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1、 第二章 物理图形、图象与计算机模拟物理图形、图象与计算机模拟 2.1简谐振动及其合成曲线模拟简谐振动及其合成曲线模拟2.2阻尼运动和阻尼振动的模拟阻尼运动和阻尼振动的模拟2.3驻波的模拟驻波的模拟2.5波的干涉和衍射图形模拟波的干涉和衍射图形模拟2.4点电荷与点电荷系的等势线和电场模拟点电荷与点电荷系的等势线和电场模拟12.1简谐振动及其合成曲线模拟简谐振动及其合成曲线模拟一、简谐振动的一、简谐振动的 曲线和曲线和 曲线曲线例例1：画出：画出曲线及对应的曲线及对应的曲线，其中曲线，其中2Implicitreal*8(a-h,o-z)open(1,file=)open(2,file=)writ
2、e(*,*)inputA,w,phi,Nread(*,*)A,w,phi,Ndo10I=1,Nt=2.*pi/wt=t*float(I)/Nx=A*cos(w*t+phi)v=A*w*cos(w*t+phi+pi/2.)write(1,*)t,x10 write(2,*)t,vend计算程序算程序3图形模形模拟Origin简介简介4二、简谐振动的合成二、简谐振动的合成1.同方向简谐振动的合成同方向简谐振动的合成 同频率情况同频率情况 其中其中 5例例2：试给出两个同方向同频率简谐振动的合成程序：试给出两个同方向同频率简谐振动的合成程序open(1,file=x1.dat)open(2,file
3、=x2.dat)open(3,file=)write(*,*)inputA1,A2,w,phi1,phi2=?read(*,*)A1,A2,w,phi1,phi2do10I=1,1000t=2.*pi/wt=t*float(I)/1000x1=A1*cos(w*t+phi1)x2=A2*cos(w*t+phi2)x=x1+x2write(1,*)t,x1write(2,*)t,x210write(3,*)t,xend 6图形模形模拟两个同方向同频率简谐振动的合成两个同方向同频率简谐振动的合成 7EX2-1:编程完成例编程完成例2。两个同方向同频率简谐振动的合成两个同方向同频率简谐振动的合成 8
4、 不同频率情况不同频率情况 若若 ，会出现，会出现拍的现象拍的现象。 合振动不再是简谐振动，利用合振动不再是简谐振动，利用旋转矢量法旋转矢量法可以求得合振动的振幅为可以求得合振动的振幅为v 中间经历的时间中间经历的时间 称为周期，显然称为周期，显然 ， 频率：频率：v 振幅在振幅在 和和 间周期性地变化，属振动调制。间周期性地变化，属振动调制。 合振动振幅从一次极大到相邻的另一次极大。合振动振幅从一次极大到相邻的另一次极大。9假设两个分振动振幅都为假设两个分振动振幅都为，圆频率，圆频率相差较小，取它们的初相位相差较小，取它们的初相位此时合成运动的位移可写成：此时合成运动的位移可写成： 变化主要
5、取决于变化主要取决于，振幅按变化，振幅按变化。都是零，则可以分别表示为：都是零，则可以分别表示为：其中其中。由于圆频率由于圆频率 远大于圆频率远大于圆频率 ，10图形模形模拟两个同方向频率近似的简谐振动的合成两个同方向频率近似的简谐振动的合成 112.两个相互垂直方向简谐振动的合成两个相互垂直方向简谐振动的合成若若 ，则有合振动方程：，则有合振动方程： （一、三象限直线方程一、三象限直线方程） （二、四象限直线方程二、四象限直线方程） （椭圆方程椭圆方程） 12质点轨迹曲线质点轨迹曲线n下图所示为两个频率相同、振幅相等、相互垂直而相位差下图所示为两个频率相同、振幅相等、相互垂直而相位差两个频率
