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1、数学悖论与其三大学派张映姜湛江师范学院数科院一、历史上有趣的悖论二、数学上的三大悖论三、生活中的悖论四、数学上的三大学派一、历史上有趣的悖论是姑娘还是老太？凹还是凸？锷鱼与小孩失踪的舞蹈家奇怪的遗嘱阿尔诺悖论-1=1锷鱼与小孩母亲：呵、呵!你是要吃掉我的孩子的。锷鱼：我怎么办呢？如果我把孩于交还你，你就说错了，我应该吃掉他。M：锷鱼碰到了两难。它得交还给孩子的母亲，同时又把孩子既要吃掉。锷鱼：好了，这样我就不把他交给你了。母亲：可是你必须交给我。如果你吃了我的孩子，我就说对了，你就得把他交回给我。M：拙劣的锷鱼懵了，结果把孩予交回了母亲，母亲一把抱住孩予，跑掉了。锷鱼：真是的！要是她说我要给回
2、她孩子，我就可美餐一顿了。M：一年之后，兰迪先生又回来7，带来一块东方的挂毯。兰迪兰迪：奥马尔，这挂毯仅有七个跳舞的姑娘，我希望有八个。请你把它裁成这样的三块。M：奥马尔裁过以后，兰迪先生把上面的两块互换一下位置。奥马尔数一下姑娘的个数。奥马尔：一、二、三、四、五、六、七八个！仁慈的阿拉啊，这第八个姑娘是从哪里来的呢?失踪的舞蹈家凹还是凸？奇怪的遗嘱：在古代，有一个商人拥有11匹价值连城的骏马。商人临死前立下了一个奇怪的遗嘱：他的1L匹马全部留给他的三个儿子。11匹马中的一半分给长子，四分之一分给次子，六分之一分给小儿子。不知如何分？有人牵了一匹马帮他们解决这一难题，可这一匹马最终还了。这是为
3、什么？喻平，秦向荣主编,生活社会数学,南京师范大学出版社,2006年06月第1版,第101喻平，秦向荣主编,生活社会数学,南京师范大学出版社,2006年06月第1版,第103页阿尔诺（16世纪）悖论小：大=大：小1=1的悖论或1=2?设a0,b0,a=b,ab=b2,ab-a2=b2-a2,a(b-a)=(b+a)(b-a)a=a+b,a=b,a=2a1=2。07,1,2二、数学史上的三大悖论二、数学史上的三大悖论 毕达哥拉斯悖论毕达哥拉斯悖论 贝克莱悖论贝克莱悖论 罗素悖论罗素悖论1毕达哥拉斯悖论毕达哥拉斯悖论正方形的对角线和其边长不能表示为两个整数的比。古希腊时期的毕达格拉斯学派相信任何一
4、条线段都能用单位线段来度量，也就是能够表示为单位线段的整数倍。但是很快就有人发现正方形的对角线是不可公度量（无理数），即不能用边长来度量，即不能表示为整数的比。它促使人们把对数的确信建立在演绎法和公理之上。例如牛顿当时是这样求函数yxn的导数的：（xx）nxnnxn-1xn（n+1）/2xn-2(x)2（x）n，然后用自变量的增量x除以函数的增量y，y/x（xx）nxn/xnxn-1n（n-1）/2xn-2xn（x）n-1，最后，扔掉其中含有无穷小量x的项，即得函数y=xn的导数为y=nxn-1。2.贝克莱悖论贝克莱悖论贝克莱悖论：牛顿流数论中关于无穷小量的混乱假设：既是零又不是零。17世纪牛
5、顿和莱布尼兹创立微积分理论以后，在实践中取得了巨大的成功，但是其逻辑基础却相当混乱。英国大主教贝克莱抓住了这一点批评牛顿流数论中无穷小量在求极限的过程中一会儿是零一会儿又不是零。它最终促进了严格极限理论的建立。 第二次数学危机的出现，迫使数学家们认真对第二次数学危机的出现，迫使数学家们认真对待无穷小量待无穷小量x，为了克服思维上的混乱，解决危机，为了克服思维上的混乱，解决危机，投入大量的劳动。投入大量的劳动。 在初期，经过欧拉、拉格朗日等人的努力在初期，经过欧拉、拉格朗日等人的努力,微积微积分取得了一些进展；分取得了一些进展； 从从19世纪柯西、魏尔斯特拉斯等人进行了微积世纪柯西、魏尔斯特拉斯
