量子力学 初步

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1、第三章第三章 量子力学初步量子力学初步3.1 3.1 物质的二象性物质的二象性3.2 3.2 测不准原理测不准原理3.3 3.3 波函数及其物理意义波函数及其物理意义3.4 3.4 薛定谔波动方程薛定谔波动方程 3.5 3.5 量子力学问题的几个简例量子力学问题的几个简例3.6 3.6 量子力学对氢原子的描述量子力学对氢原子的描述19世纪末，物理学晴朗的天空世纪末，物理学晴朗的天空飘着几朵乌云飘着几朵乌云物理学面临严重的危机物理学面临严重的危机! !黑体辐射黑体辐射光电效应光电效应康普顿效应康普顿效应氢原子光谱实验规律氢原子光谱实验规律 . 3.1 3.1 物质的二象性物质的二象性一一. .

2、光的二象性光的二象性光的干涉、衍射、偏振等现象光的干涉、衍射、偏振等现象波动性波动性黑体辐射、光电效应黑体辐射、光电效应微粒性微粒性EinsteinEinstein认为：认为： 光不仅是电磁波，而且还是一个粒子。光不仅是电磁波，而且还是一个粒子。 根据他的根据他的理论，电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量理论，电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量 h h的微粒形式的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速出现，而且以这种形式在空间以光速 C C 传播，这种粒子叫传播，这种粒子叫做光量子，或光子。做光量子，或光子。一个光子的能量：一个光子的能量：按照相对论原理：按照相对论原理：二二. . 微观粒子的波动

3、性微观粒子的波动性受受Planck-Einstein Planck-Einstein 光量子论以及光量子论以及BohrBohr量子论量子论的启发，的启发，1924 1924 年年 de. de. BroglieBroglie设想：设想：（1 1）我们可以观察到的宇宙由光和实物组成；）我们可以观察到的宇宙由光和实物组成；（2 2）既然光具有波粒二象性，实物也可能具有）既然光具有波粒二象性，实物也可能具有这种波粒二象性。这种波粒二象性。de.Broglie假定：假定： 一个能量为一个能量为 E E，动量，动量 p p 的实物粒子，同时具有波动的实物粒子，同时具有波动性（称之为性（称之为“物质波物质

4、波”或或“德布罗意波德布罗意波”） 。德布罗意波的。德布罗意波的频率和波长分别为：频率和波长分别为：该关系称为该关系称为de. de. BroglieBroglie关系。关系。 在宏观上，飞行的子弹在宏观上，飞行的子弹m=10m=10-2-2KgKg，速度速度V=5.0V=5.0 10102 2m/sm/s对应的德布罗意波长为：对应的德布罗意波长为： 在微观上，如电子在微观上，如电子m=9.1m=9.1 1010-31-31KgKg，速度速度V=5.0V=5.0 10107 7m/s,m/s,对应的德布罗意波长为：对应的德布罗意波长为：太小测不到！例题：例题：三三. . 德布罗意波的实验验证德

5、布罗意波的实验验证 1927-19281927-1928年戴维孙（年戴维孙（C.J.DavissonC.J.Davisson）和革末）和革末（L.S.GermerL.S.Germer） 利用电子衍射实验证实了物质波的存在。利用电子衍射实验证实了物质波的存在。 1. 1. 实验装置实验装置G：电子源，发出电子束；：电子源，发出电子束； T：晶体表面，可绕：晶体表面，可绕x轴旋转轴旋转 一周；一周；C：电子接收器（测接收到的：电子接收器（测接收到的 电子的数量）电子的数量）;可转动，中可转动，中 心在轴上（如光栅一样）心在轴上（如光栅一样）2. 2. 实验原理及实验内容实验原理及实验内容如右图，如

6、果电子确有波动性，如右图，如果电子确有波动性，则射入晶体表面时就会发生衍则射入晶体表面时就会发生衍射现象。射现象。 强波束射出的条件为：强波束射出的条件为：根据德布罗意关系，电子的德布根据德布罗意关系，电子的德布罗意波长为罗意波长为 实验中实验中, ,采用电场来使电采用电场来使电子加速，则有子加速，则有 例：例：所以，有所以，有即，当保持即，当保持d d和和一定，随着电压的变化，满足一定，随着电压的变化，满足 时，接收器收到的电子数将增大。时，接收器收到的电子数将增大。3. 3. 实验结果实验结果P82P82页，图页，图3.33.3同年，同年，G.P.G.P.汤姆逊将电子射过金属箔，获得汤姆逊

7、将电子射过金属箔，获得了多晶体上电子的透射衍射图样。了多晶体上电子的透射衍射图样。19281928年，菊池正士将电子束射在云母片上，年，菊池正士将电子束射在云母片上，获得了单晶体上电子的透射衍射图样。获得了单晶体上电子的透射衍射图样。19611961年约恩还给出了电子的单缝和多缝年约恩还给出了电子的单缝和多缝衍射图衍射图1993年，年，Crommie等人用扫描隧道显微镜技术，把蒸发到等人用扫描隧道显微镜技术，把蒸发到铜（铜（111）表面上的铁原子排列成半径为）表面上的铁原子排列成半径为7.13nm的圆环形量子的圆环形量子围栏，用实验观测到了在围栏内形成的同心圆状的驻波围栏，用实验观测到了在围栏