6、相同、振幅相等、相互垂直简谐振动的合成两个频率相同、振幅相等、相互垂直简谐振动的合成 为为 下的质点轨迹曲线。下的质点轨迹曲线。13若若 ，但但满满足一定整数倍数比关系足一定整数倍数比关系时时，则则会会 下图所示为两个频率不同（满足下图所示为两个频率不同（满足 ）、振幅相等、）、振幅相等、 利萨如图形示意图利萨如图形示意图 出现出现利萨如图形利萨如图形：相互垂直而相位差为相互垂直而相位差为0，下的质点轨迹曲线。下的质点轨迹曲线。142.2阻尼运动和阻尼振动的模拟阻尼运动和阻尼振动的模拟一、一、阻尼情况下物体运动的阻尼情况下物体运动的 曲线曲线例例3：质量为：质量为的摩托快艇以速度的摩托快艇以速
7、度行驶，它受到的摩擦阻力行驶，它受到的摩擦阻力与速度成正比，设比例系数为与速度成正比，设比例系数为，则，则，试求关，试求关闭发动机后，对闭发动机后，对的变化规律。的变化规律。（取（取解解：物理分析与数学模型：物理分析与数学模型可用函数作图法可用函数作图法 方法方法1:15n方法方法2：用用 （差商法）（差商法） 函数近似值作图法函数近似值作图法 16open(1,file=)write(*,*)inputa,v0,t=?read(*,*)a,v0,tv1=v0t0=0.v10=v0write(1,*)t0,v0,v10dt=t/1000.do10j=1,1000tt=t*float(j)/10
8、00.v=v0*exp(-1.)*a*tt)v1=v1-a*v1*dt10write(1,*)tt,v,v1end模模拟程序程序17二、二、阻尼振动阻尼振动n问题问题：弹簧振子阻尼振动的方程为：弹簧振子阻尼振动的方程为n 阻尼因子阻尼因子n 弹簧振子的角频率弹簧振子的角频率试用函数近似法作出位移与时间的函数变化曲线。试用函数近似法作出位移与时间的函数变化曲线。18问题分析问题分析:n解：将解：将二阶二阶微分方程微分方程化为一阶化为一阶微分方程微分方程即即而而 19实例说明：实例说明：n例例4 4：画出当：画出当 ， ， 时，时， ， ， ， 秒下的秒下的 曲线。曲线。计算程序：计算程序：ope
9、n(1,file=)open(2,file=) write(*,*)inputB,w0,x0,v0,t=?read(*,*)B,w0,v0,x0,tdt=t/1000.v=v0x=x0write(1,*)tt0,v0write(2,*)tt0,x0do10j=1,1000tt=float(j)*dtf=-2.*B*v-w0*2*xv=v+f*dtx=x+v*dtwrite(1,*)tt,v10write(2,*)tt,x end20阻尼振动曲线示意图阻尼振动曲线示意图 图形模形模拟21不同阻尼情况振动曲线示意图不同阻尼情况振动曲线示意图 图形模形模拟22EX2-2:编程完成例编程完成例3。EX
10、2-3:一石子从空中静止下落，已知一石子从空中静止下落，已知式中式中为常数，试绘制石子下落的为常数，试绘制石子下落的曲线。其中曲线。其中。作作业232.3驻波的模拟驻波的模拟 定义：定义：两列振幅、振两列振幅、振动动方向和方向和频频率都相同而率都相同而传传播方向相播方向相 反的两列同反的两列同类类波相干叠加形成波相干叠加形成驻驻波波。 设有两列设有两列振动方向相同、振幅相同、频率相同振动方向相同、振幅相同、频率相同的平面余弦波，的平面余弦波，按叠加原理，合成的驻波的波函数为按叠加原理，合成的驻波的波函数为: : 轴的正、负方向传播。轴的正、负方向传播。分别沿分别沿24n在在值满足下式的各点，值
