四节无穷小与无穷大四节无穷小与无穷大 一、无穷小 三、无穷小与无穷大的关系定理定理2 2 在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中, ,无穷大的倒无穷大的倒数为无穷小数为无穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .证证 意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可转化为关于无穷小都可转化为关于无穷小的讨论的讨论. 第五节 极限运算法则极限运算法则一、极限运算法则一、极限运算法则二、例题二、例题 1 1、无穷小的运算性质、无穷小的运算性质: :定理定理1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是有限个无穷小的代数和仍是无穷小无穷小.证证一、极限运算法则一、极限运算法则 注意注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. . 定理定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证 推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小都是无穷小推论推论3可推广到任意个无穷小的乘积的情形。
可推广到任意个无穷小的乘积的情形 定理定理3证证由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得2.极限的四则运算 推论推论1 1常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.推论推论2 2有界，有界， 意义：意义：3.3.复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 二、例题二、例题例例1 1解解 小结小结: : 解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例2 2 解解例例3 3(消去零因子法消去零因子法) 例例4 4解解(无穷小因子分出法无穷小因子分出法) 小结小结: :无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限. 例例5 5解解先变形再求极限先变形再求极限. 例例6 6解解左右极限存在且相等左右极限存在且相等, 例例7 7解解 思考题思考题 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限， 无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么？什么？ 思考题解答思考题解答没有极限．没有极限．假设假设 有极限，有极限，有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知：必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误．故假设错误． 结束语结束语谢谢大家聆听！！！谢谢大家聆听！！！31 。