1第一章测量误差及其传播定律

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1、测测 量量 平平 差差主讲主讲 张书毕张书毕高等学校高等学校“十二五十二五”规划教材规划教材n课程考核方式课程考核方式: 课程编号：课程编号：0812220307EFSAn误差理论与测量平差基础误差理论与测量平差基础课程考核方式方案课程考核方式方案n总学时总学时 56 总学分总学分 3.5 课堂学时课堂学时 56 实验学时实验学时 0n一、课程过程考核方式、考核次数：一、课程过程考核方式、考核次数：n1在讲授完广义误差转播定律后，进行在讲授完广义误差转播定律后，进行1次小测验；次小测验；n2在讲授完最小二乘法和条件平差后，进行在讲授完最小二乘法和条件平差后，进行1次小测验；次小测验；n3在讲授

2、完间接平差和学习完在讲授完间接平差和学习完Matlab语言后，完成语言后，完成2次大作次大作业；业；n4在讲授所有规定内容后，最终考试在讲授所有规定内容后，最终考试1次。次。n二、课程结课方式：二、课程结课方式：n闭卷考核方式闭卷考核方式n三、课程成绩构成三、课程成绩构成（百分制或等级制，各项成绩比例分配）（百分制或等级制，各项成绩比例分配）n小测验小测验2次共占次共占20%，大作业，大作业2次占次占20%，期终考试占，期终考试占60%。n四、说明四、说明n适用测绘工程专业适用测绘工程专业水准网水准网导线网导线网？严密平差！严密平差！第一章第一章测量误差及其传播定律测量误差及其传播定律第一章测

3、量误差及其传播定律主讲人：张书毕E-mail: 本章主要内容本章主要内容4预备知识（偶然误差）41.1精度、准确度、精确度41.2衡量精度的标准*误差名称误差名称误差特点误差特点消除或削弱的办法消除或削弱的办法举例举例偶然误差偶然误差Random error单个误差没有规律性，整体具有统计规律，服从或近似服从正态分布采用测量平差的方法照准误差对中误差估读误差系统误差Systematic error误差在大小和符号上表现出系统性，或按一定规律变化，或为常数采用适当的观测方法校正仪器计算加改正尺长误差i角误差粗差Gross error即大的偏差或错误重复观测严格检核发现舍弃或重测大数读错输入错误照

4、错目标偶然误差偶然误差*(1) (1) (1) (1) 误差的分类误差的分类误差的分类误差的分类第一章第一章测量误差及其传播定律测量误差及其传播定律（2 2）偶然误差的特性）偶然误差的特性: :误差的误差的区间区间为负值为负值为正值为正值个数个数vi频率频率vi/n(vi/n)/d个数个数vi频率频率vi/n(vi/n)/d0.00-0.200.20-0.400.40-0.600.60-0.800.80-1.001.00-1.201.20-1.401.40-1.601.60以上以上4540332317136400.1260.1120.0920.0640.0470.0360.0170.01100

5、.6300.5600.4600.320.2350.1800.0850.05504641332116135200.1280.1150.0920.0590.0450.0360.0140.00600.6400.5750.4600.2950.2250.1800.0700.0300和和1810.5051770.4951.1.误差的绝对值有误差的绝对值有一定一定限值限值例例1-1.在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。3.3.绝对值相等的正绝对值相等的正负误差的个数负误差的个数相近相近2.2.绝对值绝对值较小较小的误的误差差比比绝对值绝

6、对值较大较大的的误差误差多多*7第一章第一章测量误差及其传播定律测量误差及其传播定律(vi /n)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差误差分布曲线用直方图表示:所有面积之和=v1/n+v2/n+.=11.横坐标表示误差的大小2.纵坐标采用单位区间频率除以曲线间隔面积= (vi /n)/d* d= vi /n=频率*第一章第一章测量误差及其传播定律测量误差及其传播定律（2 2）偶然误差的特性）偶然误差的特性: :例例1-2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。误差的误差的区间区间为负值为负值为正值为正值个数

7、个数vi频率频率vi/n(vi/n)/d个数个数vi频率频率vi/n(vi/n)/d0.00-0.200.20-0.400.40-0.600.60-0.800.80-1.001.00-1.201.20-1.401.40-1.601.60-1.801.80-2.002.00-2.202.20-2.402.40-2.602.60以上以上4034312520161497562100.0950.0810.0740.0590.0480.0380.0330.0210.0170.0120.0140.0050.00200.4750.4500.3700.2950.2400.1900.1650.1050.0850