11、满足下式的各点，振幅为零振幅为零驻波波节处驻波波节处相邻两波节的距离为相邻两波节的距离为半波长半波长，即：，即：讨论讨论:p 因子因子是时间是时间 的余弦函数，说明形成驻波后，的余弦函数，说明形成驻波后，各各质点都在作同频率的谐振动质点都在作同频率的谐振动。p 另一因子另一因子是坐标的余弦函数，说明是坐标的余弦函数，说明各质点各质点的振幅按余弦函数规律分布的振幅按余弦函数规律分布。 25在在值满足下式的各点，值满足下式的各点，振幅最大振幅最大驻波驻波波腹波腹处处相邻两波腹间的距离也为相邻两波腹间的距离也为半波长半波长，即：，即： l l波节处波节处的质点振动的的质点振动的振幅为零振幅为零，始终
12、处于静止；，始终处于静止； l l波腹处波腹处的质点振动的的质点振动的振幅最大振幅最大，等于，等于。 l l其他各处质点振动的振幅则在零与最大之间。其他各处质点振动的振幅则在零与最大之间。 l l两两相邻波节相邻波节或两或两相邻波腹相邻波腹之间之间相距半波长相距半波长。 l l波腹和相邻波节波腹和相邻波节间的间的距离为距离为 ，波腹和波节交替作等距离排列。，波腹和波节交替作等距离排列。 特征特征: :讨论讨论:26驻波模拟程序流图驻波模拟程序流图27implicitreal*8(a-h,o-z)open(1,file=)open(2,file=zhubo1.dat)open(3,file=zh
13、ubo2.dat)write(*,*)inputA,x,wavelengthread(*,*)A,x,waT=2.*pitime=0.5*Tdx=x/1000do10I=1,1000x=dx*float(i)y1=A*cos(2*pi)*(time/T-x/wa)y2=A*cos(2*pi)*(time/T+x/wa)y=2*A*cos(2*pi*x/wa)*cos(2*pi*time/T)write(1,*)x,ywrite(2,*)x,y110write(3,*)x,y2end模模拟程序程序28图形模形模拟， 2930每每一一时时刻刻，驻驻波波都都有有一一定定的的波波形形，此此波波形形既既
14、不不向向右右移移，也也不不向向左左移移，各各点点以以各各自自确确定定的的振振幅幅在在各各自自的的平平衡衡位位置置附附近近振动，没有振动状态或相位的传播，因而称为振动，没有振动状态或相位的传播，因而称为驻波驻波。又沿相反方向同时通过平衡位置。又沿相反方向同时通过平衡位置。 在驻波进行过程中，在驻波进行过程中，没有振动状态（相位）和波形的定没有振动状态（相位）和波形的定向传播，可以证明也无能量的定向传播向传播，可以证明也无能量的定向传播，这也是，这也是行波和行波和驻波的重要区别驻波的重要区别所在。所在。 将相邻两波节之间的各点称为一段，将相邻两波节之间的各点称为一段，每一段各点每一段各点 具具有相
15、同的符号有相同的符号，而，而相邻的两端符号总是相反的相邻的两端符号总是相反的，这说明在驻，这说明在驻波中波中同一段上各质点的振动相位相同同一段上各质点的振动相位相同，而，而相邻两段中的各点相邻两段中的各点振动相位相反振动相位相反。l 同一段内各点沿相同方向同时达到各自振动位移的最大值，同一段内各点沿相同方向同时达到各自振动位移的最大值，又沿相同方向同时通过平衡位置；又沿相同方向同时通过平衡位置；l 波节两侧各点同时沿相反方向达到振动位移的正、负最大值，波节两侧各点同时沿相反方向达到振动位移的正、负最大值，31 当当波在自由端反射时，则无相位突变波在自由端反射时，则无相位突变，形成驻波时，在，形
