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1、第二第二节节 三三维维晶格的振晶格的振动动 本节主要内容本节主要内容: : 3.2.1 3.2.1 色散关系色散关系 3.2.2 3.2.2 波矢波矢q的取值和范围的取值和范围 模型模型 运动方程运动方程 试探解试探解 一维问题的处理步骤一维问题的处理步骤: 22n-2 2n-1 2n+1 2n+2 m n M a .Mx2n? ? ? ?x2n? ? 1? ? x2n? ? 1? ? 2 x2n? ?mx2n? ? 1? ? ? ?x2n? ? 2? ? x2n? ? 2 x2n? ? 1? ? ? i? ? ?t ? ? ?2 n ? ? 1? ?aq? ?.色散关系色散关系 x2 n ?
2、 ? 1? ? A ex2n波矢波矢q范围范围 B-K条件条件 2? ? Be? ? i? ? ?t? ? 2naq? ? ? ? ?(m? ? M)? ?m2? ? M2? ? 2mMcos 2aqmM? ? ? q ? ?2a2a波矢波矢q取值取值 x2n? ? x2(n? ? N )晶格振动的波矢数目晶格振动的波矢数目 = =晶体的原胞数晶体的原胞数N， 格波振动频率数目格波振动频率数目= =晶体的自由度数，晶体的自由度数， 格波的支数格波的支数= =原胞内原子的自由度数。原胞内原子的自由度数。 一维单原子链，设晶体有 N个原胞。 原胞内原子的自由度数原胞内原子的自由度数=1 晶体的自由
3、度数晶体的自由度数=N 1支格波支格波 频率数为频率数为N 一维双原子链，设晶体有 N个原胞。 原胞内原子的自由度数原胞内原子的自由度数=2 晶体的自由度数晶体的自由度数=2N 2支格波支格波 频率数为频率数为2N 3.2 三维晶格的振动 3.2.1 色散关系 1.模型 设三维无限大的晶体设三维无限大的晶体,每个原胞中有每个原胞中有n个原子，各原子的质个原子，各原子的质量分别为量分别为 m1,m2,m3,? ? ? ?,mn;原胞中这原胞中这n个原子平衡时的相对个原子平衡时的相对位矢分别为位矢分别为 r1,r2,r3,? ? ? ? ,rn。 Rl的原胞内第的原胞内第s个原子的个原子的Rl?
4、? rs表示平衡时顶点位矢为表示平衡时顶点位矢为 位矢；位矢； l? ? ? ?u? ? ? ? ?表示顶点位矢为表示顶点位矢为 的原胞内的原胞内Rl? ?s? ?第第s个原子离开平衡位置在个原子离开平衡位置在? ?方向的位移。方向的位移。 rsRl(2)运动方程和解运动方程和解 ? ?l? ?msu? ? ? ?s? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.(? ?=1,2,3 ；s=1,2,3, ,n) (? ?=3,s=n)共有共有3n个方程个方程 在简谐近似下，上式的右端是位移的线性代数式。，上式的右端是位移的线性代数式。 试探解：试探解： l? ? ? ?u? ? ? ? ? ? ?
5、s? ?2? ? ?seA? ? ? i? ?t? ?Rl? ? rs.q? ? ? ? ? Ae? ? i? ? ?t ? ? R.q? ? ?sl? ? ms? ?As? ? ? ? ? ? ?可得到可得到3n 个线性齐次方程。个线性齐次方程。 As? ?有非零解有非零解,必须其系数行列式为零必须其系数行列式为零 ? ?0时时, 在在3n个实根中，其中有个实根中，其中有3个当波矢个当波矢q 3n个个? ?的实根的实根 ? ?Ai? ? vAi(q)q,(i ? ? 1,2,3)这3支格波称为声学支格波。 其余的其余的(3n-3)支格波的频率比声学波的最高频率还要高称支格波的频率比声学波的最
6、高频率还要高称之为之为光学支格波。 3.2.2 波矢q的取值和范围 设晶体有设晶体有N个原胞个原胞,原胞的基矢为：原胞的基矢为： a1,a2,a3;沿基矢方向各有沿基矢方向各有N1、N2、N3个原胞个原胞, N ? ? N1N2N3Rl? ? N1a1? ? (l1? ? N1)a1? ? l2a2? ? l3a3Rl? ? N2a2a2Rla1Rl? ? N1a1Rl? ? N2a2? ? l1a1? ? (l2? ? N2)a2? ? l3a3根据玻恩根据玻恩-卡门周期性条件：卡门周期性条件： ? ?l1,l2,l3? ? ?l1? ? N1,l2l3? ?l? ? ? ?u? ? ? ?