8、内形成的同心圆状的驻波(“量量子围栏子围栏”)，这是世界上首次观察到电子驻波的直观图形。该，这是世界上首次观察到电子驻波的直观图形。该图直观地证实了电子的波动性。图直观地证实了电子的波动性。铁铁原原子子形形成成的的量量子子围围拦拦3.2 3.2 测不准原理测不准原理( (Theuncertaintyprinciple)一一. . 测不准关系（测不准关系（不确定关系）的表达和含义不确定关系）的表达和含义1. 1. 位置和动量的不确定关系式位置和动量的不确定关系式 19271927年，年，海森伯海森伯提出，提出，测不准关系测不准关系反映了微观粒子反映了微观粒子运动的基本规律，是物理学中的一个极为重

9、要的关系式，包运动的基本规律，是物理学中的一个极为重要的关系式，包括多种表达式。括多种表达式。 为普朗克常数为普朗克常数 表示：表示：测量时坐标和动量都有一定的不确定度，并且当其测量时坐标和动量都有一定的不确定度，并且当其中一个量被测量的越准确另一个量就被测量的越不准确，中一个量被测量的越准确另一个量就被测量的越不准确，它们的乘积满足它们的乘积满足的关系的关系。 例例1 1：电子的单缝衍射：电子的单缝衍射 设设 y y 方向运动的电子穿过狭缝前方向运动的电子穿过狭缝前 ，若电子，若电子没有波动性没有波动性, ,它穿过狭缝时，仍有它穿过狭缝时，仍有 。只要尽可能地。只要尽可能地将将 缩小，就可同

10、时准确地确定电子穿过狭缝时的坐标缩小，就可同时准确地确定电子穿过狭缝时的坐标 和动量和动量 。考虑到微观粒子具有波动性考虑到微观粒子具有波动性,当它穿过狭缝时当它穿过狭缝时,会发生衍射现会发生衍射现象象,在在x方向，粒子的坐标方向，粒子的坐标,动量动量Px不可能同时有确定的值。不可能同时有确定的值。粒子的坐标不确定范围为：粒子的坐标不确定范围为：动量在动量在 ox ox 方向的分量：方向的分量：（单缝衍射一级极小的条件）（单缝衍射一级极小的条件） ox ox 轴上，动量的不确定量轴上，动量的不确定量将德布罗意关系式将德布罗意关系式 代入上式得：代入上式得：如果把次级极大包括在内，则有如果把次级

11、极大包括在内，则有对三维运动：对三维运动：例例2.2. 对速度为对速度为 v=10v=105 5 m.s m.s-1-1 的的 射线，射线， 若测量速度的精确度若测量速度的精确度为为 0.1% 0.1% 即即求：电子位置的不确定量求：电子位置的不确定量解：解： 例例3. 3. 试比较电子和质量为试比较电子和质量为10g 10g 的子弹在确定它们位置时的子弹在确定它们位置时 的不确的不确定量定量 x x ，假定它们都在假定它们都在 x x 方向以方向以 200m.s200m.s-1-1 的速度运动，速度的速度运动，速度的测量误差在的测量误差在 0.01% 0.01% 以内。以内。 解：解： 跟据

12、不确定关系：跟据不确定关系：得得对对电电子子对对子子弹弹例例4.4. 用不确定关系讨论原子中电子的速度用不确定关系讨论原子中电子的速度 * *原子的线度的数量级是原子的线度的数量级是 1010-10-10 m m ，原子中确定电子位置的不准原子中确定电子位置的不准确量为确量为 x x 10 10-10-10 m m ， * *原子中电子速度的不确定量按不确定关系原子中电子速度的不确定量按不确定关系 * *按经典力学算氢原子的电子在轨道上速度的数量级为按经典力学算氢原子的电子在轨道上速度的数量级为 10 10 6 6 m.sm.s-1-1不能用经典理论计算原子核外电子的速度。不能用经典理论计算原

13、子核外电子的速度。估算为：估算为：结论：结论：动量的不准确量为动量的不准确量为 P P x x h/ h/ x .x .关于关于h h的几句话：的几句话：非常小非常小令：令：h0那么：在任何情况下都可有那么：在任何情况下都可有 x=0x=0、 P Px x=0=0波波粒子粒子无关无关波粒二象性就将从自然界中消失！波粒二象性就将从自然界中消失！让让h h大一点：大一点：子弹射出枪口的横向速度：子弹射出枪口的横向速度：波粒二象性就将统治到宏观世界中！波粒二象性就将统治到宏观世界中！不不大大不不小小正好！正好！2. 2. 能量和时间的不确定关系式能量和时间的不确定关系式推导：推导：所以，所以，结论：

