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1、第七章 高阶线性微分方程1.一一. .二阶线性微分方程举例二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例例. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻设时刻 t 物位移为 x(t).(1) 自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比, 方向相反.建立位移满足的微分方程.机动目录上页下页返回结束阻力2.据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:(2) 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外力则得强迫振动方程:机动目录上页下页返回结束3.n n 阶线性
2、微分方程阶线性微分方程的一般形式为为二阶线性微分方程. 具有如下形式的方程:时, 称为非齐次方程 ; 时, 称为齐次方程.复习复习: 一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y机动目录上页下页返回结束4.二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证证:代入方程左边, 得(叠加原理) 机动目录上页下页返回结束5.说明说明: :不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解 并不是通解但是则为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 机动目录上页下页返回结束6.是定义在区间 I 上的 n 个函数,
3、使得则称这 n个函数在 I 上线性相关线性相关, 否则称为线性无关线性无关.例如， 在( , )上都有故它们在任何区间 I 上都线性相关线性相关;又如，若在某区间 I 上则根据二次多项式至多只有两个零点 ,必需全为 0 ,可见在任何区间 I 上都 线性无关线性无关.若存在不全为不全为 0 的常数机动目录上页下页返回结束7.线性无关判别法：在区间I上线性无关8.两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件充要条件: :线性相关存在不全为 0 的使( 无妨设线性无关常数线性无关9.例如例如, 方程有特解且常数, 故方程的通解为是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解, 则方程的通解为是二阶线
4、性齐次方程的两个线 性无关特解, 则数) 是该方程的通解.结论：10.三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程的一个特解, X (t) 是相应齐次方程的通解, 则是非齐次方程的通解 . 这是因为这是因为 ：代入方程, 得复习目录上页下页返回结束11.例如例如, 方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为机动目录上页下页返回结束12.分别是方程的特解,是方程的特解. (非齐次方程解的叠加原理) 上述均可推广到 n 阶线性非齐次方程. 机动目录上页下页返回结束13.常数, 则该方程的通解是 ( ).设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解, 是任意例例. .提示提
5、示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法可证)(89 考研考研 )机动目录上页下页返回结束14.例例. . 已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解 .解解:是对应齐次方程的解, 且常数因而线性无关, 故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三 机动目录上页下页返回结束15.四四. .二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程:代入得称为微分方程的特征方程特征方程,令方程的解为 其根称为特征根特征根.机动目录上页下页返回结束16.例例.的通解.解解: 特征方程特征根:因此原方程的通解为1. 当时, 特征方程有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为则微分1
6、7.2. 当时, 特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解( u (t) 待定)代入方程得:是特征方程的重根取 u = t , 则得因此原方程的通解为机动目录上页下页返回结束18.例例. 求解初值问题解解: 特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为机动目录上页下页返回结束19.3. 当时, 特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解: 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为机动目录上页下页返回结束20.例例. .解解: 特征方程:特征根为则方程通解 :机动目录上页下页返回结束21.二阶常系数齐次线性微分方程:称为微分方程的特征
7、方程特征方程, 1.当特征方程有两个相异实根方程的通解为其根称为特征根特征根.2.当特征方程有两个相等实根方程的通解为3.当 特征方程有一对共轭复根方程的通解为22.若特征方程含 k 重复根若特征方程含 k 重实根 , 则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项特征方程: 推广推广: :机动目录上页下页返回结束23.例例.解解: 特征方程:特征根 :原方程通解:(不难看出, 原方程有特解推广目录上页下页返回结束24.例例. .解解: 特征方程:特征根为则方程通解 :机动目录上页下页返回结束25.例例.的通解. 解解: 特征方程特征根:因此原方程通解为26.五五.二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常
8、系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 F(t) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法待定系数法机动目录上页下页返回结束27.1 1、 为实数 ,设特解为其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 (1) 若 不是特征方程的根, 则取从而得到特解形式为为 m 次多项式 .Z(x) 为 m 次待定系数多项式机动目录上页下页返回结束28.(2) 若是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为(3) 若 是特征方程的重根 , 是 m 次多项式,故特解形式为推广：推广：对n阶方程,即即当 是
9、特征方程的 k 重根 时, 可设特解机动目录上页下页返回结束29.例例. .的一个特解.解解: 不是特征方程为的根 .设所求特解为代入方程 :比较系数, 得于是所求特解为机动目录上页下页返回结束30.例例. . 的通解. 解解: 本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数, 得因此特解为代入方程得所求通解为机动目录上页下页返回结束31.例例. . 求解定解问题解解: 本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得机动目录上页下页返回结束32.于是所求解为解得机动目录上页下页返回结束33.（为实数 ,为 m 次多项式） 1.
