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1、带电粒子在磁场中运动的多解问题带电粒子在磁场中运动的多解问题 带带电电粒粒子子在在洛洛仑仑兹兹力力作作用用下下做做匀匀速速圆圆周周运运动动的的问问题题一一般有多解。形成多解的原因有：般有多解。形成多解的原因有：磁感应强度是矢量。如果题设只给出磁感应强度的大磁感应强度是矢量。如果题设只给出磁感应强度的大小，而未指出其方向，此时要考虑磁感应强度方向不小，而未指出其方向，此时要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解。确定而形成多解。2. 磁场方向不确定磁场方向不确定受洛仑兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带受洛仑兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电。当具有相同初速度时，正负粒子在磁场中的运负
2、电。当具有相同初速度时，正负粒子在磁场中的运动轨迹不同，导致形成双解。动轨迹不同，导致形成双解。1. 带电粒子电性不确定带电粒子电性不确定3. 临界状态不惟一临界状态不惟一带电粒子在部分是磁场，部分是电场的空间运动带电粒子在部分是磁场，部分是电场的空间运动时，运动往往具有重复性，因而形成多解。时，运动往往具有重复性，因而形成多解。4. 运动的重复性运动的重复性带电粒子在洛仑兹力作用下飞越有界磁场时，由于带电粒子在洛仑兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此穿越磁场的轨迹可能粒子运动轨迹是圆弧状，因此穿越磁场的轨迹可能有多种情况。有多种情况。1. 带电粒子电性不确定形成多解带电粒
3、子电性不确定形成多解 例例1. 如如图图所所示示，第第一一象象限限范范围围内内有有垂垂直直于于xOy平平面面的的匀匀强强磁磁场场，磁磁感感应应强强度度为为B。质质量量为为m，电电量量大大小小为为q的的带带电电粒粒子子在在xOy平平面面里里经经原原点点O射射入入磁磁场场中中，初初速速度度v0与与x轴夹角轴夹角= 600 ，试分析计算：，试分析计算：（1）带电粒子从何处离开磁场？穿越）带电粒子从何处离开磁场？穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大？磁场时运动方向发生的偏转角多大？（2）带电粒子在磁场中运动时间多长？）带电粒子在磁场中运动时间多长？受洛仑兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带受洛仑兹力
4、作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电。当具有相同初速度时，正负粒子在磁场中的运负电。当具有相同初速度时，正负粒子在磁场中的运动轨迹不同，导致形成双解。动轨迹不同，导致形成双解。 600v0xyOv0xyO分析：分析： 若若带带电电粒粒子子带带负负电电，进进入入磁磁场场后后做做匀匀速速圆圆周周运动运动, 圆心为圆心为O1, 粒子向粒子向x轴偏转轴偏转, 并从并从A点离开磁场。点离开磁场。1vARRO1A若带电粒子带正电，进入磁场后做匀速圆周运动，圆若带电粒子带正电，进入磁场后做匀速圆周运动，圆心为心为O2 ，粒子向，粒子向y轴偏转，并从轴偏转，并从B点离开磁场点离开磁场vBRRO2B21不论
5、粒子带何种电荷不论粒子带何种电荷,其运动轨道半径均为其运动轨道半径均为如右图示如右图示, 有有带电粒子沿半径为带电粒子沿半径为R的圆周的圆周运动一周所用的时间为运动一周所用的时间为解：解： （1）若若粒粒子子带带负负电电，它它将将从从x轴轴上上A点点离离开开磁磁场场，运动方向发生的偏转角运动方向发生的偏转角1=1200 。A点与点与O点相距：点相距：若粒子带正电，它将从若粒子带正电，它将从y轴上轴上B点离开磁场，运动点离开磁场，运动方向发生的偏转角方向发生的偏转角2=600 ，B点与点与O点相距：点相距： （2）若粒子带负电，它从）若粒子带负电，它从O到到A所用的时间为所用的时间为若粒子带正电
