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1、10.3.3 排列组合综合应用排列组合综合应用1完成一件事，有完成一件事，有n n类办法，在第类办法，在第1 1类办法中有类办法中有 m m1 1种不同的方法，在第种不同的方法，在第2 2类办法中有类办法中有m m2 2 种不种不同的方法，同的方法，在第，在第n n类办法中有类办法中有m mn n种不同的种不同的方法，那么完成这件事共有：方法，那么完成这件事共有：种不同的方法种不同的方法复习巩固复习巩固1.1.分类计数原理分类计数原理( (加法原理加法原理) )2完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n n个步骤，做第个步骤，做第1 1步有步有m m1 1种不同的方法，做第种不同的方法，做第
2、2 2步有步有m m2 2 种不同的方法，种不同的方法，做第，做第n n步有步有m mn n种不同的方法，那么完成这种不同的方法，那么完成这件事共有：件事共有：种不同的方法种不同的方法2.2.分步计数原理（乘法原理）分步计数原理（乘法原理）分步计数原理分步计数原理各步相互依存各步相互依存，每步中的方法，每步中的方法完成事件的完成事件的一个阶段一个阶段，不能完成整个事件不能完成整个事件3.分类计数原理分类计数原理分步计数原理区别分步计数原理区别分类计数原理分类计数原理方法相互独立方法相互独立，任何一种方法，任何一种方法都可以都可以独立地完成这件事独立地完成这件事。3排列问题常用方法排列问题常用方
3、法（直接法和间接法）（直接法和间接法）1、优限法、优限法特殊元素（位置）特殊元素（位置）2、捆绑法、捆绑法相邻排列问题相邻排列问题3、插空法、插空法不相邻排列问题不相邻排列问题4、消序法、消序法 4解决排列组合综合性问题的一般过程如下解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.1.认真审题弄清要做什么事认真审题弄清要做什么事2.2.怎样做才能完成所要做的事怎样做才能完成所要做的事, ,即采取分步还即采取分步还 是分类是分类, ,或是分步与分类同时进行或是分步与分类同时进行, ,确定分多确定分多 少步及多少类。少步及多少类。3.3.确定每一步或每一类是排列问题确定每一步或每一类是排列问题( (有序
4、有序) )还是还是 组合组合( (无序无序) )问题问题, ,元素总数是多少及取出多元素总数是多少及取出多 少个元素少个元素. .解决排列组合综合性问题，往往类与步交解决排列组合综合性问题，往往类与步交 叉，因此必须掌握一些常用的解题策略叉，因此必须掌握一些常用的解题策略51 1. .排列组合混合问题先选后排策略排列组合混合问题先选后排策略例例1 1. .有有5 5个不同的小球个不同的小球, ,装入装入4 4个不同的盒内个不同的盒内, , 每盒至少装一个球每盒至少装一个球, ,共有多少不同的装共有多少不同的装 法法. .解解: :第一步从第一步从5 5个球中选出个球中选出2 2个组成复合元共个
5、组成复合元共 有有_种方法种方法. .再把再把5 5个元素个元素( (包含一个复合包含一个复合 元素元素) )装入装入4 4个不同的盒内有个不同的盒内有_种方法种方法. .根据分步计数原理装球的方法共有根据分步计数原理装球的方法共有_解决排列组合混合问题解决排列组合混合问题,先选后排是最基本先选后排是最基本的指导思想的指导思想.此法与此法与相邻元素捆绑策略相似吗?6练习题1一个班有一个班有6 6名战士名战士, ,其中正副班长各其中正副班长各1 1人人现从中选现从中选4 4人完成四种不同的任务人完成四种不同的任务, ,每人每人完成一种任务完成一种任务, ,且正副班长有且只有且正副班长有且只有1
6、1人人参加参加, ,则不同的选法有则不同的选法有_ _ 种种19219272 2. .分组、分配问题策略分组、分配问题策略平均分成的组平均分成的组,不管它们的顺序如何不管它们的顺序如何,都是一都是一种情况种情况,所以分组后要一定要除以所以分组后要一定要除以 (n为为均分的组数均分的组数)避免重复计数。避免重复计数。例例2 2、6 6本不同的书，按下列要求处理，分别有多本不同的书，按下列要求处理，分别有多 少种分法？少种分法？（1 1）分三堆，一堆）分三堆，一堆1 1本，一堆本，一堆2 2本，一堆本，一堆3 3本本（2 2）分给甲、乙、丙）分给甲、乙、丙3 3个人，甲个人，甲1 1本，乙本，乙2