14、结论：测不准关系来源于测不准关系来源于物质的波粒二象性，是物物质的波粒二象性，是物质的客观规律；凡是经典质的客观规律；凡是经典力学中共轭的动力变量之力学中共轭的动力变量之间都有这个关系。间都有这个关系。二二. . 测不准关系的应用举例测不准关系的应用举例a) a) 对电子不能落入核内的解释对电子不能落入核内的解释 玻尔理论中，只是根据实验事实，假定电子处在一定玻尔理论中，只是根据实验事实，假定电子处在一定的轨道上，不能辐射。但不能解释电子为什么不能落入核内。的轨道上，不能辐射。但不能解释电子为什么不能落入核内。因为当电子离核越来越近时，因为当电子离核越来越近时， 越小越小， 必将越来越大。必将

15、越来越大。由于没有这一能量来源，因此电子不能无限靠近原子核，更不由于没有这一能量来源，因此电子不能无限靠近原子核，更不要说落入核内了。要说落入核内了。 b) b) 谱线的自然宽度谱线的自然宽度 原子中某激发态的平均寿命为原子中某激发态的平均寿命为处于激发态能级上的电子都有一定的寿命处于激发态能级上的电子都有一定的寿命 不确定关系不确定关系普朗克普朗克能量子假说能量子假说谱线的自然宽度谱线的自然宽度3.3 3.3 波函数及其物理意义波函数及其物理意义1. 1. 自由粒子的波函数自由粒子的波函数机械波：机械波：电磁波：电磁波：一个自由粒子的波：一个自由粒子的波：自由粒子不受力自由粒子不受力其中其中

16、 的意义如图示的意义如图示 图3.5 有关平面波诸量的关系写成复数形式，则为，写成复数形式，则为，其中其中 （1）是是（2）的实数部分。的实数部分。 因为，因为，所以，（所以，（2 2）式又可以写成）式又可以写成 将表示微粒性的能量和动量代入即，将表示微粒性的能量和动量代入即，则，则量子力学中的一般表示：量子力学中的一般表示：二二. . 波函数的物理意义波函数的物理意义 1. 1. 电子的双缝干涉实验电子的双缝干涉实验 类似于光的杨氏双缝干涉实验，人们用电子束代替类似于光的杨氏双缝干涉实验，人们用电子束代替光源，通双缝后，也观察到了明暗相间的干涉条纹。光源，通双缝后，也观察到了明暗相间的干涉条

17、纹。 如果将电子束的强度减弱，使电如果将电子束的强度减弱，使电子一个一个地通过狭缝，实验表明，只要子一个一个地通过狭缝，实验表明，只要照射时间足够长，仍然能观察到干涉条纹照射时间足够长，仍然能观察到干涉条纹 。 如果粒子的波函数为如果粒子的波函数为 ，则波函数的模方，则波函数的模方 代表代表某时刻在空间某地点，某时刻在空间某地点，发现粒子的几率（一般发现粒子的几率（一般 为复数，为复数， 是是 的共扼复数）的共扼复数） 。 19271927年，年，波恩（波恩（M.Born）在解释散射时首先提出波函数的）在解释散射时首先提出波函数的物理意义，他认为：物理意义，他认为：所以，在任意体积所以，在任意

18、体积中发现一个粒子的几率为中发现一个粒子的几率为表示单位体积中发现一个粒子的几率，称为表示单位体积中发现一个粒子的几率，称为几率密度。几率密度。德布罗意波函数的物理意义德布罗意波函数的物理意义a)a)连续性连续性: : 作为几率作为几率, , 在空间上不会发生突变在空间上不会发生突变, , 因而必须处处连因而必须处处连续。续。b)b)单值性单值性: : 在空间任何一点，都只能有在空间任何一点，都只能有1 1个几率。个几率。c) c) 有限性有限性: : 几率不可能无限大。几率不可能无限大。d)d)归一性：粒子在空间各点出现的几率的总和为归一性：粒子在空间各点出现的几率的总和为1 1，即，即三.

19、三.波函数满足的条件波函数满足的条件3.4薛定谔波动方程薛定谔波动方程一一.自由粒子的薛定谔方程自由粒子的薛定谔方程描述自由粒子的波函数为描述自由粒子的波函数为上式对上式对x x，y y，z z求二阶偏微商：求二阶偏微商：所以，所以，同理：同理：， （1 1）（2 2）ErwinSchrdinger(18871961)相加，有相加，有定义：定义：将（将（1 1）式再对时间取一阶偏微商，有）式再对时间取一阶偏微商，有如果对自由粒子，考虑非相对论情形，如果对自由粒子，考虑非相对论情形， （3 3）（4 4）将将(3)(4)代入代入(5)得，得，自由粒子的薛定自由粒子的薛定谔方程谔方程（5 5）二二