6、，它从若粒子带正电，它从O到到B所用的时间为所用的时间为题目题目题目题目2. 磁场方向不确定形成多解磁场方向不确定形成多解 磁感应强度是矢量。如果题设只给出磁感应强度的大磁感应强度是矢量。如果题设只给出磁感应强度的大小，而未指出其方向，此时要考虑磁感应强度方向不小，而未指出其方向，此时要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解。确定而形成多解。例例2. 一一质质量量为为m，电电量量为为q的的负负电电荷荷在在磁磁感感应应强强度度为为B的的匀匀强强磁磁场场中中绕绕固固定定的的正正电电荷荷沿沿固固定定的的光光滑滑轨轨道道做做匀匀速速圆圆周周运运动动，若若磁磁场场方方向向垂垂直直于于它它的的运运动动平平面面
7、，且且作作用用在在负负电电荷荷的的电电场场力力恰恰好好是是磁磁场场力力的的3倍倍，则则负负电电荷荷做圆周运动的角速度可能是（做圆周运动的角速度可能是（ ）A. B. C. D.分析：分析： 依依题题中中条条件件“磁磁场场方方向向垂垂直直于于它它的的运运动动平平面面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反。，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反。在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛仑兹力的方向也是相反的。荷所受的洛仑兹力的方向也是相反的。当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相同时当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相同时,根据
8、牛顿第二定律可知根据牛顿第二定律可知得得此种情况下此种情况下,负电荷运动的角速度为负电荷运动的角速度为当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相反时，当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相反时，得得此种情况下此种情况下,负电荷运动的角速度为负电荷运动的角速度为应选应选A、C。FffF3. 临界状态不惟一形成多解临界状态不惟一形成多解 例例3. 如图甲所示，如图甲所示，A、B为一对平行板，板长为为一对平行板，板长为l，两板距离为两板距离为d，板间区域内充满着匀强磁场，磁感应，板间区域内充满着匀强磁场，磁感应强度大小为强度大小为B，方向垂直纸面向里，一个质量为，方向垂直纸面向里，一个质量为m，带，带电量为
9、电量为+q的带电粒子以初速的带电粒子以初速v0，从，从A、B两板的中间，两板的中间，沿垂直于磁感线的方向射入磁场。沿垂直于磁感线的方向射入磁场。求求v0在什么范围内，粒子能从磁场在什么范围内，粒子能从磁场内射出？内射出？ 带电粒子在洛仑兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒带电粒子在洛仑兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此穿越磁场的轨迹可能有多子运动轨迹是圆弧状，因此穿越磁场的轨迹可能有多种情况。种情况。m v0 ABdl+q甲甲分分析析：粒粒子子射射入入磁磁场场后后受受到到洛洛仑仑兹兹力力的的作作用用，将将做做匀匀速圆周运动，圆周运动的圆心在入射点的正上方。速圆周运动，圆周运动