8、.0600.0700.0250.010037362927181713108743200.0880.0850.0690.0640.0430.0400.0310.0240.0190.0170.0090.0070.00500.4400.4250.3450.3200.2150.2000.1550.1200.0950.0850.0450.0350.0250和和2100.4992110.5011.1.愈接近于零的误愈接近于零的误差区间，误差出现差区间，误差出现的频率愈大的频率愈大2.2.随着离零愈来愈随着离零愈来愈远，误差出现的频远，误差出现的频率递减率递减3.3.出现在正负误差出现在正负误差区间内的频率

9、基本区间内的频率基本相等相等9第一章第一章测量误差及其传播定律测量误差及其传播定律 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差0.630 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差0.475 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差 * 当当 偶偶 然然 误误 差差 的的 个个 数数 0000999 时时，偶偶然然误误差差出出现现的的频频率率就就趋趋于于稳稳定定。此此时时，若若把把偶偶然然误误差差区区间间的的间间隔隔无无限限缩缩小小，则则直直方方图图将将分分别别变变为为如如图图所所示示的的两两条条光滑的曲线，其是光滑的曲线，其是正态分布。

10、正态分布。第一章第一章测量误差及其传播定律测量误差及其传播定律 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差可见：左图误差分布曲线较高可见：左图误差分布曲线较高 且陡峭，精度高且陡峭，精度高 右图误差分布曲线较低右图误差分布曲线较低 且平缓，精度低且平缓，精度低第一章第一章测量误差及其传播定律测量误差及其传播定律 由概率论知，该曲线是正态分布正态分布的概率分布曲线。测量上通常将正态分布作为偶然误差的理论分布。其密度函数为： 式中： 和 为参数。*（2 2）

11、偶然误差的特性）偶然误差的特性: :*对正态随机变量 求数学期望和方差：下面来看参数下面来看参数 和和 是什么？是什么？第一章第一章测量误差及其传播定律测量误差及其传播定律方差*（2 2）偶然误差的特性）偶然误差的特性: :期望第一章第一章测量误差及其传播定律测量误差及其传播定律 由以上推导知，参数 和 分别是随机误差 的数数学学期期望望和方差方差。它们确定了正态分布曲线的形状。*随机误差 的数数学学期期望望等于零零，如观测量只含有偶然误差时，则观测量的期望等于其真值。（2 2）偶然误差的特性）偶然误差的特性: :第一章第一章测量误差及其传播定律测量误差及其传播定律 在在一一定定的的观观测测条

12、条件件下下, , 误误差差的的绝绝对对值值有有一一定定的的限限值值，或者说或者说, ,超出一定限值的误差超出一定限值的误差, ,其出现的概率为零。其出现的概率为零。 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大。绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大。 绝对值相等的正负误差出现的概率相同。绝对值相等的正负误差出现的概率相同。 偶然误差的数学期望为零。偶然误差的数学期望为零。有界性有界性有界性有界性聚中聚中性性性性抵偿性抵偿性抵偿性抵偿性对称性对称性对称性对称性*（2 2）偶然误差的特性）偶然误差的特性: :15第一章第一章测量误差及其传播定律测量误差及其传播定律(1) (1) (1)

13、 (1) 精度精度精度精度 精度是指误差分布的密集或离散的程度，是精度是指误差分布的密集或离散的程度，是观测值观测值与与数数学期望（均值）学期望（均值）接近的程度，表征观测结果接近的程度，表征观测结果偶然误差偶然误差大小的大小的程度程度。 一定的观测条件对应一种确定不变的误差分布。若观测一定的观测条件对应一种确定不变的误差分布。若观测条件条件较较好好，误差分布较密集，误差分布较密集，则其则其精度较高精度较高。 1.1 1.1 精度、准确度、精确度精度、准确度、精确度精度高精度高*16第一章第一章测量误差及其传播定律测量误差及其传播定律准确度是指随机变量准确度是指随机变量X X的的真值真值与其与

14、其数学期望（均值）数学期望（均值）之差。即：之差。即：(2) (2) (2) (2) 准确度准确度准确度准确度 准确度表明了观测值准确度表明了观测值的的数学期望值数学期望值与其与其真值真值接接近的程度，其数值指标为近的程度，其数值指标为偏差，表征了观测结果偏差，表征了观测结果系系系系统误差统误差统误差统误差大小的程度。大小的程度。若只含有偶然误差，则若只含有偶然误差，则1.1 1.1 精度、准确度、精确度精度、准确度、精确度准确度低准确度低,精度高精度高* 精确度是指精确度是指观测值观测值与其与其真值真值接近的程度，是接近的程度，是精度精度和和准准确度确度的合成，表征了偶然误差和系统误差对观测