20、.力场中粒子的薛定谔方程力场中粒子的薛定谔方程 对于处在一个力场中的非自由粒子，由于其能对于处在一个力场中的非自由粒子，由于其能量为量为动能势能动能势能，即，即同理，将同理，将(3)(4)(3)(4)代入上式得，代入上式得，薛定谔方程的一般形式薛定谔方程的一般形式(TheSchrdingerequation) 它是描述力场中粒子行为的微分方程，这个方程的它是描述力场中粒子行为的微分方程，这个方程的正确性要看其对问题的结论是否与实验相符。正确性要看其对问题的结论是否与实验相符。 定态：定态：能量不随时间变化的状态。能量不随时间变化的状态。三定态薛定谔方程三定态薛定谔方程( ( the time-

21、independent Schrdinger equation. ) )在定态条件下，能量不随时间变化，波函数可以被分离变量在定态条件下，能量不随时间变化，波函数可以被分离变量代入薛定谔方程的一般形式得：代入薛定谔方程的一般形式得：可设它们等于一个与时间和坐标都无关的可设它们等于一个与时间和坐标都无关的常数常数E E，则有，则有 解这个微分方程可得：解这个微分方程可得：则：则： 与自由粒子方程比较与自由粒子方程比较, , 可见这时可见这时E E就是能量就是能量, , 称这种状态为称这种状态为定定态态。2. 2. 波函数可表示为波函数可表示为3. 3. 空间波函数满空间波函数满足足4. 4. 定

22、态条件下，发现粒子的几率，定态条件下，发现粒子的几率， 与时间与时间无关；无关；5. 5. 波函数还必须满足三个条件（单值，连续，有限）。波函数还必须满足三个条件（单值，连续，有限）。称为定态薛定谔方程；称为定态薛定谔方程；1. 1. 能量不随时间变化；能量不随时间变化；粒子处于定态的特点：粒子处于定态的特点：四四. . 量子力学算符量子力学算符(operator)(operator) 对应于经典力学中的每一个力学量，在量子力学中都可对应于经典力学中的每一个力学量，在量子力学中都可以用一个算符来表示。以用一个算符来表示。 1. 1. 动量算符动量算符所以，对应动量所以，对应动量 ，算符：，算符

23、：同理，对应动量同理，对应动量 ，算符：，算符： 对应动量对应动量 ，算符：，算符：由于，由于，所以，所以，算符：算符：2. 2. 能量算符能量算符因为，因为，所以，所以， 算符：算符：又因为，又因为，另外，另外，代表位置代表位置的算符为其本身：的算符为其本身： 与坐标有关的势能与坐标有关的势能V(rV(r) ) 的算符为其自身的算符为其自身 ：将将P P2 2，V V的算符代入上式，得，的算符代入上式，得， 经典力学中的哈密顿函数经典力学中的哈密顿函数 或者或者哈密顿算符（或能量算符）哈密顿算符（或能量算符）H H只包含空间变量，不包含时间，将其作用于只包含空间变量，不包含时间，将其作用于

24、，即有，即有定态薛定谔方程（本征值方程定态薛定谔方程（本征值方程 ） 其中其中E E为哈密顿算符的为哈密顿算符的本征值本征值( (eigenvalue) ，u u为与本征为与本征值相应的值相应的本征函数本征函数( (eigenfunction ) )。显然本征值就是测量能量时。显然本征值就是测量能量时的可能值。的可能值。 对于其它的力学量对于其它的力学量 （如动量、角动量），也可以列（如动量、角动量），也可以列出其本征值方程出其本征值方程 根据边界条件（根据边界条件（ boundary condition ）解这该本征方）解这该本征方程，即可求出本征值程，即可求出本征值 和相应的本征函数和相应

25、的本征函数 。3.5量子力学问题的几个简例量子力学问题的几个简例 1. 1. 问题：问题：在一维空间中运动在一维空间中运动的粒子，空间中势能满足的粒子，空间中势能满足一一. . 无限高势壁之间的一维运动无限高势壁之间的一维运动2. 2. 经典力学描述经典力学描述（V V的意义，相当于刚性壁）的意义，相当于刚性壁） 对于任意能量的粒子，由于是刚性壁，它都只能在对于任意能量的粒子，由于是刚性壁，它都只能在I I区中运动。区中运动。3. 3. 量子力学的描述量子力学的描述 因为势函数不随时间变化，因此这是一个定态问题，因为势函数不随时间变化，因此这是一个定态问题，可用定态薛定谔方程来求解。可用定态薛

26、定谔方程来求解。 一维运动的定态薛定谔方程为一维运动的定态薛定谔方程为即有，即有， 由于由于V(xV(x) )在不同区域内有不同的形式，因此必须分区求解在不同区域内有不同的形式，因此必须分区求解: : (1) (1) 解方程求波函数解方程求波函数区域区域I:I: (1)(1)式变为，式变为，设设所以，所以，或或(1)区域区域II:II: (1)(1)式变为，式变为，设设所以，所以，（即（即II区的波函数为零）区的波函数为零）当，当，当，当，不符合波函数的不符合波函数的有界条件，舍去有界条件，舍去所以，所以，（2 2）求能量本征值）求能量本征值根据波函数的连续性，在根据波函数的连续性，在处，处，