7、 2本，丙本，丙3 3本本（3 3）分给甲、乙、丙）分给甲、乙、丙3 3个人，一人个人，一人1 1本，一人本，一人2 2本，本， 一人一人3 3本。本。（4 4）分三）分三 堆，有两堆各堆，有两堆各1 1本，另一堆本，另一堆4 4本本（5 5）平均分成三组）平均分成三组（6 6）平均分给甲、乙、丙）平均分给甲、乙、丙3 3个人个人81 将将13个球队分成个球队分成3组组,一组一组5个队个队,其它两组其它两组4 个队个队, 有多少分法？有多少分法？3.10名学生分成名学生分成3组组,其中一组其中一组4人人, 另两组另两组3人人 但正副班长不能分在同一组但正副班长不能分在同一组,有多少种不同有多少
8、种不同 的分组方法的分组方法 （1540）2 2. .某校高二年级共有六个班级，现从外地转某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入入4 4名学生，要安排到该年级的两个班级且每名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排班安排2 2名，则不同的安排方案种数为名，则不同的安排方案种数为_ 练习2、93 3. .特殊元素和特殊位置优先策略特殊元素和特殊位置优先策略例例1.由由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字可以组成多少个没有重复数字 五位奇数五位奇数. 解解:由于末位和首位有特殊要求由于末位和首位有特殊要求,应该优先安应该优先安 排排,以免不合要求的元素占了这两个位置以免不合要求的元素
9、占了这两个位置先排末位共有先排末位共有_ 然后排首位共有然后排首位共有_最后排其它位置共有最后排其它位置共有_由分步计数原理得由分步计数原理得=288位置分析法和元素分析法是解决排列组合问位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法题最常用也是最基本的方法, ,若以元素分析为若以元素分析为主主, ,需先安排特殊元素需先安排特殊元素, ,再处理其它元素再处理其它元素. .若以若以位置分析为主位置分析为主, ,需先满足特殊位置的要求需先满足特殊位置的要求, ,再再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件考虑
10、一个约束条件的同时还要兼顾其它条件101.1.7 7种不同的花种在排成一列的花盆里种不同的花种在排成一列的花盆里, ,若两若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里里，问有多少不同的种法？问有多少不同的种法？练习题114.元素相同问题隔板策略例例3.有有1010个运动员名额，在分给个运动员名额，在分给7 7个班，每个班，每班至少一个班至少一个, ,有多少种分配方案？有多少种分配方案？ 解：因为解：因为10个名额没有差别，把它们排成个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，在个空档中选个位
11、置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法班级，每一种插板方法对应一种分法共有共有_种分法。种分法。一班二班三班四班五班六班七班将将n n个相同的元素分成个相同的元素分成m m份（份（n n，m m为正整数）为正整数）, ,每份至少一个元素每份至少一个元素, ,可以用可以用m-1m-1块隔板，插入块隔板，插入n n个元素排成一排的个元素排成一排的n-1n-1个空隙中，所有分法数个空隙中，所有分法数为为12练习题1.1.1010个相同的球装个相同的球装5 5个盒中个盒中, ,每盒至少一每盒至少一个，有多少装法？个，有多少装法？135.相邻
12、元素捆绑策略例例2. 72. 7人站成一排人站成一排 , ,其中甲乙相邻且丙丁相其中甲乙相邻且丙丁相 邻邻, , 共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法. .甲甲乙乙丙丙丁丁由分步计数原理可得共有由分步计数原理可得共有种不同的排法种不同的排法=480解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素，同时丙丁也看成一个一个复合元素，同时丙丁也看成一个 复合元素，再与其它元素进行排列，复合元素，再与其它元素进行排列， 同时对相邻元素内部进行自排。同时对相邻元素内部进行自排。 要求某几个元素必须排在一起的问题要求某几个元素必须排在一起的问题, ,可以用可以用捆
