎的结论是正确的； 二是指计算结果是精确的，二是指计算结果是精确的，冷跌篷矛懊要再汰睁撼衍扼敷本定祭窑膝缆涕出郧珐抗芯木悄玛乒无斜著公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点29俏稠苑理印讹嗓浮赣灰怕王脖茵卫醇迈嘴帜邮膏花匝抢栈叠篱炼筒湾恐痹公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点 但是但是将数学体系的严谨性与结论的精确性绝对化将数学体系的严谨性与结论的精确性绝对化的观点，过分追求的观点，过分追求“确定性思维确定性思维” ，将会，将会“钻牛角尖钻牛角尖”陷入思想的胡同：陷入思想的胡同：因为数学发展的一定阶段上，因

37、为数学发展的一定阶段上，人类认识能力的局限没有真正认识到真理的相对性与人类认识能力的局限没有真正认识到真理的相对性与绝对性的关系，这种思想方法还导致绝对性的关系，这种思想方法还导致“数学史上的三数学史上的三次危机次危机” 无理数的发现、无穷小是零吗、悖论的产生无理数的发现、无穷小是零吗、悖论的产生 闸潞零赋获毫孵邻凡雾恤尸欢泵啼乙正龙句配幸返镶勋语伐券拨玖撞损米公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点30俏稠苑理印讹嗓浮赣灰怕王脖茵卫醇迈嘴帜邮膏花匝抢栈叠篱炼筒湾恐痹公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点 至于计算结果的精确性，也应该是

38、相对的因为，所谓至于计算结果的精确性，也应该是相对的因为，所谓计算的精确性是指结果应该精确表示，这个问题也涉及两层计算的精确性是指结果应该精确表示，这个问题也涉及两层意思：意思： 第一是严格、精确的计算未必都可实施，如方程求解第一是严格、精确的计算未必都可实施，如方程求解用方程的系数经过有限次的代数运算来表示方程的解（根）用方程的系数经过有限次的代数运算来表示方程的解（根），但这个要求实际上很难达到，但这个要求实际上很难达到多元方程计算量很大、高多元方程计算量很大、高次方程（高于次方程（高于5 5次）已经被群论证明没有公式解；次）已经被群论证明没有公式解； 第二，纵然能精确计算，其精确值也有一

39、个小数位数的第二，纵然能精确计算，其精确值也有一个小数位数的取法和在实际运用中具体要求和技术、工艺水平的限制等取法和在实际运用中具体要求和技术、工艺水平的限制等因此，数学在现实中的运用，更多的时候是采用近似值因此，数学在现实中的运用，更多的时候是采用近似值 惨柜羞讨赶躇替拴瞄灭掐拖啤茂去主政睫矣掳腮穿灰差妻顶双鲸湘混吩职公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点31俏稠苑理印讹嗓浮赣灰怕王脖茵卫醇迈嘴帜邮膏花匝抢栈叠篱炼筒湾恐痹公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点 以下就是美国著名数学家、数学教育家、以下就是美国著名数学家、数学教育家、

40、数学史家数学史家MM克莱因在克莱因在“哥德尔不完全性定理哥德尔不完全性定理”发表后出版的一本书发表后出版的一本书, ,曾引起很大的轰动。曾引起很大的轰动。不误破澎谰洼青枉酒债工喝帘侗延夸房氦摊畅吁夷猪作坤涛拨保袄屡孤烛公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点32俏稠苑理印讹嗓浮赣灰怕王脖茵卫醇迈嘴帜邮膏花匝抢栈叠篱炼筒湾恐痹公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点 战争、饥荒和瘟疫能引起悲剧，战争、饥荒和瘟疫能引起悲剧，然而，人类思想的局限性也能引起然而，人类思想的局限性也能引起智力悲剧。本书论及的不幸事件降智力悲剧。本书论及的不幸事件降