15、结果联合的合成，表征了偶然误差和系统误差对观测结果联合影响大小的程度，即：影响大小的程度，即：(3) (3) 精确度精确度 1.1 1.1 精度、准确度、精确度精度、准确度、精确度均方误差*(3) (3) 精确度精确度 1.1 1.1 精度、准确度、精确度精度、准确度、精确度l均方误差反映了偶然误差、系统误差的联合影响。l 当观测值中只含有偶然误差时，均方误差就等于方差，此时精确度就是精度。精度低精度低准确度低准确度低精确度低精确度低*(4)(4)精度、准确度、精确度精度、准确度、精确度精度、准确度、精确度精度、准确度、精确度关系关系关系关系可见：精度高，不一定准确度也高！可见：精度高，不一定

16、准确度也高！图图(a) (a) 表示精度、精确度均高，而准确度高；表示精度、精确度均高，而准确度高；(a)(b)(c)图图(b) (b) 表示精度高，精确度低，而准确度低；表示精度高，精确度低，而准确度低；图图(c) (c) 表示精度、精确度均低，因而准确度低；表示精度、精确度均低，因而准确度低；*XE（X）精度、准确度、精确度数学期望观测值真值 在在测测量量平平差差中中，我我们们只只研研究究含含有有偶偶然然误误差差的的观观测测值值，常常用用误误差差分分布布表表、绘绘制制直直方方图图或或画画出出误误差差分分布布曲曲线线的的方方法法来比较。来比较。1.2 1.2 衡量精度的标准衡量精度的标准误差

17、的区误差的区间间为负值为负值为正值为正值频率频率频率频率0.00-0.200.20-0.400.40-0.600.60-0.800.1260.1120.0920.0640.1280.1150.0920.059和和0.5050.495*n可以用误差分布表、直方图、分布曲线方法比较麻烦麻烦如何衡量精度？ l能否只用一个数字表示 简单简单精度指标*精度指标：方差和中误差、平均误差、或然误差、极限误差、相对误差第一章第一章测量误差及其传播定律测量误差及其传播定律据随机变量X方差的定义：观测误差的方差为：(1) (1) (1) (1) 方差和中误差：方差和中误差：方差和中误差：方差和中误差：1.2 1.

18、2 衡量精度的标准衡量精度的标准*第一章第一章测量误差及其传播定律测量误差及其传播定律标准差为：实际工作中，n是有限的，则：方差的估值标准差的估值中误差(1) (1) (1) (1) 方差和中误差：方差和中误差：方差和中误差：方差和中误差：观测次数n无限多时，用标准差（标准差（均方差均方差均方差均方差） 表示：*第一章第一章测量误差及其传播定律测量误差及其传播定律方差的意义 f()0 0.4 0.6 0.8-0.8 -0.6 -0.4闭合差 面积为面积为1 由正态分布知，正态分布曲线具有两个拐点，这两个拐点在横轴上的坐标为 方差的几何意义是：方差是正态分布曲线的拐点横坐标横坐标。提提示示： 越

19、越小小，误误差差曲曲线线越越陡陡峭峭，误误差差分分布布越越密密集集，精精度度越越高高。相反，精度越低。相反，精度越低。*第一章第一章测量误差及其传播定律测量误差及其传播定律平均误差：平均误差：在一定的观测条件下，一组独立偶然误差绝对值的数学期望。1.2 1.2 衡量精度的标准衡量精度的标准(3) (3) (3) (3) 平均误差与平均误差与平均误差与平均误差与或然误差或然误差或然误差或然误差27第一章第一章测量误差及其传播定律测量误差及其传播定律1.2 1.2 衡量精度的标准衡量精度的标准(3) (3) (3) (3) 平均误差与平均误差与平均误差与平均误差与或然误差或然误差或然误差或然误差第

20、一章第一章测量误差及其传播定律测量误差及其传播定律平均误差、或然误差与中误差的关系 当n不大时，中误差比平均误差更能灵敏地反映大的真误差的影响，同时，在计算或然误差时往往是先算出中误差，因此，通常都是采用中误差作为精度指标。1.2 1.2 衡量精度的标准衡量精度的标准 当观测次数有限时，只能求得误差的估值，*第一章第一章测量误差及其传播定律测量误差及其传播定律 所谓极限误差就是在一定观测条件下偶然误差出现的最大值。通常取由正态分布的概率计算知： 1.2 1.2 衡量精度的标准衡量精度的标准(4)(4)极限误差极限误差*第一章第一章测量误差及其传播定律测量误差及其传播定律1.2 1.2 衡量精度