10、的圆心在入射点的正上方。即即由于由于 ， 所以所以 ，当粒子从左边射出时当粒子从左边射出时, 若运动轨迹半径最大若运动轨迹半径最大, 则其圆心为图中则其圆心为图中O1点点, 半径半径 r1=d/4。要想使粒子能射出磁场区，半径要想使粒子能射出磁场区，半径r必须小于必须小于d/4（粒子（粒子将在磁场中转半个圆周后从左方射出）或大于某个数将在磁场中转半个圆周后从左方射出）或大于某个数值（粒子将在磁场中运动一段圆弧后从右方射出）。值（粒子将在磁场中运动一段圆弧后从右方射出）。因此粒子从左边射出必须满足因此粒子从左边射出必须满足rr1。 v0 d/2O1乙乙lr1当当粒粒子子从从右右边边射射出出时时，
11、若若运运动动轨轨迹迹半半径径最最小小，则则其其圆圆心为图中心为图中O2点，半径为点，半径为r2。由几何关系可得。由几何关系可得即即因此粒子从右边射出必须满足的条件是因此粒子从右边射出必须满足的条件是rr2r2-d/2r2 v0 d/2O2乙乙l所以当所以当粒子可以从磁场内射出。粒子可以从磁场内射出。或或 时，时，题目题目题目题目 长长为为l 的的水水平平极极板板间间有有如如图图所所示示的的匀匀强强磁磁场场，磁磁感感强强度度为为B，板板间间距距离离也也为为l 。现现有有一一质质量量为为 m 、带带电电量量为为 +q 的的粒粒子子从从左左边边板板间间中中点点处处沿沿垂垂直直于于磁磁场场的的方方向向
12、以以速速度度 v0射射入入磁磁场场，不不计计重重力力。要要想想使使粒粒子子不不打打在在极板上，则粒子进入磁场时的速度极板上，则粒子进入磁场时的速度 v0 应为多少？应为多少？若刚好从若刚好从a 点射出，如图：点射出，如图：ll v abcd例例4.解：解：R- l/2Rll v abcd若刚好从若刚好从b 点射出，如图：点射出，如图：要想使粒子要想使粒子不不打在极板上，打在极板上， v v206年南通市调研测试一年南通市调研测试一18、18（16分分）如如图图所所示示，现现有有一一质质量量为为m、电电量量为为e的的电电子子从从y轴轴上上的的P（0，a）点点以以初初速速度度v0平平行行于于x轴轴
13、射射出出，为为了了使使电电子子能能够够经经过过x轴轴上上的的Q（b，0）点点，可可在在y轴轴右右侧侧加加一一垂垂直直于于xOy平平面面向向里里、宽宽度度为为L的的匀匀强强磁磁场场，磁磁感感应应强强度度大大小小为为B，该该磁磁场场左左、右右边边界与界与y轴平行轴平行,上、下足够宽（图中未画出）上、下足够宽（图中未画出）.已知，已知， Lb。试试求求磁磁场场的的左左边边界界距距坐坐标标原点的可能距离原点的可能距离（结果可用反三角函数表示）（结果可用反三角函数表示）xy0Qv0P解：解： 设电子在磁场中作圆周运动的轨道半径为设电子在磁场中作圆周运动的轨道半径为r, 则则解得解得 当当rL时，磁场区域
14、及电子运动轨迹如图时，磁场区域及电子运动轨迹如图1所示，所示，xy0Qv0P图图1由几何关系有由几何关系有 则磁场左边界距坐标原点的距离为则磁场左边界距坐标原点的距离为 （其中（其中 ） 当当r L时时，磁磁场场区区域域及及电电子子运运动动轨轨迹迹如如图图2所示，所示，xy0Qv0P图图2由几何关系得磁场左边界距坐标原点的距离为由几何关系得磁场左边界距坐标原点的距离为解得解得 题目题目题目题目 一带正电的滑环，带电量为一带正电的滑环，带电量为q，质量为，质量为m，套，套在粗糙的足够长的绝缘杆上，杆呈水平状态固定不动，在粗糙的足够长的绝缘杆上，杆呈水平状态固定不动，整个装置处在磁感应强度为整个装
15、置处在磁感应强度为B，方向如图示的匀强磁，方向如图示的匀强磁场中，现给滑环以水平向右的瞬时冲量场中，现给滑环以水平向右的瞬时冲量I，使其沿杆运，使其沿杆运动起来。若环与杆之间的动摩擦因数为动起来。若环与杆之间的动摩擦因数为，则滑环在，则滑环在运动过程中克服摩擦力做的功运动过程中克服摩擦力做的功 （ ）A. 可能为可能为I2/2m B. 可能大于可能大于I2/2m C. 可能为可能为0 D. 可能处在可能处在0和和I2/2m之间之间例例5、A C D解：解： 若若qv0Bmg 则则f=0 mgqv0B滑环以滑环以v0作匀速运动，作匀速运动，Wf=0若若qv0Bmg则则f=(qv0B-mg) 滑环