10、若 不是特征方程的根, 特解形式为2.若是特征方程的单根 , 特解形式为3.若 是特征方程的重根 , 特解形式为推广：推广： 对n阶方程, 当 是特征方程的 k 重根 时, 可设特解34. 为复数 ,为 m 次多项式） 对n阶方程,当 是特征方程的 k 重复根时,特解35.第一步第一步 利用欧拉公式机动目录上页下页返回结束2、36. 第二步第二步 问题转化为问题转化为求如下两方程的特解 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 故等式两边取共轭 :为方程 的特解 .设则 有特解:机动目录上页下页返回结束37.第三步第三步 求原方程的特解 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解
11、 :原方程 均为 m 次多项式 .机动目录上页下页返回结束38. 均为 m 次多项式 .机动目录上页下页返回结束是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 设则 39.例例. . 的一个特解 .解解: 本题 特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数 , 得于是求得一个特解机动目录上页下页返回结束40.例例. . 的通解. 解解: 特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数, 得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根 ,因此设非齐次方程特解为机动目录上页下页返回结束41.例例. .解解: (1) 特征方程有二重根而恰好=0，=1，所以设非齐次方程特解为设下列高阶常系
12、数线性非齐次方程的特解形式:机动目录上页下页返回结束42.解解: 特征方程有根于是设原非齐次方程特解为机动目录上页下页返回结束对于，=0，设方程特解为对于，=1，设方程特解为对于，=0，=1，设方程特解为43.机动目录上页下页返回结束六六.欧拉方程欧拉方程 常系数线性微分方程44.欧拉方程的解法欧拉方程的解法: : 则机动目录上页下页返回结束欧拉方程转化为常系数线性方程:45.例例. . 解解:则原方程化为根对应的齐次方程的通解为特征方程机动目录上页下页返回结束46.通解为换回原变量, 得原方程通解为设特解:代入确定系数, 得机动目录上页下页返回结束47.例例. .解解: 将方程化为(欧拉方程
13、) 则方程化为特征根:设特解:代入 解得 A = 1,所求通解为 机动目录上页下页返回结束48.例例. .解解: 等号两边对x求导，得定解问题则方程化为特征根: 设特解: 代入得 A1 机动目录上页下页返回结束49.得通解为利用初始条件得故所求特解为机动目录上页下页返回结束50.思考思考: : 如何解下述微分方程提示提示: 原方程直接令 第11节目录上页下页返回结束51.二阶常系数齐次线性微分方程:称为微分方程的特征方程特征方程, 1.当特征方程有两个相异实根方程的通解为其根称为特征根特征根.2.当特征方程有两个相等实根方程的通解为3.当 特征方程有一对共轭复根方程的通解为复习：52.（为实数
14、 ,为 m 次多项式） 1.若 不是特征方程的根, 特解形式为2.若是特征方程的单根 , 特解形式为3.若 是特征方程的重根 , 特解形式为推广：推广： 对n阶方程, 当 是特征方程的 k 重根 时, 可设特解53. 均为 m 次多项式 .机动目录上页下页返回结束是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 设则 54.例例. .解解: 位移x(t)满足质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始求物体的运动规律 立坐标系如图, 设 t = 0 时物体的位置为取其平衡位置为原点建 因此定解问题为自由振动方程 , 机动目录上页下页返回结束55.据牛顿第二定律得则得
15、有阻尼自由振动方程:(2) 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外力则得强迫振动方程:机动目录上页下页返回结束56.方程:特征方程:特征根:利用初始条件得:故所求特解:方程通解:1) 1) 无阻尼自由振动情况无阻尼自由振动情况 ( ( n = 0 ) )机动目录上页下页返回结束57.解的特征解的特征: :简谐振动 A: 振幅, : 初相,周期: 固有频率 机动目录上页下页返回结束(仅由系统特性确定)58.方程:特征方程:特征根:小阻尼: n k临界阻尼: n = k 机动目录上页下页返回结束59.( n k ) 大阻尼解的特征大阻尼解的特征: : 1) 无振荡现象; 2) 对任何初始条件
16、即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.机动目录上页下页返回结束61.( n = k ) 临界阻尼解的特征临界阻尼解的特征 : : 任意常数由初始条件定, 最多只与 t 轴交于一点; 即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.2) 无振荡现象 ;机动目录上页下页返回结束62.求物体的运动规律. 解解: 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程 当p k 时, 齐次通解: 非齐次特解形式:因此原方程之解为若设物体只受弹性恢复力 f 和铅直干扰力代入可得: 机动目录上页下页返回结束63.当干扰力的角频率 p 固有频率 k 时,自由振动强迫振动 当 p = k 时, 非齐次特解形式:代入可得: 方程的解为 机动目录上页下页返回结束64.若要利用共振现象, 应使 p 与 k 尽量靠近, 或使 随着 t 的增大 , 强迫振动的振幅这时产生共振现象 .可无限增大,若要避免共振现象, 应使 p 远离固有频率 k ;p = k .自由振动强迫振动对机械来说, 共振可能引起破坏作用, 如桥梁被破坏,电机机座被破坏等, 但对电磁振荡来说, 共振可能起有利作用, 如收音机的调频放大即是利用共振原理. 机动目录上页下页返回结束65.