27、I和和II区的波函区的波函数必须连续，则有数必须连续，则有(3)+(4),(3)+(4),可得可得(3)-(4),(3)-(4),可得可得(3)(4)所以，有所以，有相邻能级间隔：相邻能级间隔：表明：表明：(1) n(1) n越大，能级间隔越大；越大，能级间隔越大； (2) m(2) m和和a a与与h h有相同的数量级时，能量的量有相同的数量级时，能量的量子化才显示出来。子化才显示出来。即即:（3 3）对应于本征值的本征函数）对应于本征值的本征函数根据前面的推导，区域根据前面的推导，区域IIII的波函数为零，区域的波函数为零，区域I I的波函数为：的波函数为：因为，因为，所以，所以，由波函数

28、的连续性，由波函数的连续性， I I区和区和IIII区的波函数应区的波函数应该相等该相等, , 即即（4 4）本征函数的归一化）本征函数的归一化根据归一化条件，根据归一化条件，有，有，将，将，代入上式，得代入上式，得由此算出，由此算出，所以，所以，I I区归一化的本征函数为：区归一化的本征函数为：（5 5）宇称）宇称偶函数（空间对称性为偶性，偶函数（空间对称性为偶性，称为具有偶宇称）称为具有偶宇称）注意：宇称不仅是函数的性质，也是函数所代表的物理状态注意：宇称不仅是函数的性质，也是函数所代表的物理状态（量子态）所具有的性质。（量子态）所具有的性质。若：波函数满足若：波函数满足奇函数（空间对称性

29、为奇性，奇函数（空间对称性为奇性，称为具有奇宇称）称为具有奇宇称）若：波函数满足若：波函数满足例：偶宇称奇宇称二二. . 简谐振子简谐振子 在稳定平衡态附近作微振动的任何体系，都可以作在稳定平衡态附近作微振动的任何体系，都可以作为线性谐振子来处理，其受力为为线性谐振子来处理，其受力为设平衡位置设平衡位置x=0x=0，并选取能量尺度的原点使，并选取能量尺度的原点使V V（0 0）=0=0，则，则势能：势能：（1 1）线性谐振子的薛定谔方程）线性谐振子的薛定谔方程哈密顿函数：哈密顿函数：哈密顿算符：哈密顿算符：定态薛定谔方程：定态薛定谔方程：即，即，（1）此式是一变系数此式是一变系数 二阶常微分方

30、程二阶常微分方程（1 1）式可改写为，）式可改写为，令令（2）（2 2）式可以简化为）式可以简化为（3）（2 2）本征函数与本征值）本征函数与本征值方程（方程（3 3）的解为）的解为其中，其中， 为厄米为厄米（HermiteHermite）多项式）多项式, ,表表3.13.1为了使函数为了使函数 满足有限性条件，必满足有限性条件，必须有须有于是最后得：于是最后得：基态能量：基态能量： E E0 0=(1/2)=(1/2) 00，称为称为零点能（零点能（zero-point energy ）。n=0n=1n=2（3 3）简谐振子能级及波函数图）简谐振子能级及波函数图当当n n为偶数式，波函数为偶

31、数式，波函数的宇称为偶性的宇称为偶性偶宇偶宇称；称；当当n n为奇数式，波函数为奇数式，波函数的宇称为奇性的宇称为奇性奇宇奇宇称；称；波函数与能级的交叉点波函数与能级的交叉点（节点）个数等于（节点）个数等于n n。 -3-2-10123E0 E1 E2 对于基态，其几率密度是：对于基态，其几率密度是： 0 0() = |u() = |u0 0()|()|2 2 = A = A0 02 2 exp- exp-2 2 分析分析: : (1)(1)在在= 0= 0处找到粒子的几率最处找到粒子的几率最大；大； ( 2)( 2)在在|1|1处，即在阱外处，即在阱外找到粒子的几率不为零，找到粒子的几率不为

32、零， * *与经典情况完全不同。与经典情况完全不同。 （4 4）几率密度）几率密度-1 0 10()n()n=2n=1n=0-11 -22-44|u10|2 二二. . 一维一维方势垒中粒子的运动方势垒中粒子的运动1. 1. 问题：问题：如右图所示，粒子在一维势如右图所示，粒子在一维势垒情况运动，空间中势能满足垒情况运动，空间中势能满足图图3.10 3.10 势垒势垒2. 2. 经典力学描述经典力学描述 当入射粒子的能量低于当入射粒子的能量低于V2时，粒子不进入势垒，将全部弹回。时，粒子不进入势垒，将全部弹回。3. 3. 量子力学的描述量子力学的描述 势函数不随时间变化势函数不随时间变化量子力