16、作减速运动，滑环作减速运动，mgqv0Bf当减速到当减速到v1时，若时，若qv1Bmg f1=0则以则以v1作匀速运动作匀速运动mgqv1BWf=1/2mv02 - 1/2mv12 I2/2m所以选项所以选项A C D正确。正确。 4. 运动的重复性形成多解运动的重复性形成多解 例例6. 如如图图所所示示，在在x轴轴上上方方有有一一匀匀强强电电场场，场场强强为为E，方方向向竖竖直直向向下下。在在x轴轴下下方方有有一一匀匀强强磁磁场场，磁磁感感应应强强度度为为B，方方向向垂垂直直纸纸面面向向里里。在在x轴轴上上有有一一点点P，离离原原点点的的距距离离为为a。现现有有一一带带电电量量+q的的粒粒子
17、子，质质量量为为m，从静止开始释放，要使粒子能经过从静止开始释放，要使粒子能经过P点，其初始坐标应满足什么条件？点，其初始坐标应满足什么条件？（重力作用忽略不计）（重力作用忽略不计）带电粒子在部分是磁场，部分是电场的空间运动时，带电粒子在部分是磁场，部分是电场的空间运动时，运动往往具有重复性，因而形成多解。运动往往具有重复性，因而形成多解。OyxP分分析析：要要使使粒粒子子能能经经过过P点点，其其初初始始位位置置必必须须在在匀匀强强电场区域里。由于没有明确粒子所在位置，讨论如下：电场区域里。由于没有明确粒子所在位置，讨论如下： （1）若若粒粒子子从从y轴轴上上由由静静止止释释放放，在在电电场场
18、加加速速下下沿沿y轴轴从从原原点点O进进入入磁磁场场做做半半径径为为R的的匀匀速速圆圆周周运运动动。由由于于粒子可能偏转一个、二个粒子可能偏转一个、二个半圆到达半圆到达P点，点，由由、式有式有故故设释放处距设释放处距O的距离为的距离为y1，则有，则有OyxP（2）若粒子在电场中的起点坐标为（）若粒子在电场中的起点坐标为（x、y2），）， 依题意，有依题意，有同理可得同理可得:当当xa ，粒子不可能经过，粒子不可能经过P点；点；OyxP题目题目06年广东汕头市二模年广东汕头市二模18、18(18分分)如图示如图示,在真空室内取坐标系在真空室内取坐标系Oxy,在在x轴上方轴上方存在匀强电场存在匀强
19、电场,场强方向沿负场强方向沿负y方向方向, x轴下方存在两个轴下方存在两个方向都垂直于纸面向外的匀强磁场区方向都垂直于纸面向外的匀强磁场区和和, 平行于平行于x轴轴的虚线的虚线ab是它们的分界线是它们的分界线,虚线上方虚线上方(包括虚线处包括虚线处)的磁场的磁场区区的磁感应强度的磁感应强度B10.20T, 虚线下方的磁场区虚线下方的磁场区的磁的磁感应强度感应强度B20.10T,虚线与虚线与x轴相距轴相距d=4.0cm.在第一象限在第一象限内有一点内有一点P,其位置坐标其位置坐标x=16.0cm、y=10.0cm.一带正电一带正电的粒子处于的粒子处于P点从静止释放点从静止释放,粒子的电荷量与质量
20、之比粒子的电荷量与质量之比q/m=5.0107 C/kg .为使粒子能通过坐标原点为使粒子能通过坐标原点O,匀强电场的场强匀强电场的场强E必须满足必须满足什么条件什么条件? 不计粒子的重力不计粒子的重力作用作用OyxdP (x,y)Eab解解: 粒子从粒子从P点开始运动点开始运动,进入磁场区进入磁场区时的速度为时的速度为v，由动能定理得由动能定理得 qEy=1/2mv2 用用R1、R2分别表示粒子在磁场区分别表示粒子在磁场区和区和区中运动的中运动的轨道半径，有轨道半径，有（1）若若粒粒子子没没能能进进入入磁磁场场区区而而最最后后能能通通过过坐坐标标原原点点O，则则粒粒子子每每次次进进入入磁磁场