13、绑法来解决问题捆绑法来解决问题. .即将需要相邻的元素合并即将需要相邻的元素合并为一个元素为一个元素, ,再与其它元素一起作排列再与其它元素一起作排列, ,同时同时要注意合并元素内部也必须排列要注意合并元素内部也必须排列. .14某人射击某人射击8 8枪，命中枪，命中4 4枪，枪，4 4枪命中恰好枪命中恰好有有3 3枪连在一起的情形的不同种数为（枪连在一起的情形的不同种数为（ ）练习题20156 6. .不相邻问题插空策略不相邻问题插空策略例例3 3. .一一个个晚晚会会的的节节目目有有4 4个个舞舞蹈蹈, ,2 2个个相相声声, ,3 3个个 独独唱唱, ,舞舞蹈蹈节节目目不不能能连连续续出
14、出场场, ,则则节节目目的的出出 场场顺顺序序有有多多少少种种？解解: :分两步进行第一步排分两步进行第一步排2 2个相声和个相声和3 3个独唱共个独唱共 有有 种，种， 第二步将第二步将4 4舞蹈插入第一步排舞蹈插入第一步排好的好的6 6个元素中间包含首尾两个空位共有个元素中间包含首尾两个空位共有种种 不同的方法不同的方法 由分步计数原理,节目的不同顺序共有 种相相相相独独独独独独元素相离问题可先把没有位置要求的元素进元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端行排队再把不相邻元素插入中间和两端16某班新年联欢会原定的某班新年联欢会原定的5 5个节目已排成节个节目
15、已排成节目单，开演前又增加了两个新节目目单，开演前又增加了两个新节目. .如果如果将这两个新节目插入原节目单中，且两将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（为（ ）30练习题177. 合理分类与分步策略例例4 4. .在一次演唱会上共在一次演唱会上共1010名演员名演员, ,其中其中8 8人能人能 唱歌唱歌,5,5人会跳舞人会跳舞, ,现要演出一个现要演出一个2 2人人 唱歌唱歌2 2人伴舞的节目人伴舞的节目, ,有多少选派方法有多少选派方法? ?解：10演员中有演员中有5人只会唱歌，人只会唱歌，2人只会跳舞人只会跳舞 3人为全
16、能演员。人为全能演员。以只会唱歌的以只会唱歌的5 5人是否人是否选上唱歌人员为标准进行研究选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱只会唱的的5 5人中没有人选上唱歌人员共有人中没有人选上唱歌人员共有_种种, ,只会唱的只会唱的5 5人中只有人中只有1 1人选上唱歌人人选上唱歌人员员_种种, ,只会唱的只会唱的5 5人中只有人中只有2 2人人选上唱歌人员有选上唱歌人员有_种，由分类计数种，由分类计数原理共有原理共有_种。种。+ + +18本题还有如下分类标准：本题还有如下分类标准：* *以以3 3个全能演员是否选上唱歌人员为标准个全能演员是否选上唱歌人员为标准* *以以3 3个全能演员是否选上跳舞人员
17、为标准个全能演员是否选上跳舞人员为标准* *以只会跳舞的以只会跳舞的2 2人是否选上跳舞人员为标准人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果都可经得到正确结果解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。191.1.从从4 4名男生和名男生和3 3名女生中选出名女生中选出4 4人参加某个座人参加某个座 谈会，若这谈会，若这4 4人中必须既有男生又有女生，则人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有不同的选法共有_ _ 3434 练习题2. 3 3成人成人2 2小孩乘船游玩小孩乘船游玩
18、,1,1号船最多乘号船最多乘3 3人人, 2, 2 号船最多乘号船最多乘2 2人人,3,3号船只能乘号船只能乘1 1人人, ,他们任选他们任选 2 2只船或只船或3 3只船只船, ,但小孩不能单独乘一只船但小孩不能单独乘一只船, , 这这3 3人共有多少乘船方法人共有多少乘船方法. .2727208 8. .重排问题求幂策略重排问题求幂策略例例5.5.把把6 6名实习生分配到名实习生分配到7 7个车间实习个车间实习, ,共有共有 多少种不同的分法多少种不同的分法解解: :完成此事共分六步完成此事共分六步: :把第一名实习生分配把第一名实习生分配 到车间有到车间有 种分法种分法. .7 7把第二
19、名实习生分配把第二名实习生分配 到车间也有到车间也有7 7种分法，种分法， 依此类推依此类推, ,由分步计由分步计数原理共有数原理共有 种不同的排法种不同的排法允许重复的排列问题的特点是以元素为研究允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限不同的元素没有限制地安排在制地安排在m个位置上的排列数为个位置上的排列数为 种种n nm m211. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（