33、学的量子力学的定态问题定态问题 定态薛定谔方程：定态薛定谔方程： 即，即，在在I I区，区，方程变为，方程变为其解为：其解为：在在IIII区区，方程变为方程变为设其解为：设其解为：（第一项为入射，（第一项为入射，第二项为反射）第二项为反射）在在IIIIII区区，因此其解为因此其解为: :方程形式及解的形式与方程形式及解的形式与I I同，但由于没有反射，同，但由于没有反射，最后，根据波函数在点最后，根据波函数在点x1和和x2的连续条件及归一化条件，可以的连续条件及归一化条件，可以确定出各常数。确定出各常数。 下图给出了势垒中和势垒两侧区域的波函数：下图给出了势垒中和势垒两侧区域的波函数：表明：表

34、明：势垒厚度势垒厚度 a a= =x x2 2- -x x1 1 越大，通过的几率越小；越大，通过的几率越小； 势垒越高（即势垒越高（即V-E V-E 越大），粒子穿过势垒的几率也越小。越大），粒子穿过势垒的几率也越小。可以算出，粒子从可以算出，粒子从I I到到IIIIII的穿透几率为的穿透几率为经典力学：经典力学：在在I I中的粒子不可能进入中的粒子不可能进入IIII中，更不可能透过中，更不可能透过IIII而进入而进入IIIIII区。区。4. 4. 扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜(Scanning Tunneling Microscope (Scanning Tunneling Microsc

35、ope (STM)(STM) ) 19811981年年IBMIBM公公司司苏苏黎黎世世实实验验室室的的宾宾尼尼格格( (G.BinmngG.Binmng) )与与罗罗雷雷尔尔( (H.RohrerH.Rohrer) )发明了发明了STM (STM (获得了获得了19841984年的诺贝尔物理学奖年的诺贝尔物理学奖) )。 其其主主要要原原理理是是电电子子的的隧隧道道效效应应，即即当当把把一一个个呈呈现现尖尖状状的的探探针针和和一一块块平平板板形形的的样样品品互互相相靠靠近近时时（几几个个 ），它它们们的的表表面面电电子子云云就就可可能能发发生生重重叠叠。如如果果在在两两金金属属间间加加一一微微

36、小小的的电电压压V VT T，那那么么就就可可以观察到它们之间的电流以观察到它们之间的电流I IJ J（隧道电流）：（隧道电流）： A A为常数，为常数，S S为两金属间距离，为两金属间距离，为样品表面的平均势垒高度。为样品表面的平均势垒高度。如果如果S S以以1 1 为单位，则为单位，则A=1A=1，的量级为的量级为eVeV。因此，当因此，当S S变化变化1 1 时，时，J JT T呈数量级变化，十分灵敏。这样，当探针在样品上扫描时，呈数量级变化，十分灵敏。这样，当探针在样品上扫描时，表面上小到原子尺度的特征就显现为隧道电流的变化。依次，表面上小到原子尺度的特征就显现为隧道电流的变化。依次，

37、可分辨表面上分立的原子，揭示出表面上原子的台阶、平台和可分辨表面上分立的原子，揭示出表面上原子的台阶、平台和原子阵列。原子阵列。扫描隧道显微镜（扫描隧道显微镜（STMSTM）原理原理目前目前STMSTM已可以已可以直接给出表面的直接给出表面的三维图像，横向三维图像，横向的分辨率达的分辨率达1 1，纵向的分辨率达纵向的分辨率达0.010.01。不足之不足之处是只适用于导处是只适用于导体和半导体样品。体和半导体样品。碘原子在铂晶体上的吸附碘原子在铂晶体上的吸附硅表面的硅原子排列硅表面的硅原子排列砷化钾表面的砷原子排列砷化钾表面的砷原子排列扫描隧道显微镜图片（NIST)7nmx7nm,ofasing

38、lezigzagchainofCsatoms(red)ontheGaAs(110)surface(blue).扫描隧道显微镜图片（NIST)原子分子的搬运用扫描隧道显微镜的针尖将用扫描隧道显微镜的针尖将原子一个个地排列成汉字，原子一个个地排列成汉字，汉字的大小只有几个纳米。汉字的大小只有几个纳米。4848个个F Fe e原子形成原子形成“量子围栏量子围栏”，围栏中的电子形成驻波，围栏中的电子形成驻波. .原子分子的搬运3.6 3.6 量子力学对氢原子的描述量子力学对氢原子的描述一氢原子（类氢离子）的波函数一氢原子（类氢离子）的波函数 假定氢原子的原子核不动，假定氢原子的原子核不动，电子在原子核

39、的库仑场中运电子在原子核的库仑场中运动动, , 体系的势能体系的势能: :定态薛定谔方程为：定态薛定谔方程为： 采用极坐标，采用极坐标， 则，则，(1)因为因为, ,V(rV(r) )仅是仅是r r的函数的函数, ,与与, 无关，因此波函数无关，因此波函数u(r,u(r, , ) )可可以以表示为表示为将上式代入定态薛定谔方程（将上式代入定态薛定谔方程（2 2）, , 并两边同除以并两边同除以 可得可得, ,(4)上式左侧仅是变量上式左侧仅是变量r r的函数的函数, , 右侧仅是右侧仅是, 的函数的函数, , 要两侧要两侧相等相等, ,只能等于一个常数只能等于一个常数, ,令其为令其为, ,

