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1、三垂线定理三垂线定理aAPo复习：复习：什么叫平面的斜线、垂线、射影？什么叫平面的斜线、垂线、射影？ 如果如果a , aAO，思考思考a与与PO的位置关的位置关系如何？系如何？aAPo PO是平面是平面的斜线的斜线, O为斜足为斜足; PA是平面是平面的垂线的垂线, A为垂足为垂足; AO是是PO在平面在平面内的射内的射影影.三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理性质定理判定定理性质定理线面垂直线线垂直线面垂直线线垂直PO 平面PAOaPO学生答：学生答：学生答：学生答：a aPOPO 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的三垂线定理
2、：在平面内的一条直线，如果和这个平面的三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。为什么呢？为什么呢？为什么呢？为什么呢？PAa PAaAOaa平面PAO三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理P Pa aA Ao o 1 1、三垂线定理描述的是、三垂线定理描述的是PO(PO(斜线斜线) )、AO(AO(射射影影) )、a(a(直线直线) )之间的垂直关系。之间的垂直关系。 2 2、a a与与POPO可以相交，也可以
3、异面。可以相交，也可以异面。 3 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。平面内的一条直线垂直的判定定理。对三垂线定理的说明：对三垂线定理的说明：三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理例题分析：例题分析： 1 1、判定下列命题是否正确、判定下列命题是否正确 (1) (1)若若a a是平面是平面的斜线、直线的斜线、直线b b垂直于垂直于a a在平面在平面内的射影，则内的射影，则abab。 ( ) ( ) 2 2定理的关键找定理的关键找“平面平面”这个参照学。这个参照学。 强调：强调：11四线是相对同一个平面而言四线是相对同一个平
4、面而言 (2) (2)若若a a是平面是平面的斜线，的斜线，b b是平面是平面内的直线，内的直线，且且b b垂直于垂直于a a在在内的射影，则内的射影，则abab。 ( ) ( ) 三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理 2 2 2 2、如图，已知正方体、如图，已知正方体、如图，已知正方体、如图，已知正方体ABCD-AABCD-AABCD-AABCD-A1 1 1 1B B B B1 1 1 1C C C C1 1 1 1D D D D1 1 1 1中，连结中，连结中，连结中，连结BDBDBDBD1 1 1 1，ACACACAC，CBCBCBCB1 1 1 1，B B B B1 1 1 1A
5、 A A A，求证：，求证：，求证：，求证：BDBDBDBD1 1 1 1平面平面平面平面ABABABAB1 1 1 1C C C C ABCD ABCD ABCD ABCD是正方形，是正方形，是正方形，是正方形，ACBD ACBD ACBD ACBD 又又又又DDDDDDDD1 1 1 1平面平面平面平面ABCD ABCD ABCD ABCD BD BD BD BD是斜线是斜线是斜线是斜线D D D D1 1 1 1B B B B在平面在平面在平面在平面ABCDABCDABCDABCD上的上的上的上的射影射影射影射影 AC AC AC AC在平面在平面在平面在平面ACACACAC内，内，内，
6、内，BDBDBDBD1 1 1 1AC AC AC AC A1D1C1B1ADCB而而而而ABABABAB1 1 1 1， AC AC AC AC相交于点相交于点相交于点相交于点A A A A且都在平面且都在平面且都在平面且都在平面ABABABAB1 1 1 1C C C C内内内内 BD BD BD BD1 1 1 1平面平面平面平面ABABABAB1 1 1 1C C C C证明：证明：证明：证明：连结连结连结连结BDBDBDBD， 请同学思考：如何证明请同学思考：如何证明请同学思考：如何证明请同学思考：如何证明D D D D1 1 1 1BABBABBABBAB1 1 1 1 连结连结连
7、结连结A A A A1 1 1 1B B B B三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理 关于三垂线定的应用，关键是找出平面关于三垂线定的应用，关键是找出平面关于三垂线定的应用，关键是找出平面关于三垂线定的应用，关键是找出平面( ( ( (基准面基准面基准面基准面) ) ) )的垂线。的垂线。的垂线。的垂线。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。 从三垂线定理的证明得到证明从三垂线定理的证明得到证明从三垂线定理的证明得到证明从三垂线定