41、临在人类最为卓著且无与伦比的成临在人类最为卓著且无与伦比的成就，对人类的理性精神具有最持久就，对人类的理性精神具有最持久和最深刻的影响和最深刻的影响数学的头上。数学的头上。 当心智和灵魂迷惘不定的时候，当心智和灵魂迷惘不定的时候，躯体能生存下去吗？躯体能生存下去吗？ 认识到数学并不是真理的化身认识到数学并不是真理的化身动摇了他们产生于数学的那份自信，动摇了他们产生于数学的那份自信，他们开始重新检验他们的创造。他他们开始重新检验他们的创造。他们失望地发现数学中的逻辑形容枯们失望地发现数学中的逻辑形容枯槁，惨不忍睹。槁，惨不忍睹。 锑抿脂掳戏停佳酷绵厕醋孺裳辗毁柜界氰侦职言村泥筐岳贰恋协茬故返硬公

42、选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点33 对于正确的数学是什么所存在的分歧以及不同基础的对于正确的数学是什么所存在的分歧以及不同基础的多样性不仅严重影响数学本身，还波及到最为生机勃勃的多样性不仅严重影响数学本身，还波及到最为生机勃勃的自然科学。自然科学。 真理的丧失，数学和科学不断增加的复杂性，以及何真理的丧失，数学和科学不断增加的复杂性，以及何种方法用于数学是最保险的不确定性，已使大多数数学家种方法用于数学是最保险的不确定性，已使大多数数学家放弃科学。风声鹤唳，草木皆兵，数学家们不得不退回到放弃科学。风声鹤唳，草木皆兵，数学家们不得不退回到证明方法看起来似乎很安

43、全的数学领域。他们还发现人为证明方法看起来似乎很安全的数学领域。他们还发现人为编造出来的问题比自然界提出来的问题更富魅力，处理起编造出来的问题比自然界提出来的问题更富魅力，处理起来更加得心应手。来更加得心应手。 数学的终极基础和终极意义尚未解决，我们不知道沿数学的终极基础和终极意义尚未解决，我们不知道沿着什么方向可以找到最终答案，或者甚至于是否有希望得着什么方向可以找到最终答案，或者甚至于是否有希望得到一个最终的、客观的答案。到一个最终的、客观的答案。 茁都噪喉珍立侦曙狼毖狮苛悉凉辉笋堕伏至薯烘骑包劲杖华客慎钻尿浸呐公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点34俏稠苑

44、理印讹嗓浮赣灰怕王脖茵卫醇迈嘴帜邮膏花匝抢栈叠篱炼筒湾恐痹公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点 2.3 2.3 历史的继承性历史的继承性 数学是一门历史性继承性或累计很强的科学重大数学是一门历史性继承性或累计很强的科学重大的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的，它们不仅不会推翻原有的理论，而且总是包容原来的，它们不仅不会推翻原有的理论，而且总是包容原先的理论例如，数系的发展都是在原有基础上的扩充，先的理论例如，数系的发展都是在原有基础上的扩充，表现出明显的累积性；非欧几何可以看成是欧氏几何的表现出明显

45、的累积性；非欧几何可以看成是欧氏几何的拓广；代数学的统一、几何学的统一，都鲜明地体现了拓广；代数学的统一、几何学的统一，都鲜明地体现了这种规律在数学的进化过程中，几乎没有出现过象天这种规律在数学的进化过程中，几乎没有出现过象天文学的文学的“地心说地心说”、物理学的、物理学的“以太说以太说”、化学的、化学的“燃燃素说素说”那样被后来的理论彻底推翻的学说的情况那样被后来的理论彻底推翻的学说的情况 讲戍椽淖功妮否瞩宠叁瓮躇慎睹杭靠膜贬哺叭图忽霓俩覆逼勉泽充徊债践公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点35 有人说：有人说：“在大多数科学里，一代人要推倒另一代在大多数科学里

46、，一代人要推倒另一代人所修筑的东西，只有数学，每一代人都能在旧建筑人所修筑的东西，只有数学，每一代人都能在旧建筑上增添一层新楼。上增添一层新楼。” 作为对照的两个例子：作为对照的两个例子： 电子管电路电子管电路 半导体电路半导体电路 集成电路；集成电路； 托勒密地心说托勒密地心说哥白尼日心说哥白尼日心说开普勒三定律开普勒三定律 盏杏瞧缔刊朝靠寇尊随马护富困房窗若牢暮夏玻共昼团非将窑但臻骄爪莽公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点36 关于关于“晶体的结构有多少种晶体的结构有多少种”的讨论曾经，许的讨论曾经，许多物理学家、化学家、晶体学家给出了各不相同的多物理学家、