40、则有则有所以，有所以，有即有，即有，(3)(5)(6)同理同理, (6), (6)式两侧也等于同一常数式两侧也等于同一常数, , 令其为令其为, ,则有则有(7)(8)分别求解（分别求解（5 5）, ,（7 7）, ,（8 8）, , 可得其解分别为：可得其解分别为：变形变形, ,可得可得是连带的勒让德函数是连带的勒让德函数 为拉盖尔函数，当为拉盖尔函数，当 时趋于零。时趋于零。二能量和角动量本征值二能量和角动量本征值1.1.能量本征值：能量本征值：由方程所满足的边界条件可得由方程所满足的边界条件可得为主量子数或称能量量子数。为主量子数或称能量量子数。对于给定的对于给定的 取取 个量子化值。个

41、量子化值。与玻尔理论与玻尔理论的结论完全的结论完全一致，但这一致，但这里没有量子里没有量子化假设。化假设。 对于给定的对于给定的 取取 个量子化值。个量子化值。因此，氢原子的的能级是简并的，简并度为因此，氢原子的的能级是简并的，简并度为所以，对于给定的所以，对于给定的n,n,氢原子有氢原子有f f个本征态个本征态与之对应。与之对应。2.角动量本征值角动量本征值（1 1）角动量平方算符）角动量平方算符极坐标（2 2）角动量平方算符的本征方程）角动量平方算符的本征方程将将L L2 2 的算符作用于本征函数的算符作用于本征函数 , ,可以得可以得所以，所以，的本征值为的本征值为 ，相应的本征函数为，

42、相应的本征函数为Y Ylmlm 。与玻尔理论比较：与玻尔理论比较：原子物理中通常用字母原子物理中通常用字母: : s, p, d, f, g, 代表其值。代表其值。角动量角动量L L的本征值为的本征值为对于给定的对于给定的n:区别：区别：在以后的讨论中我们将采用量子力学的结果：在以后的讨论中我们将采用量子力学的结果：（3 3）角动量）角动量z z分量的本征值分量的本征值为角动量为角动量z z分量的本征值，分量的本征值， 为相应的本征函数。为相应的本征函数。对于给定的对于给定的所以，对于给定的轨道角动量所以，对于给定的轨道角动量 , ,其在其在Z Z（或磁场）（或磁场）方向的分量有方向的分量有2

43、l+1个值，分别为个值，分别为与玻尔理论比较：与玻尔理论比较：对同一个对同一个 , ,有有 个个 的值。的值。ZLZ0例：例：三三.电子在本征态上的几率密度电子在本征态上的几率密度在任意体积在任意体积中发现一个粒子的几率为中发现一个粒子的几率为根据归一化条件：根据归一化条件：则有，则有，a)a)几率密度随几率密度随 的变化的变化b)b)几率密度随几率密度随 的变化的变化zy例：zyzy所以，不同的所以，不同的 有不同分布，见书有不同分布，见书110110页页但同一但同一l下的整体分布与下的整体分布与无关。无关。电子云演示电子云演示在不同的在不同的角，在单位体积中发角，在单位体积中发现电子的几率

44、相同现电子的几率相同( ( 同）同）c)c)几率密度随几率密度随r r的变化的变化 在半径在半径r 到到r+dr 的球壳内找到电子的几率的球壳内找到电子的几率单位体积中发现电子的几率随单位体积中发现电子的几率随r的分布。的分布。r1s2s3s4sr2p3p4p节点数节点数n-l-1波腹数波腹数n-l下图给出了几种情况时的电子的径向几率分布：下图给出了几种情况时的电子的径向几率分布：通常把节点数为零（通常把节点数为零（）的）的“态态”，称为圆轨道，例如：，称为圆轨道，例如：1s,2p,3d,，它们极大值的位置：它们极大值的位置：，其中，其中是第是第一玻尔轨道半径。一玻尔轨道半径。称称为最概然半径

45、。为最概然半径。小结：小结：氢原子中电子的稳定状态用一组量子数氢原子中电子的稳定状态用一组量子数n, l, m (ms)来描述来描述主量子数主量子数决定电子的能量。决定电子的能量。角量子数角量子数决定电子轨道角动量决定电子轨道角动量磁量子数磁量子数决定轨道角动决定轨道角动量量的空间取向，的空间取向，补充题：补充题：根据量子力学初步知识，写出根据量子力学初步知识，写出n=2n=2时，氢原子的定态能量、氢时，氢原子的定态能量、氢原子可能的轨道角动量原子可能的轨道角动量L L以及轨道角动量在外磁场方向的投影以及轨道角动量在外磁场方向的投影的各种可能值的各种可能值 L LZ Z ；若为类氢的若为类氢的