20、） 422. 2. 某某8 8层大楼一楼电梯上来层大楼一楼电梯上来8 8名乘客人名乘客人, ,他们他们 到各自的一层下电梯到各自的一层下电梯, ,下电梯的方法下电梯的方法（ ）练习题22练习题6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈120239 9. .构造模型策略构造模型策略例例5 5. . 马路上有编号为马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,91,2,3,4,5,6,7,8,9的的 九只路灯九只路灯, ,现要关掉其中的现要关掉其中的3 3盏盏, ,但不能关但不能关 掉相邻的掉相邻的2 2盏或盏或3 3盏盏, ,也不能关掉两端的也不能关掉两端的2 2 盏盏, ,求满足条件的关灯方法有多少
21、种？求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在解：把此问题当作一个排队模型在6 6盏盏 亮灯的亮灯的5 5个空隙中插入个空隙中插入3 3个不亮的灯个不亮的灯 有有_ _ 种种一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决24练习题某排共有某排共有1010个座位，若个座位，若4 4人就坐，每人左右人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？120251010. .实际操作穷举策略实际操作穷举策略例例6 6. .设有编号设有编号1,2,3,4,51,2,3,4,5的五个球和
22、编号的五个球和编号1,21,2 3,4,53,4,5的五个盒子的五个盒子, ,现将现将5 5个球投入这五个球投入这五 个盒子内个盒子内, ,要求每个盒子放一个球，并且要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.,. 有多少投法有多少投法 解：从从5个球中取出个球中取出2个与盒子对号有个与盒子对号有_种种 还剩下还剩下3球球3盒序号不能对应，盒序号不能对应， 利用实际操作法，如果剩下操作法，如果剩下3,4,5号球号球, 3,4,5号盒号盒3号球装号球装4号盒时，则号盒时，则4,5号球有只有号球有只有1种种装法装法3 3号盒号盒4 4号盒号盒
23、5 5号盒号盒345261010. .实际操作穷举策略实际操作穷举策略例例6 6. .设有编号设有编号1,2,3,4,51,2,3,4,5的五个球和编号的五个球和编号1,21,2 3,4,53,4,5的五个盒子的五个盒子, ,现将现将5 5个球投入这五个球投入这五 个盒子内个盒子内, ,要求每个盒子放一个球，并且要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.,. 有多少投法有多少投法 解：从从5个球中取出个球中取出2个与盒子对号有个与盒子对号有_种种 还剩下还剩下3球球3盒序号不能对应，盒序号不能对应， 利用实际操作法，如果剩下操作法，如果
24、剩下3,4,5号球号球, 3,4,5号盒号盒3号球装号球装4号盒时，则号盒时，则4,5号球有只有号球有只有1种种装法装法, 同理同理3号球装号球装5号盒时号盒时,4,5号球有号球有也也只有只有1种装法种装法,由分步计数原理有由分步计数原理有2 种种 27对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树形公式进行运算，往往利用穷举法或画出树形图会收到意想不到的结果图会收到意想不到的结果练习题1.1. 同一寝室同一寝室4 4人人, ,每人写一张贺年卡集中起来每人写一张贺年卡集中起来, , 然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张 贺年卡不同的分配方式有多少种？贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)2.2.给图中区域涂色给图中区域涂色, ,要求相邻区要求相邻区 域不同色域不同色, ,现有现有4 4种可选颜色种可选颜色, ,则则 不同的着色方法有不同的着色方法有_种种21345727228练习题6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈12029