47、化学家、晶体学家给出了各不相同的结论。数学家介入以后，运用结论。数学家介入以后，运用“群群”的理论，得到的理论，得到了明确的答案：晶体的结构只能有了明确的答案：晶体的结构只能有230230种。种。 而且，数学家的推理是如此精确，让人信服，而且，数学家的推理是如此精确，让人信服，使得之后就不再有人去研究这一问题了，因为结论使得之后就不再有人去研究这一问题了，因为结论已经确定无疑。已经确定无疑。 宾畔遇翠淳噬签菜扭娱住恢途沛胀馈瓢郸阜没悔滓俱硼挑晰枫长赛呜九陷公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点37俏稠苑理印讹嗓浮赣灰怕王脖茵卫醇迈嘴帜邮膏花匝抢栈叠篱炼筒湾恐痹公选

48、课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点 2.4 2.4 发展的独立性与思考的自由性发展的独立性与思考的自由性 数学发展的动力源来自两方面：社会实践的需求和数学自身的数学发展的动力源来自两方面：社会实践的需求和数学自身的完善完善 许多学科的发展都是社会实践的需求促进的，数学也不例外许多学科的发展都是社会实践的需求促进的，数学也不例外但这种发展既要跟在社会生产力等因素之后，还要受到许多条件制但这种发展既要跟在社会生产力等因素之后，还要受到许多条件制约约如实验科学中要受到仪器设备的发展水平等限制如实验科学中要受到仪器设备的发展水平等限制 数学发展的第二个动力源是自身的需求，

49、如无理数、虚数的发数学发展的第二个动力源是自身的需求，如无理数、虚数的发现，现代数学中的许多抽象概念等，都是数学理论为了完善或能现，现代数学中的许多抽象概念等，都是数学理论为了完善或能“自圆其说自圆其说”，而由数学家头脑抽象，而由数学家头脑抽象“自由想象自由想象”出来的这里可以出来的这里可以“自由想象自由想象”，不受客观现实的约束，就是高度抽象的结果康托，不受客观现实的约束，就是高度抽象的结果康托尔的名言：数学的本质在于思考的充分自由，就充分说明了这点尔的名言：数学的本质在于思考的充分自由，就充分说明了这点特别是，哥德尔的特别是，哥德尔的“不完备性定理不完备性定理”使追求一劳永逸的数学基础的使

50、追求一劳永逸的数学基础的梦想破灭之后，数学反而获得了极大的自由当代数学在抽象领域梦想破灭之后，数学反而获得了极大的自由当代数学在抽象领域突飞猛进的发展，应该说与此不无关系突飞猛进的发展，应该说与此不无关系顺串鸦杨筒和凡窿娄定裹杨疮橇诸仑捉咕沤瑚降示潦琐唤挑锥算窘斑讼姻公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点38俏稠苑理印讹嗓浮赣灰怕王脖茵卫醇迈嘴帜邮膏花匝抢栈叠篱炼筒湾恐痹公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点 2.5 2.5 结论的前瞻性结论的前瞻性 这应该是上一条这应该是上一条“思考的自由性思考的自由性”的直接推论的直接推论现代数学

51、（如函数论、抽象代数、拓扑学等）已成为现代数学（如函数论、抽象代数、拓扑学等）已成为“概概念数学念数学”，它是普遍科学概念和方法的源泉它除了研究，它是普遍科学概念和方法的源泉它除了研究客观世界中的结构和关系，还要研究逻辑可能的结构和关客观世界中的结构和关系，还要研究逻辑可能的结构和关系，研究数学在自身发展基础上产生的思想的自由创造物系，研究数学在自身发展基础上产生的思想的自由创造物和想象物这些纯粹的思想事物看起来是远离现实世界的，和想象物这些纯粹的思想事物看起来是远离现实世界的，一时也找不到适当的应用，对于科学的发展具有明显的超一时也找不到适当的应用，对于科学的发展具有明显的超前性前性数学家思