46、HeHe离子，结果又如何？离子，结果又如何？作业：P113，1，2，6，7，8德布罗意德布罗意 法法国国著著名名物物理理学学家家，18921892年年出出生生于于第第厄厄普普的的一一个个贵贵族族世世家家。在在中中学学时时期期，他他的的兴兴趣趣是是文文科科，在在2020岁岁时时志志趣趣转转向向自自然然科科学学，并用两年时间学习了自然科学的基础课程。并用两年时间学习了自然科学的基础课程。1920年年他他指指出出，一一切切物物质质都都具具有有粒粒子子和和波波的的两两重重性性，这这就就是是著著名名的的物物质质波波理理论论。这这个个大大胆胆的的创创造造性性假假设设轰轰动动了了整整个个学学术术界界，因因为

47、为按按照照经经典典物物理理的的观观念念，粒粒子子与与波波是是完完全全不不同同的的两两种种物物质质形形态态，根根本本不不可可能能融融合合在在一一起起，因因此此许许多多学学者者都都对对此此持持怀怀疑疑态态度度。但但爱爱因因斯斯坦坦对对此此却却十十分分赞赞赏赏，说说道道：“一一幅幅巨巨大大帷帷幕幕的的一一角角卷卷起起来来了了”。很很快快，在在1927年年由由实实验验证证实实了了德德布布罗罗意意的的物物质质波波的的真真实实性，德布罗意也因提出物质波理论而获得性，德布罗意也因提出物质波理论而获得1929年诺贝尔物理学奖。年诺贝尔物理学奖。德布罗意的治学原则是：广见闻、多浏览、勤实验。他认为德布罗意的治学

48、原则是：广见闻、多浏览、勤实验。他认为环境和出身不能决定一个人的志向，重要的是在学术上要善于独环境和出身不能决定一个人的志向，重要的是在学术上要善于独立思考，不迷信权威。立思考，不迷信权威。薛定谔薛定谔(ErwinSchrdinger,18871961)薛定谔在德布罗意思想的基础上，于薛定谔在德布罗意思想的基础上，于19261926年在年在量子化就是本征值问题量子化就是本征值问题的论的论文中，提出氢原子中电子所遵循的波动方文中，提出氢原子中电子所遵循的波动方程程( (薛定谔方程薛定谔方程) )，并建立了以薛定谔方程，并建立了以薛定谔方程为基础的波动力学和量子力学的近似方法。为基础的波动力学和量

49、子力学的近似方法。薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的地位，它与经典力学中的牛顿运动定律的地位，它与经典力学中的牛顿运动定律的价值相似。薛定谔对原子理论的发展贡献价值相似。薛定谔对原子理论的发展贡献卓著，因而于卓著，因而于19331933年同英国物理学家狄拉年同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖金。克共获诺贝尔物理奖金。 薛定谔还是现代分子生物学的奠薛定谔还是现代分子生物学的奠基人，基人，19441944年，他发表一本名为年，他发表一本名为什么是什么是生命生命 活细胞的物理面貌活细胞的物理面貌的书，从的书，从能量、遗传和信息方面来探讨生命的奥秘。能量、遗传和

50、信息方面来探讨生命的奥秘。奥地利著名的理论奥地利著名的理论物理学家，量子力物理学家，量子力学的重要奠基人之学的重要奠基人之一，同时在固体的一，同时在固体的比热、统计热力学、比热、统计热力学、原子光谱及镭的放原子光谱及镭的放射性等方面的研究射性等方面的研究都有很大成就。都有很大成就。海森堡（海森堡（Werner HeisenbergWerner Heisenberg 1901-19761901-1976） 19251925年年海海森森堡堡发发表表了了矩矩阵阵力力学学理理论论，认认为为人人不不能能够够确确定定某某时时刻刻电电子子在在空空间间的的位位置置，也也不不能能在在轨轨道道上上跟跟踪踪它它。波

51、波恩恩把把它它与与爱爱因因斯斯坦坦抛抛弃弃绝绝对对时时空空观观的的概概念念相相媲媲美美。19271927年年海海森森堡堡第第一一次次提提出出了了“不不确确定定关关系系”，指指出出在在同同一一时时刻刻以以相相同同的的精精度度测测定定粒粒子子的的位位置置与与动动量量是是不不可可能能的的，只只能能精精确确确确定定两两者者之之一一。由由于于海海森森堡堡的的重重大大贡贡献献，他他被被世世人人认认为为是是量量子子力力学学的的重重要要创创始始人人之之一一，而而“不不确确定定关关系系”也也成成为为量量子子力力学学基基本本原原理理之之一一，他他因因此此于于19321932年年荣荣获获诺诺贝贝尔尔物物理理学学奖奖。他他那那种种勇勇于于创创新新、大大胆胆思思维维的的科科学学精精神神很很值值得得后人学习。后人学习。 德国著名的现代物理学家。德国著名的现代物理学家。19241924年进年进入哥廷根大学深造，先后拜师于玻尔和波恩门入哥廷根大学深造，先后拜师于玻尔和波恩门下。特别是在与玻尔交往的三年中，他们经常下。特别是在与玻尔交往的三年中，他们经常通宵达旦地讨论问题，使他的学术水平显著提通宵达旦地讨论问题，使他的学术水平显著提高。高。谢谢谢谢大大家家