7、 ? ? ? u? ? ? ? u? ? ? ? ?s? ?s? ? ? ? ?s? ? ?l1,l2,l3? ? ?l1,l2? ? N2,l3? ?l? ? ? ?u? ? ? ? ? ? ? u? ? ? ? u? ? ? ? ?s? ?s? ? ?s? ? ? ? ?l1,l2,l3? ? N3? ? ?l1,l2,l3? ?l? ? ? ?u? ? ? ? ? ? ? u? ? ? ? u? ? ? ? ?s? ?s? ? ?s? ? ? ? ?l? ? ? i? ? ?t ? ? Rl.q? ? ? ?u? ? ? ? ?A? ?e? ?s? ?Rl? ? N2a2? ? ?e?
8、? e? ?i? ? ?t? ?R ? ? q? ?N a ? ? q? ? ?i(? ?t? ?R ? ? q)e? ? e? ?i(? ?t? ?Rl? ? q)l? ?i? ?t? ?Rl? ? q? ?N1a1? ? ql22a2Rla1Rl? ? N1a1e? ?i(? ?t? ?Rl? ? q)? ? ? e? ?i? ?t? ?Rl? ? q? ?N3a3? ? q? ?N1a1? ?q? ? 2? ?1N2a2? ?q? ? 2? ?2N3a3? ?q? ? 2? ?3a1? ?q ? ? ?1N12 a2? ?q ? ? ?2N22( (? ?1、? ?2、? ?3为整数为整
9、数) ) a3? ?q ? ? ?3N32q具有倒格矢的量纲，得出具有倒格矢的量纲，得出: 波矢波矢 q ? ? ?1b1b2b3? ? ?2? ? ?3N1N2N3(b1、 b2、 b3为倒格基矢为倒格基矢 )b1b2b3、三维格波的波矢不是连续的而是分立的，其中三维格波的波矢不是连续的而是分立的，其中 N、1N2N3为波矢的基矢，波矢的点阵亦具有周期性。为波矢的基矢，波矢的点阵亦具有周期性。 每个波矢代表点占有的体积为：每个波矢代表点占有的体积为： ? ?33? ?bb1? ?b(2)(2)? ? ?2? ?3? ? ? ? ? ?NN1? ?NNN V23c? ? ?b2N2b1N1正格
10、子原胞体积正格子原胞体积 晶体体积晶体体积 (二维图示二维图示) 波矢密度波矢密度：波矢空间中单位体积的波矢数目。 Vc1? ?3( 2 )( 2 )3Vc每个波矢代表点占有的体积为：每个波矢代表点占有的体积为： (2)Vcq? ? ? q? ? Kh? ?l? ? ? i? ? ?t ? ? Rl.( q? ? Kh)? ? ? ? ? ?u? ?( q )? ? ? ? A? ?se? ?s? ?3? ? ? A? ?se? ?i? ?t? ? Rl.ql? ? ? ? u (q)? ? ? ? ? ? ?s? ? ? ? ? 将将 q的取值限制在一个倒格子原胞范围内，此区间称为的取值限制
11、在一个倒格子原胞范围内，此区间称为简简约布里渊区约布里渊区。 VcN 波矢可取的数目：波矢可取的数目： ? ?(2)3? ?(2)3? ? N? ? ?3支声学波支声学波 ? ?A(q)q(3n-3)支光学波支光学波 ? ?O(q)晶格振动频率数目晶格振动频率数目: N? ?3? ? N? ?(3n? ? 3)? ? 3nN设晶体有设晶体有N个原胞个原胞,每个原胞有每个原胞有n个原子个原子, 晶格振动的波矢数目晶格振动的波矢数目 = =晶体的原胞数晶体的原胞数N， 格波振动频率数目格波振动频率数目= =晶体的自由度数晶体的自由度数mNn， 晶体中格波的支数晶体中格波的支数= =原胞内原子的自由
12、度数原胞内原子的自由度数mn。 m支声学波，支声学波，m(n-1)支光学波，这里支光学波，这里m是晶体的维数，是晶体的维数，n是原胞中原子的数目。是原胞中原子的数目。 例例2：金刚石结构有几支格波：金刚石结构有几支格波?几支声学波几支声学波?几支光学波几支光学波?设晶设晶体有体有N个原胞，晶格振动模式数为多少个原胞，晶格振动模式数为多少? 答答: 晶格振动的波矢数目晶格振动的波矢数目 = =晶体的原胞数晶体的原胞数N， 格波振动频率数目格波振动频率数目= =晶体的自由度数晶体的自由度数mNn， 晶体中格波的支数晶体中格波的支数= =原胞内原子的自由度数原胞内原子的自由度数mn。 金刚石结构为复式格子金刚石结构为复式格子, 每个原胞有每个原胞有2个原子。个原子。 m? ? 3,n? ? 2,有有6支格波，支格波，3支声学波，支声学波，3支光学波。支光学波。 振动模式数为振动模式数为6N。