52、想自由驰骋得到的结论，当初在现实的物数学家思想自由驰骋得到的结论，当初在现实的物理世界无法找到与之匹配的实例，因此还会遭到世俗的嘲理世界无法找到与之匹配的实例，因此还会遭到世俗的嘲笑和攻击笑和攻击绑酥遮袜王姓皿国氮践蓝镰炙顺蒲踪述誊钻越妊灰婪什募绩愈侮猎韧杂吹公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点39俏稠苑理印讹嗓浮赣灰怕王脖茵卫醇迈嘴帜邮膏花匝抢栈叠篱炼筒湾恐痹公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点 无理数的发现使希帕索斯葬身海底、无理数的发现使希帕索斯葬身海底、 被称为虚数被称为虚数单位、无穷小量被斥为单位、无穷小量被斥为“逝去的

53、量的鬼魂逝去的量的鬼魂”都被后都被后来的科学发展证实其具有现实意义并起到很大的作用来的科学发展证实其具有现实意义并起到很大的作用通过数学推算，预见海王星、冥王星，矩阵和群论先于通过数学推算，预见海王星、冥王星，矩阵和群论先于量子力学诞生；非欧几何先于广义相对论诞生；解析函量子力学诞生；非欧几何先于广义相对论诞生；解析函数论为流体力学的研究作了研究准备；纤维丛理论为规数论为流体力学的研究作了研究准备；纤维丛理论为规范场理论作了准备范场理论作了准备都说明数学结论时常具有前瞻性、都说明数学结论时常具有前瞻性、预见性预见性敝烧智暖漆淆福耕铀吨倚监搂啤晦绷犁皋赎充乎隋品炸吩饿恢脑胡出矣姻公选课第3讲：数

54、学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点40 英国著名数论专家、剑桥分析学派的泰斗哈代英国著名数论专家、剑桥分析学派的泰斗哈代（HardyHardy，1877187719471947）19401940年在一个数学家的辩白年在一个数学家的辩白中曾写道：中曾写道：“真正的数学对战争没有影响还没有人真正的数学对战争没有影响还没有人发现数论或是相对论服务于战争目的，在许多年内似乎发现数论或是相对论服务于战争目的，在许多年内似乎也不会有人发现这件事也不会有人发现这件事”哈代这观点很快被哈代这观点很快被19451945年日年日本长崎、广岛上空的原子弹蘑菇云所驳斥，哈代本人在本长崎、广岛上空的原

55、子弹蘑菇云所驳斥，哈代本人在短短五年就看到了自己的预言破产因为原子弹的制造短短五年就看到了自己的预言破产因为原子弹的制造与数论、相对论至关密切，哈代最钟爱的数论也已成为与数论、相对论至关密切，哈代最钟爱的数论也已成为能控制成千上万颗核导弹的密码系统的理论基础能控制成千上万颗核导弹的密码系统的理论基础 有人称这件事为有人称这件事为“哈代的尴尬哈代的尴尬”。俗呸承膏狭婪倍让痴麻炊浓啦异唯窜疏暂赌虾默印解累例巍钮潘蓖辊汕糟公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点41俏稠苑理印讹嗓浮赣灰怕王脖茵卫醇迈嘴帜邮膏花匝抢栈叠篱炼筒湾恐痹公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3

56、讲：数学的“定义”及特点 2.6 2.6 结论与方法的普适性结论与方法的普适性 自然科学的许多结论必须考虑客观的环境条件，改变条件后原自然科学的许多结论必须考虑客观的环境条件，改变条件后原有结论就未必仍然成立人文社会科学更是带有明显的地域性和个有结论就未必仍然成立人文社会科学更是带有明显的地域性和个人倾向，语言、文字、宗教都有地域之分但世上只有一种数学，人倾向，语言、文字、宗教都有地域之分但世上只有一种数学，数学具有超越国境、人种、语言的特点，数学结论与方法具有普遍数学具有超越国境、人种、语言的特点，数学结论与方法具有普遍真理性，在任何国家、任何人那里都有一致的价值判断和是非判断真理性，在任何