8、理的证明得到证明abababab的一个程序：一垂、的一个程序：一垂、的一个程序：一垂、的一个程序：一垂、二射、三证。即二射、三证。即二射、三证。即二射、三证。即第一、找平面第一、找平面第一、找平面第一、找平面( ( ( (基准面基准面基准面基准面) ) ) )及平面垂线及平面垂线及平面垂线及平面垂线 第二、找射影线，这时第二、找射影线，这时第二、找射影线，这时第二、找射影线，这时a a a a、b b b b便成平面上的一条直线与便成平面上的一条直线与便成平面上的一条直线与便成平面上的一条直线与一条斜线。一条斜线。一条斜线。一条斜线。三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理第三、证明射影线与直
9、线第三、证明射影线与直线第三、证明射影线与直线第三、证明射影线与直线a a a a垂直，从而得出垂直，从而得出垂直，从而得出垂直，从而得出a a a a与与与与b b b b垂直。垂直。垂直。垂直。 例例例例3 3 3 3、道旁有一条河，彼岸有电塔、道旁有一条河，彼岸有电塔、道旁有一条河，彼岸有电塔、道旁有一条河，彼岸有电塔ABABABAB，高，高，高，高15m15m15m15m，只有测角，只有测角，只有测角，只有测角器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶
10、与道路的距离？ 解：解：解：解：在道边取一点在道边取一点在道边取一点在道边取一点C C C C，使使使使BCBCBCBC与道边所成水平角等于与道边所成水平角等于与道边所成水平角等于与道边所成水平角等于90909090，再在道边取一点再在道边取一点再在道边取一点再在道边取一点D D D D，使水平角使水平角使水平角使水平角CDBCDBCDBCDB等于等于等于等于45454545，测得测得测得测得C C C C、D D D D的距离等于的距离等于的距离等于的距离等于20cm20cm20cm20cmB BA AC C9090D D4545三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理B BA AC C90
11、90D D4545 BC BC BC BC是是是是ACACACAC的射影的射影的射影的射影 且且且且CDBC CDAC CDBC CDAC CDBC CDAC CDBC CDAC CDB=45 CDB=45 CDB=45 CDB=45，CDBCCDBCCDBCCDBC，CD=20cm BC=20mCD=20cm BC=20mCD=20cm BC=20mCD=20cm BC=20m，在直角三角形在直角三角形在直角三角形在直角三角形ABCABCABCABC中中中中 AC AC AC AC2 2 2 2=AB=AB=AB=AB2 2 2 2+BC+BC+BC+BC2 2 2 2，AC= 15AC=
12、15AC= 15AC= 152 2 2 2+20+20+20+202 2 2 2 =25(cm)=25(cm)=25(cm)=25(cm)答：电塔顶与道路的距离是答：电塔顶与道路的距离是答：电塔顶与道路的距离是答：电塔顶与道路的距离是25m25m25m25m。 因此斜线因此斜线因此斜线因此斜线ACACACAC的长度就是电塔顶与道路的距离。的长度就是电塔顶与道路的距离。的长度就是电塔顶与道路的距离。的长度就是电塔顶与道路的距离。三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理AHAHAHAH为为为为PAPAPAPA在平面在平面在平面在平面ABCABCABCABC内的射影内的射影内的射影内的射影BCAHB
13、CAHBCAHBCAH在在在在RtPBCRtPBCRtPBCRtPBC中，中，中，中，PE= - = -PE= - = -PE= - = -PE= - = -在在在在RtAPERtAPERtAPERtAPE中，中，中，中，AE= PAAE= PAAE= PAAE= PA2 2 2 2+PE+PE+PE+PE2 2 2 2= 9+ - = -= 9+ - = -= 9+ - = -= 9+ - = -464646464 4 4 42 2 2 2+6+6+6+62 2 2 21212121213131313144144144144131313132 292 292 292 292 292 292
14、292 2913131313 例例例例4 4 4 4、设、设、设、设PAPAPAPA、PBPBPBPB、PCPCPCPC两两互相垂直，且两两互相垂直，且两两互相垂直，且两两互相垂直，且PA=3PA=3PA=3PA=3，PB=4PB=4PB=4PB=4，PC=6PC=6PC=6PC=6，求点，求点，求点，求点P P P P到平面到平面到平面到平面ABCABCABCABC的距离。的距离。的距离。的距离。A AP PC CB BE EHH解解解解: : : : 作作作作PHPHPHPH平面平面平面平面ABCABCABCABC，连连连连AHAHAHAH交交交交BCBCBCBC于于于于E E E E，连
15、，连，连，连PEPEPEPEPAPAPAPA、PBPBPBPB、PCPCPCPC两两垂直两两垂直两两垂直两两垂直PAPAPAPA平面平面平面平面PBC PABCPBC PABCPBC PABCPBC PABC三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。和这条斜线垂直。 小小 结结33操作程序分三个步骤操作程序分三个步骤“一垂二射三证一垂二射三证”11定理中四条线均针对同一平面而言定理中四条线均针对同一平面而言22应用定理关键是找应用定理关键是找“基准面基准面”这个参照系这个参照系三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理感谢莅临指导感谢莅临指导感谢莅临指导感谢莅临指导! ! ! !再见！再见！再见！再见！