21、的标准衡量精度的标准思考：思考：例例1-3分别丈量100m和500m两段距离，它们的中误差均为2cm。如何衡量两组观测值的精度？ 中误差与观测值之比，称为中误差与观测值之比，称为相对中误差相对中误差，一般用，一般用1/M1/M表示。表示。(5) (5) 相对误差相对误差精度高精度高*第一章第一章测量误差及其传播定律测量误差及其传播定律l方差、中误差、平均误差、或然误差、极限误差都是衡量方差、中误差、平均误差、或然误差、极限误差都是衡量精度的精度的绝对指标绝对指标； l实际上，实际上，n有限，只能求出他们的有限，只能求出他们的估值估值；l中误差比平均误差和或然误差能中误差比平均误差和或然误差能更

22、灵敏更灵敏地反映误差的影响；地反映误差的影响；l国际和我国通常采用国际和我国通常采用中误差中误差作为精度指标。作为精度指标。*1.2 1.2 衡量精度的标准衡量精度的标准第一章第一章测量误差及其传播定律测量误差及其传播定律本节总结本节总结*例题例题n例例1-1：为了鉴定经纬仪的精度，对已知精确测定的水平角= 450000，作12次观测，结果为： 450006 445955 445958 450004 450003 450004 450000 445958 445959 445959 450006 450003 设没有误差，试求观测值的中误差、平均误差和或然误差。*第一章第一章测量误差及其传播定

23、律测量误差及其传播定律编号编号123456789101112+6-5-2+4+3+40-2-1-1+6+3236254169160411369157分析分析解：解：中误差平均误差或然误差*35第一章第一章测量误差及其传播定律测量误差及其传播定律 概念 误差传播定律：阐述观测值的中误差与观测值函数误差传播定律：阐述观测值的中误差与观测值函数中误差的关系的定律。中误差的关系的定律。 函数形式倍数函数和差函数线性函数一般函数1.3 1.3 误差传播定律（测量学基础误差传播定律（测量学基础- -复习）复习）36第一章第一章测量误差及其传播定律测量误差及其传播定律一、一、 线性函数的误差传播定律线性函数

24、的误差传播定律设线性函数为：式中 为独立的直接观测值， 为常数， 相应的 观测值的中误差为 。 37第一章第一章测量误差及其传播定律测量误差及其传播定律设非线性函数的一般式为：式中： 为独立观测值； 为独立观测值的中误差。 求函数的全微分，并用“”替代“d”，得二、二、二、二、 一般函数一般函数一般函数一般函数38第一章第一章测量误差及其传播定律测量误差及其传播定律式中： 是函数F对 的偏导数，当函数式与观测值确定后，它们均为常数，因此上式是线性函数，其中误差为：误差传播定律的一般形式误差传播定律的一般形式39第一章第一章测量误差及其传播定律测量误差及其传播定律例2已知：测量斜边D=50.00

25、0.05m，测得倾角=15000030求：水平距离D的中误差解：1.函数式 2.全微分 3.求中误差 40第一章第一章测量误差及其传播定律测量误差及其传播定律 1.列出观测值函数的表达式： 2.对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式： 式中， 是用观测值代入求得的值。 求观测值函数中误差的步骤：三、三、 运用误差传播定律的步骤运用误差传播定律的步骤41第一章第一章测量误差及其传播定律测量误差及其传播定律 3、根据误差传播率计算观测值函数中误差： 注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观 测值必须是独立观测值。 42第一章第一章测量误差及其传播定律测量误差及其传播定律 误差传

26、播定的几个主要公式：函数名称函数名称函数式函数式函数的中误差函数的中误差倍数函数倍数函数和差函数和差函数线性函数线性函数一般函数一般函数返回43第一章第一章测量误差及其传播定律测量误差及其传播定律讨论：n1.观测值不是独立、相关怎么办？n2.多个函数组成的向量如何转播？求边的坐标方位角求边的坐标方位角和点坐标和精度指标？44第一章第一章测量误差及其传播定律测量误差及其传播定律例例3(3(课后作业课后作业) ) 对该对该ABCABC， 等精度等精度独立观测了三个内角独立观测了三个内角A A、B B，其值分别为：，其值分别为：A=6421064A=6421064，B=7035404B=7035404，C=4503024C=4503024；求分配闭合差后求分配闭合差后C C及其中误差。及其中误差。ABC45个人观点供参考，欢迎讨论个人观点供参考，欢迎讨论部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！