16、成驻波时，在 半波损半波损失失 在弦线上进行的驻波实验，在弦线上进行的驻波实验，反射点反射点处弦线是固定不动的，处弦线是固定不动的， 这一点这一点只能是波节只能是波节。这说明。这说明反射波和入射波的相位在反射反射波和入射波的相位在反射点正好相反点正好相反，即入射波在反射点反射时相位有，即入射波在反射点反射时相位有 的突变。的突变。 根据相位差根据相位差 与波程差的关系（与波程差的关系（ ），相位差为），相位差为 说，说，反射波和入射波之间存在着半个波长的波程差反射波和入射波之间存在着半个波长的波程差，这种，这种相位突变相位突变 称为称为半波损失半波损失。就相当于半个波长的波程差，这说明对固定端
17、的反射点来就相当于半个波长的波程差，这说明对固定端的反射点来自由端出现波腹自由端出现波腹。32EX2-4:一沿一沿方向传播的入射波的波函数为方向传播的入射波的波函数为在在处发生反射，反射点为一节点。处发生反射，反射点为一节点。求（求（1）反射波的波函数及在）反射波的波函数及在时的图形。时的图形。（2）合成波（驻波）的波函数及在）合成波（驻波）的波函数及在 时的图形。时的图形。作作业332.4点电荷与点电荷系的等势线和电场模拟点电荷与点电荷系的等势线和电场模拟一、一、等势线方程等势线方程要求要求：作出满足等势线方程：作出满足等势线方程 的等势线。的等势线。例例5：一个点电荷：一个点电荷在在处产生
18、的电势处产生的电势等势线方程为：等势线方程为：即即圆心在圆心在，半径为，半径为的圆。的圆。 由上式可得：由上式可得：画图时可采用参数方程：画图时可采用参数方程： 34例例6：两个点电荷的电势分布。：两个点电荷的电势分布。等势线方程为：等势线方程为：35二、隐函数曲线的绘制（二、隐函数曲线的绘制（ ）（这里引入参数（这里引入参数）n指定指定 (如如 )，计算计算出出 和和 ，由上式，由上式可得可得 和和 。 n若点若点 处电势为处电势为 ，则，则 处的电势也为处的电势也为 。36编程步骤编程步骤:把上述点把上述点 连起来，就是连起来，就是 的等势线。的等势线。输入输入给定给定 （或（或）Step
19、1:求求的根的根令令如取如取Step2:37三、三、 等势线作图步骤等势线作图步骤n1 1关于关于 轴对称。轴对称。2.对于给定的对于给定的其等势线的出发点选在其等势线的出发点选在 轴上，轴上，即由即由给出给出 由由点出发。点出发。38作图步骤作图步骤:n3.而而同样有：同样有：因此有：因此有：取：39解解：令：令则有：则有：例例7：(异号异号)，画出画出时的等势线。时的等势线。(忽略忽略)注意若求得初若求得初值值有多个，需有多个，需对对每一个初每一个初值进值进行迭代行迭代计算才会保证曲线的完整性。计算才会保证曲线的完整性。 40open(1,file=a1.dat)write(*,*)inp
20、utq1,q2,x1,x2=?read(*,*)q1,q2,x1,x2x=x*write(1,*)x,ydt=do10j=1,100r1=(x-x1)*2+y*2r1=sqrt(r1)r2=(x-x2)*2+y*2r2=sqrt(r2)dx=y*(q1*r2*3+q2*r1*3)*dtx=x+dxdy=(-1.)*(q1*(x-x1)*r2*3+q2*(x-x2)*r1*3)*dty=y+dy10write(1,*)x,yend模模拟程序程序41图形模形模拟 , （异号异号） 两个点电荷电势等势线示意图两个点电荷电势等势线示意图 （同号同号）42q1=1,q2=1, x1=-2, x2=2 q
