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1、点估计有使用方便、直观等优点点估计有使用方便、直观等优点, ,但他并没有提供关于但他并没有提供关于估计精度的任何信息估计精度的任何信息, ,为此提出了未知参数的区间估计为此提出了未知参数的区间估计法法. .例例 对明年小麦的亩产量作出估计为对明年小麦的亩产量作出估计为:即即若设若设X表示明年小麦亩产量表示明年小麦亩产量,则估计结果为则估计结果为P(800X1000)=80%明年小麦亩产量八成为明年小麦亩产量八成为800-1000斤斤.区间估计区间估计第节第节 期望、方差的区间估计及期望、方差的区间估计及ExcelExcel实现实现 区间估计的定义区间估计的定义设总体分布中含有未知参数设总体分布
2、中含有未知参数 , ,根据来自该总体的根据来自该总体的s.r.s s.r.s , ,如果能够找到两个统计量如果能够找到两个统计量 , ,使得随机区间使得随机区间 包含包含 达到一定的把握达到一定的把握, ,那么那么, ,便称该随机区间为未知参便称该随机区间为未知参数的数的区间估计区间估计. .即即 当当 成立时成立时, , 称概率称概率 为为置信度置信度或或置信水平置信水平或或置信系数置信系数; ; 称区间称区间 是是 的置信度为的置信度为 的的置信区间置信区间; ; 分别称为分别称为置信下限置信下限和和置信上限置信上限. .1.单正态总体数学期望的区间估计单正态总体数学期望的区间估计 选择包
3、含选择包含的分布已知函数的分布已知函数: 构造构造Z的的 一个一个1-区间区间:设总体设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，为一组样本，(1) 2已知已知,求求的置信度为的置信度为1-置信区间置信区间即即 的的1-置信区间置信区间: /2 /2X(x)1-z/2P(|Z|)=1-1-注意：注意：置信区间不是唯一的置信区间不是唯一的.对于同一个置信度对于同一个置信度,可以可以有不同的置信区间有不同的置信区间.置信度相同时置信度相同时,当然置信区间越短当然置信区间越短越好越好.一般来说一般来说,置信区间取成置信区间取成对称区间或概率对称区对称区间或概率对称区间间.注意注意 以上以上Z
4、具有三个特点具有三个特点: (1) 样本的函数样本的函数; (2) 含且仅含待估未知参数含且仅含待估未知参数; (3) 其分布与待估未知参数其分布与待估未知参数无关无关. 可称Z为枢轴变量枢轴变量.(2)2未知未知,求求的置信度为的置信度为1-置信区间置信区间 从点估计着手构造枢轴变量从点估计着手构造枢轴变量: 构造构造T的的 一个一个1-区间区间: 的的1-置信区间置信区间:Xf(x)/2/21-Excel求置信区间使用CONFIDENCE函数, 其语法格式如下:CONFIDENCE(, n) = 置信下限为: CONFIDENCE(, n) 置信上限为: CONFIDENCE(, n) 例
5、例5.3.1 (135页页例例5.3.1) 设设正正态态总总体体的的方方差差为为1, 根根据据取取自自该该总总体体的的容容量量为为100的的样样本本计计算算得得到到样样本本均均值值为为5, 求总体均值的置信度为的置信区间求总体均值的置信度为的置信区间.解解 已知已知2=1, =0.05,求求 的的1-置信区间：置信区间： 选择包含选择包含的分布已知函数的分布已知函数: 构造构造Z的的 一个一个1-区间区间: 的的1-置信区间置信区间:例例5.3.2 (136页例页例5.3.2) 某种零件的重量服从正态分布某种零件的重量服从正态分布. 现现从中抽取容量为从中抽取容量为16的样本的样本, 其观测到
6、的重量其观测到的重量(单位单位: 千克千克)分别为分别为4.8, 4.7, 5.0, 5.2, 4.7, 4.9, 5.0, 5.0, 4.6, 4.7, 5.0, 5.1, 4.7,4.5, 4.9, 4.9. 需要估计零件平均重量需要估计零件平均重量, 求平均重量的区求平均重量的区间估计间估计, 置信系数是置信系数是0.95.解解 未知未知2, =0.05,求求 的的1-置信区间置信区间:应用应用t分布分布,需要计算需要计算 从点估计着手构造枢轴变量从点估计着手构造枢轴变量: 构造构造T的的 一个一个1-区间区间: 变形得到变形得到的的1-置信区间置信区间:设总体设总体XN(,2), X1
7、,X2,Xn 为一组样本，为一组样本，(1) 总体均值总体均值 已知已知 构造枢轴变量构造枢轴变量其中其中 取取1-置信区间为置信区间为 解不等式得到解不等式得到2的的1-置信区间置信区间:2.单正态总体方差的区间估计单正态总体方差的区间估计Xf(x) 构造枢轴变量: 构造Q的 一个1-区间: 解不等式得到2的1-置信区间:/2/21-121-/2(2) 总体均值总体均值 未知未知 例例5.3.3 (138页例5.3.3) 投资的回收利用率常常用来衡量投资的风险. 随机地调查了26个年回收利润率(%), 标准差S(%). 设回收利润率为正态分布, 求它的方差的区间估计(置信系数为0.95).解
8、解 总体均值 未知,=0.05,方差的区间估计. 构造枢轴变量: 构造Q的 一个1-区间: 变形得到2的1-置信区间:(1) 12, 22已知已知, 1- 2的的1-置信区间置信区间 相对1- 2，构造枢轴变量: 构造Z的 一个1-区间: 概率恒等变形，得到1- 2的1-置信区间:设XN(1,12),Y N(2,22),从中分别抽取容量为n1,n2的样本,且两组样本独立，样本均值和样本方差分别记为3.3.两个正态总体均值差的区间估计两个正态总体均值差的区间估计(2) 12=22=2, 2未知未知,1- 2的的1-置信区间置信区间 对于对于1- 2，构造枢轴变量构造枢轴变量: 构造构造T的的 一
9、个一个1-区间区间: 变形得到变形得到1- 2的的1-置信区间置信区间:其中其中例例5.3.4 某工厂利用两条自动化流水线罐装番茄酱, 分别从两条流水线上抽取随机样本: 和 , 计算出 (克), (克), . 假设这两条流水线上罐装番茄酱的重量都服从正态分布, 其总体均值分别为 , 且有相同的总体方差. 试求总体均值差 的区间估计, 置信系数为0.95. (140页例5.3.4) 解解 12=22=2, 2未知,1- 2的置信区间: 构造枢轴变量构造枢轴变量: 构造构造T的的 一个一个1-区间区间: 变形得到变形得到1- 2的的1-置信区间置信区间: (1)对于12/22 ，构造枢轴变量:(2)构造F的 一个1-区间: (3)解不等式得12/22 的1-置信区间:Xf(x)/2/2121-P(1F22122212=22.