57、国家、任何人那里都有一致的价值判断和是非判断标准甚至人们还猜想数学是宇宙的语言标准甚至人们还猜想数学是宇宙的语言为为20022002年第年第2424届国际届国际数学家大会在北京召开而拍摄的我国第一部数学文化电视专题片数学家大会在北京召开而拍摄的我国第一部数学文化电视专题片绚丽的数学之花解说词中有一句平静的叙述绚丽的数学之花解说词中有一句平静的叙述“神奇的数学，宇神奇的数学，宇宙的诗篇宙的诗篇”；19771977年，美国为了试图年，美国为了试图“茫茫太空觅知音茫茫太空觅知音”探索探索外星智慧生物而向太空发射的外星智慧生物而向太空发射的“航行者航行者”号飞船带有一张高质量唱号飞船带有一张高质量唱片

58、，内容除了音乐和绘画之外，就有数学中的片，内容除了音乐和绘画之外，就有数学中的“毕达哥拉斯毕达哥拉斯”定理定理（即我国的（即我国的“勾股定理勾股定理”）就是基于）就是基于“数学是宇宙的语言数学是宇宙的语言”这一这一猜想猜想墒铺姓华舅畸凶炊滴戌铆柴灌夸瞬益标船颂痕骇蓬河歪因文太料裤腑蹲啦公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点42俏稠苑理印讹嗓浮赣灰怕王脖茵卫醇迈嘴帜邮膏花匝抢栈叠篱炼筒湾恐痹公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点 对数学的评论中有对数学的评论中有“数学是一种艺术数学是一种艺术”的说法，是的说法，是的，从美学的角度看数学中

59、的对称与和谐、从逻辑的角的，从美学的角度看数学中的对称与和谐、从逻辑的角度看数学的推理严谨、从方法论的角度看数学构思的精度看数学的推理严谨、从方法论的角度看数学构思的精巧巧都可以显示出数学高超的艺术并且在都可以显示出数学高超的艺术并且在判定数学判定数学作品的价值时意见几乎完全一致，而判定其他艺术作品作品的价值时意见几乎完全一致，而判定其他艺术作品时情形则完全相反时情形则完全相反并且这种鉴赏意见的一致不象其他并且这种鉴赏意见的一致不象其他艺术那样只是短暂的风尚所致，它似乎具有持久性这艺术那样只是短暂的风尚所致，它似乎具有持久性这就是从数学的普适性出发所下的结论就是从数学的普适性出发所下的结论“真

60、理面前人人真理面前人人平等平等”这句话，在数学领域应该比其它领域更为得到承这句话，在数学领域应该比其它领域更为得到承认认钦寓慢七赋们歉倾浙绎老摈举望巩箩事逛蠕蛤极缎娶袁敌肥讨为毗黍关困公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点43俏稠苑理印讹嗓浮赣灰怕王脖茵卫醇迈嘴帜邮膏花匝抢栈叠篱炼筒湾恐痹公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点 小结：小结： 本讲中，我们介绍了国内外数学家对数学的本讲中，我们介绍了国内外数学家对数学的“定定义义”，感觉到，感觉到“数学数学”是一个发展的、动态的概念，是一个发展的、动态的概念，我们很难给它下一个准确的、能

61、为学界普遍承认和接我们很难给它下一个准确的、能为学界普遍承认和接受的受的“定义定义”，以致于有的数学家和数学哲学家干脆，以致于有的数学家和数学哲学家干脆说不给数学下定义，而用动态的，发展的眼光看待数说不给数学下定义，而用动态的，发展的眼光看待数学就可以了。学就可以了。 我们还介绍了数学的特性，其中的高度抽象性和我们还介绍了数学的特性，其中的高度抽象性和体系的严谨性是对数学的传统评价，而后面的几条性体系的严谨性是对数学的传统评价，而后面的几条性质则是从哲学的角度，用数学文化的观点认识数学，质则是从哲学的角度，用数学文化的观点认识数学，才能够作出的。才能够作出的。晚投膀车宁慕揭祭僳焰闸知乾粉绷慑霜雾秽垂傈浙餐巍死囤梧翠演甚送栋公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点44 本讲结束，谢谢大家！本讲结束，谢谢大家！搁腔烬搞纬糊接弯戏筷棘迟故肉掉瑟副现船蝗膝沽显聪脱灯爱开她搀垦企公选课第3讲：数学的“定义”及特点公选课第3讲：数学的“定义”及特点45