21、场区区中中运运动动都都是是转转动动半半周周后后后后就就离离开开磁磁场场进进入入电电场场，重重复复运运动动直直到到通通过过坐坐标标原原点点O，粒子的一种运动轨迹如图所示，有，粒子的一种运动轨迹如图所示，有 OyxdP (x,y)Eabn 2R1 =x R1 d 解得解得 R1 =8.0/n ( cm ) (n = 2, 3, 4) 题目题目OyxdP (x,y)Eab（2）若若粒粒子子能能进进入入磁磁场场区区且且最最后后能能通通过过坐坐标标原原点点O，则则粒粒子子的的运运动动轨轨迹迹如如图图中中所所示示，A1和和A2分分别别为为粒粒子子在磁场区在磁场区和和中做圆周运动的圆心中做圆周运动的圆心DA
22、1A2CF在在A1CD中，有中，有 cos=DC/A1C =d/R1 在在A1 A2F中，有中，有解得解得,cos=0.6 R1 =5.0cm E=2.5 104 V/ m 当匀强电场的场强当匀强电场的场强E=2.5 104 V/ m 或或 (n = 2, 3, 4)时，粒子能通过坐标原点时，粒子能通过坐标原点O题目题目第第2页页06年江年江苏连云港市最后模云港市最后模拟考考试17)17（16分分）平平行行金金属属板板M、N间间距距离离为为d。其其上上有有一一内内壁壁光光滑滑的的半半径径为为R的的绝绝缘缘圆圆筒筒与与N板板相相切切，切切点点处处有有一一小小孔孔S。圆圆筒筒内内有有垂垂直直圆圆筒
23、筒截截面面方方向向的的匀匀强强磁磁场场，磁磁感感应应强强度度为为B。电电子子与与孔孔S及及圆圆心心O在在同同一一直直线线上上。M板板内内侧侧中中点点处处有有一一质质量量为为m，电电荷荷量量为为e的的静静止止电电子子，经经过过M、N间间电电压压为为U的的电电场场加加速速后后射射入入圆圆筒筒，在在圆圆筒筒壁壁上上碰碰撞撞n次次后后，恰恰好好沿沿原原路路返返回回到到出出发发点点。（不不考考虑虑重重力，设碰撞过程中无动能损失）求：力，设碰撞过程中无动能损失）求：电子到达小孔电子到达小孔S时的速度大小；时的速度大小；电子第一次到达电子第一次到达S所需要的时间；所需要的时间；电子第一次返回出发点所需的时间
24、。电子第一次返回出发点所需的时间。MNm eORS解：解： 设加速后获得的速度为设加速后获得的速度为v ，根据，根据得得 设电子从设电子从M到到N所需时间为所需时间为t1则则得得电子在磁场做圆周运动的周期为电子在磁场做圆周运动的周期为电电子子在在圆圆筒筒内内经经过过n次次碰碰撞撞回回到到S，每每段段圆圆弧弧对对应应的的圆心角圆心角MNSm eO1Rn次碰撞对应的总圆心角次碰撞对应的总圆心角在磁场内运动的时间为在磁场内运动的时间为t2（n=1，2，3，）题目题目07年年1月北京市崇文区期末统一练习月北京市崇文区期末统一练习1717（11分分）一一足足够够长长的的矩矩形形区区域域abcd内内充充满
25、满磁磁感感应应强强度度为为B，方方向向垂垂直直纸纸面面向向里里的的匀匀强强磁磁场场，矩矩形形区区域域的的左左边边界界ad宽宽为为L，现现从从ad中中点点O垂垂直直于于磁磁场场射射入入一一带带电电粒粒子子，速速度度大大小小为为v0 ，方方向向与与ad边边夹夹角角为为30，如如图图所所示示。已已知知粒粒子子的的电电荷荷量量为为q，质质量量为为m（重力不计）。（重力不计）。 （1）若若粒粒子子带带负负电电，且且恰恰能能从从d点点射射出出磁磁场场，求求v0的大小；的大小； （2）若若粒粒子子带带正正电电，使使粒粒子子能能从从ab边边射射出出磁磁场场，求求v0的取值范围以及粒子在的取值范围以及粒子在磁场中运动时间磁场中运动时间t 的范围。的范围。abcd300v0BO解：解： （1）粒子带负电粒子带负电, 由图可知：由图可知：abcd300v0BOR=L/2据据则则（2）当）当v0最大时：最大时： 600abcd300v0BO得得R1 = L 则则 当当v0最小时：最小时： 得得R2 = L/3 则则 带电粒子从带电粒子从ab边射出磁场，当速度为边射出磁场，当速度为 时，时，运动时间最短运动时间最短,600abcd300v0BO速度为速度为vmin时运动时间最长时运动时间最长, 粒子运动时间粒子运动时间 t 的范围的范围 题目题目
