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1、二二 数列的前数列的前n n项和的项和的求法与应用举例求法与应用举例yyyy年年M月月d日星期日星期1 1 数列的前数列的前n n项和的求法项和的求法( (一一) )公式法：公式法：即直接利用等差数列与等比数列的前即直接利用等差数列与等比数列的前n n项和公项和公式进行求和。式进行求和。 注意：注意： ( (加法结合律加法结合律) ) 例例1 (1)1 (1)求和：求和： (2) (2)求和：求和：v (1)(1)求和：求和：分析：分析： (1)(1)中每一项是两项的差，被减数依次构成等差中每一项是两项的差，被减数依次构成等差数列，减数依次构成等比数列数列，减数依次构成等比数列解：解：(1)(
2、1)原式原式v(2)(2)求和：求和： 分析：分析：(2)(2)中每一项不是两项和中每一项不是两项和( (或差或差) )的形式，这怎么求和呢的形式，这怎么求和呢? ?能能不能把每一项不能把每一项( (即通项即通项) )变换形式，变换形式，“拆一下拆一下”呢呢? ?解：解：通项通项原式原式2 2 数列前数列前n n项和的求法项和的求法( (二二) )倒序相加法：倒序相加法： 先求先求等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式 利用了倒序相利用了倒序相加法在公式的推导过程中，利用了等差数列的一个重加法在公式的推导过程中，利用了等差数列的一个重要性质，即要性质，即 例例2 2 求分母为求分母为3
3、 3，包含在正整数，包含在正整数2 0042 004与与2 0082 008之之间的所有不可约分数的和间的所有不可约分数的和解：满足题意的数构成以下数列：解：满足题意的数构成以下数列： 共共8 8项，它既非等差也非等比数列但与首末两端等距项，它既非等差也非等比数列但与首末两端等距离的项的和都是离的项的和都是(2 004+2 008)(2 004+2 008)，所以可以用等差数列，所以可以用等差数列的求和方法的求和方法倒序相加法设和为倒序相加法设和为S S，则，则3 3 数列前数列前n n项和的求法项和的求法( (三三) )裂项相消法裂项相消法 在求非等差、非等比数列的前在求非等差、非等比数列的
4、前n n项和时，将每一项项和时，将每一项( (即通项即通项) )拆成若干项，在做加法时，中间的项拆成若干项，在做加法时，中间的项“全部全部抵消抵消”，只剩下首、末的有限项，从而得到和，只剩下首、末的有限项，从而得到和( (此法此法叫做裂项相消法叫做裂项相消法) ) 例例3 3 求和：求和：分析：分析： 利用裂项法，使得裂项后有诸多项能相互抵消利用裂项法，使得裂项后有诸多项能相互抵消 解：解： (1) (1)原式原式解：解：原式原式 例例4 4 已知各项不为零的等差数列已知各项不为零的等差数列 an n ，求证：，求证： 证明：证明： 左边左边得证得证4 4 数列前数列前n n项的求法项的求法(
5、 (四四) )错位相减法错位相减法错位相减法适用于求数列错位相减法适用于求数列 an nbn n 的前的前n n项和，其中项和，其中 an n 是是等差数列，等差数列， bn n 是等比数列是等比数列例例5 求和求和解：当解：当a=1时，时，当当a1时，在上式两边同乘以时，在上式两边同乘以 得得 与与 两式相减，两式相减，得得即即综上得综上得应应 用用 举举 例例 例例6 由甲地发往乙地的一列火车，沿途停靠由甲地发往乙地的一列火车，沿途停靠n个站个站(包括起点站和终点站包括起点站和终点站)，车上有一节邮政车厢，每停，车上有一节邮政车厢，每停靠一站要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时靠一站要
6、卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时再装上该站发往后面各站的邮袋一个，设从第再装上该站发往后面各站的邮袋一个，设从第k站出发站出发时，邮政车厢内共有邮袋时，邮政车厢内共有邮袋ak个个(k=1，2，n)试求：试求： (1)数列数列ak的通项公式；的通项公式； (2)k为何值时，为何值时，ak最大最大?求出求出ak的最大值的最大值 v解：解：(1)由题意第由题意第l站应装上邮袋站应装上邮袋(n-l)个，卸下邮袋个，卸下邮袋0个；个；第第2站应装上邮袋站应装上邮袋(n-2)个，卸下邮袋个，卸下邮袋l个个第第k站应装站应装上邮袋上邮袋(n-k)个，卸下邮袋个，卸下邮袋(k-1)个因此从第个因此从第l
7、站到第站到第k站，装上的邮袋总数为站，装上的邮袋总数为 而卸下的邮袋总数为而卸下的邮袋总数为 若若n为偶数；当为偶数；当 时，时，ak的最大值为的最大值为 若若n为奇数为奇数,当当 或或 时时, ak的最大值为的最大值为评析：评析： 建立数列模型时，应明确是等差数列模型还是等比建立数列模型时，应明确是等差数列模型还是等比模型，还是递推数列模型模型，还是递推数列模型?是求是求an还是求还是求Sn，n是多少是多少?小小 结结非等差非等差( (比比) )的特殊数列求和，其规律性很强的特殊数列求和，其规律性很强: : (1)(1)设法转化为等差数列或等比数列，这一思考方设法转化为等差数列或等比数列，这一思考方法往往通过通项分解法或错位相减法来完成；法往往通过通项分解法或错位相减法来完成； (2)(2)不能转化为等差不能转化为等差( (比比) )的特殊数列，往往通过裂的特殊数列，往往通过裂项相消法求和；项相消法求和； (3)(3)错位相减法和倒序相加法是课本中推导等比错位相减法和倒序相加法是课本中推导等比( (差差) )数列前数列前n n项和用到的方法，学习时应予以重视项和用到的方法，学习时应予以重视. .我我们采取什么方法求和，关键是观察通项公式的特征，们采取什么方法求和，关键是观察通项公式的特征，根据通项公式的形式决定求和方法根据通项公式的形式决定求和方法