6、等人进行了微积分理论的严格化工作。微积分内在的根本问题是无分理论的严格化工作。微积分内在的根本问题是无穷小：穷小： 罗比达公理：一个量增加或减少与之相比是无穷罗比达公理：一个量增加或减少与之相比是无穷小的另一个量，则可认为它保持不变。小的另一个量，则可认为它保持不变。 柯西采用的柯西采用的方法刻画无穷小，把无穷小定方法刻画无穷小，把无穷小定义为以义为以0为极限的变量。为极限的变量。 后来魏尔斯特拉斯又把它明确化，建立了极限后来魏尔斯特拉斯又把它明确化，建立了极限理论，极限用理论，极限用刻画动态极限。刻画动态极限。 在考查微积分理论时，柯西、魏尔斯特拉斯微积分理论的严格化，产生了 极限理论极限理
7、论；在考查极限理论的基础中，经过代德金、康托尔、海涅、外尔斯特拉斯和巴门赫等人的努力，产生了实数理论；实数理论；在考查实数理论的基础时，康托尔又创立了集合论集合论。这样有了极限理论、实数理论和集合论三大理论后，微积分才算建立在比较稳固和完美的基础之上了，从而结束了二百多年的纷乱争论局面，进而开辟了下一个世纪的函数论的发展道路。1900年，在巴黎召开的国际数学家会议上，法国大数学家庞加莱兴奋的宣布：我们可以说，现在数学已经达到了绝对的严格。然而，正当人们为集合论的诞生而欢欣鼓舞之时,一串串数学悖论却冒了出来，又搅得数学家心里忐忑不安,其中英国数学家罗素1902年提出的悖论影响最大：“罗素悖论”:
8、设集合B是一切不以自身为元素的集合所组成的集合，问：B是否属于B？若B属于B，则B是B的元素，于是B不属于自身，即B不属于B；反之，若B不属于B，则B不是B的元素，于是B属于自己，即B属于B。这样，利用集合的概念，罗素导出了集合B不属于B当且仅当集合B属于B时成立的悖论。3.罗素悖论理发师悖论（罗素悖论的通俗化形式）：一个理发师宣称他只给所有不给理发的人理发，问这个理发师是否给自己理发？无论理发师是否给自己理发都会导致矛盾，因此我们不能判定理发师是否给自己理发。它导致了康托朴素集合论的公理化以及对数学基础的深入讨论。撒谎者悖论克里特人伊壁孟德数学家弗雷格在他刚要出版的论数学基础卷二末尾就写道：
9、对一位科学家来说，没有一件比下列事实更令人扫兴：当他工作刚刚完成的时候，它的一块基石崩塌下来了。在本书的印刷快要完成时，罗素先生给我的一封信就使我陷入这种境地。可见第三次数学危机使人们面临多么尴尬的境地。哈代，李文林，一个数学家的辩白，江苏教育出版社，1996，P68三、生活中的悖论 骗人的平均数 阿洛悖论，选举悖论 赌徒的谬误（肯尼斯）阿洛悖论，选举悖论科学美国人编辑部编著李思一白葆林译，从惊讶到思考数学悖论奇景，轻工业出版社P164-165赌徒的谬误在一赌徒连赌连赢之后，有些赌徒会认为“他正走运呢”，打赌他还会赢；另一些赌徒却认为，他应该要输了，这样输赢才能平衡。而在一赌徒连赌连输之后，有
10、些赌徒会认为“他太背运了”，打赌他会继续输；另一些赌徒却认为，“机会很快会变得对他有利”、“他的运气要改变”，他应该赢了，这样输赢才能平衡。许多人潜心研究彩票中奖号码的规律，并且做了许多图表，试图发现利用已知数据预测中奖号码的方法。根据图表，一方主张一方主张：在上一轮中刚刚产生的号码是比较“热”的号码，在下一轮中这些号码再次出现的概率较高。另一方另一方提出针锋相对的观点：“风水轮流转”，那些在最近没有出现过的号码在下一轮中出现的概率才更高。三种说谎：谎言，弥天大谎，统计数字。 1873年，发生在赌城蒙特卡罗年，发生在赌城蒙特卡罗:一名英国工程师约瑟夫贾格斯让他的助手提前一天到赌场，记录下当天出
11、现的所有数字。贾格斯研究发现，第六台赌机上有9个数字被选中的概率较高。第二天来到赌场，他专押那台赌机上这9个数字。到第4天结束时，他赢了30万美元。贾格斯之所以交好运，并不是赢在数学上，而是赢在物理学上。那台轮盘赌机上有一小裂缝，正是它让那9个数字出现的频率高于统计学的估算。从那后，蒙特卡罗赌场里的轮盘赌机每天都要进行专业检查调试，确保数字被选中的概率相同。四、数学上的三大学派四、数学上的三大学派数学和逻辑学在历史上曾经是截然不同的研究领域但在现代都有所发展：逻辑学越来越数学化而数学也越来越逻辑化。结果就是，现在已不可能在两者间画出一条分界线；事实上两者是同一的当然，证明两者的同一是一个细节问
12、题。(Russel1919：第18章)（美）斯图尔特夏皮罗著.数学哲学：对数学的思考.复旦大学出版社,2009.02.逻辑主义学派数学（只）是逻辑？逻辑主义学派代表人物主要是弗雷格、罗素。他们认为，数学的概念和对象(例如“数”)可以用逻辑词项定义；并且在这些定义下，数学的定理可以由逻辑原理推导出来。逻辑主义学派弗雷格明确地提出了数学可以化归为逻辑的思想，而且花费了近二十年的时间把算术化归为逻辑，这就是他的巨著算术基础和算术基本原理。其中的主要问题是，从逻辑概念推出自然数。因为这时数学理论的算术化已基本完成，即无论是数学分析还是几何学，都已化归为实数论，而实数论通过康托的有理数序列和戴德金的有理
13、数分割，化归为有理数理论，进而化归为自然数理论。从而建立数学大厦。郝宁湘著.数学历史文化.四川教育出版社,2002年08月第1版.P94罗素认为，数学的少年时代是逻辑，逻辑的青年时代是数学。逻辑主义主张具体分为两部分内容：第一，数学的概念可以从逻辑的概念出发，经由明显的定义而得出。第二，数学的定理可以通过纯粹的逻辑演绎法而从逻辑公理推导出来。因此，全部数学便都可以从基本的逻辑概念和逻辑规则推导出来。罗素直到晚年才承认：“我所一直寻找的数学中的光辉的确定性在令人困惑的迷宫中丧失了寻求完美、最终和确定性的希望破灭了。”美国数学史家M克莱因说：“算术和代数步骤以及几何法则，都是根据物理事实、边试边改
14、以及从直观认识得出的结果关于证明的想法，依据于决定取舍原则的逻辑结构的思想，数学里都是找不到的。”哈代，李文林，一个数学家的辩白，江苏教育出版社，1996，P76利用逻辑推导出全部数学的过程可归结为两步：第一步是数学理论算术化；第二步是算术理论逻辑化罗素逻辑是数学的少年时代，数学是逻辑的成年时代直觉主义学派德国数学家克罗内克，荷兰数学家布劳威尔发表其名著数学基础，系统地阐述了其直觉主义观点。直觉主义学派的基本观点是：否认逻辑先于数学；数学起源于直觉；数学必须能构造；传统逻辑起源于有限集，不能推广到无限集；反对实无限，支持潜无限；形式主义学派形式主义学派是在解决由悖论而引起的“数学危机”和批判直
15、觉主义学派对古典数学的责难中形成的。代表人物是德国大数学家希尔伯特。反对直觉主义无限观公理系统的完善希尔伯特（DavidHilbert;18621943）1899年发表著名的几何基础一书。引入了 20 条公理和 6 个不加解释的定义，建立起新的几何公理系统。公理系统的完善6个不加解释的定义包括：点、线、面、通过、在 之间、相等20 条公理分成 5 組：关联公理（I. 18）、顺序公理（II. 14）、合同公理（III. 15）、平行公理（IV.）、连续公理（V. 12）希尔伯特同时提出选择公理系统的原则：相容性、独立性、完备性I：结合公理。I1：过点A和点B有一直线a。I2：过点A和点B至多有
16、一直线a。I3：直线上至少有二点，又至少有三点不在同一直线上；I4：过不在同一直线上的三点A、B、C必有一平面，在每个平面上至少有三点。I5：过不在同一直线上的三点A、B、C至多有一个平面。I6：如果一直线的两点在一平面上，则该直线的每一点都在该平面上。I7：如果有两平面，有一公共点A，则它们至少还有另一个公共点B。I8：至少有四点不在同一平面上。：顺序公理1：若一点B位于点A与点C之间，则A、B和C为一直线上的三个点，且B也位于C与A之间。2：至少有一点B位于任二点A与C作成的直线AC上，且B也位于C与A之间。3：直线上的任意三点中，至多有一点位于其它两点之间。4：令A、B和C三点不在同一直线上，又设直线a位于A、B、C三点的平面上但不通过A、B或C。如果a穿过AB截段中的一个点，则a必穿过截段AC或BC中的一个点哈代，李文林，一个数学家的辩白，江苏教育出版社，1996，P75哈代，李文林，一个数学家的辩白，江苏教育出版社，1996，P75