21、1=-1,q2=-1, x1=-2, x2=2同号情况同号情况43q1=-1, q2=1, x1=-2, x2=2 q1=1, q2=-1, x1=-2, x2=2异号情况异号情况44四、点四、点电荷系荷系电场线的的图像模像模拟单个点电荷的电场：单个点电荷的电场：点电荷系的电场：点电荷系的电场：例例8：如图所示，：如图所示，A、B、C三个点电荷组成一个点电荷系，其中三个点电荷组成一个点电荷系，其中A(0,0)点点带电为带电为，B(0,1)点带电亦为点带电亦为，最后，最后C(0,-1)点带电点带电，试模拟，试模拟平面内电场线分布。平面内电场线分布。 45点电荷系在某点产生的电场强度等于各点电荷单
22、点电荷系在某点产生的电场强度等于各点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和，这称为独在该点产生的电场强度的矢量和，这称为电场电场强度叠加原理强度叠加原理。所以，在所以，在XOY平面内电场强度为：平面内电场强度为：电场线上每一点的切线方向反映了该点的场强方向，有：电场线上每一点的切线方向反映了该点的场强方向，有：解上述方程可得：解上述方程可得： 46此超越方程（等值线）即为这个点电荷系的电场线方程，此超越方程（等值线）即为这个点电荷系的电场线方程，点电荷系的电场线模拟点电荷系的电场线模拟常数常数C选取不同的值对应不同的电场线。选取不同的值对应不同的电场线。(C=0.13,间隔）间隔）47例例9：电
23、偶极振子电场的模拟：电偶极振子电场的模拟设电偶极子的电偶极矩为：设电偶极子的电偶极矩为：在球坐标系下，任意时刻在球坐标系下，任意时刻t空间任意处空间任意处r的辐射电场为：的辐射电场为：辐射的电场线满足方程辐射的电场线满足方程:48解上述方程即可得电场线满足的方程：解上述方程即可得电场线满足的方程：当当C 取不同值时可得到不同的辐射电场线。取不同值时可得到不同的辐射电场线。 电偶极子辐射电场线模拟电偶极子辐射电场线模拟 49五、带电粒子在电磁场中的运动五、带电粒子在电磁场中的运动 在均匀磁场中带电粒子受洛伦茨力的作用在均匀磁场中带电粒子受洛伦茨力的作用 时：时： 50粒子回转周期与频率分别为：粒
24、子回转周期与频率分别为： 当粒子速度与磁场夹角为当粒子速度与磁场夹角为 时：时：带电粒子作带电粒子作螺旋运动螺旋运动：51其轨迹为一圆柱螺旋线，参数方程为：其轨迹为一圆柱螺旋线，参数方程为：其中其中 为角速度，为角速度， h为螺距螺距。 52均匀磁场中带电粒子运动轨迹模拟均匀磁场中带电粒子运动轨迹模拟 53设原子核的电量为设原子核的电量为 ，位置坐标为，位置坐标为 ，其质量远大于，其质量远大于 其中：其中：在直角坐标系下：在直角坐标系下：粒子的质量粒子的质量m。粒子的电量为粒子的电量为2e，其位置用，其位置用表示，表示，则则 粒子受斥力为：粒子受斥力为： 六、六、 粒子散射实验粒子散射实验54
25、对应的加速度对应的加速度a：粒子速度为：粒子速度为：所以所以 粒子坐标为：粒子坐标为：55散射粒子运动轨迹模拟散射粒子运动轨迹模拟 粒子由粒子由位置入射，位置入射，选选取不同的取不同的 对应不同的粒子轨迹对应不同的粒子轨迹562.5波的干涉和衍射图形模拟波的干涉和衍射图形模拟一、一、波的干涉波的干涉图图形模形模拟拟 物理分析物理分析（在均匀介质中传播）：（在均匀介质中传播）：n波源波源： n 点点： 这里这里 57点的合振动：点的合振动： 其中其中 (隐函数等函数等值线方程方程)若若则有则有设有两列相干波，如果初相相等，则干涉条件可简化为用设有两列相干波，如果初相相等，则干涉条件可简化为用波程
26、差波程差 来表示，即当满足：来表示，即当满足：处的空间各点，合振幅最大，这时合振幅处的空间各点，合振幅最大，这时合振幅 ，强度加强；强度加强；58当满足：当满足： 处的空间各点，合振幅最小，这时合振幅处的空间各点，合振幅最小，这时合振幅当波程差界于上述两者之间，则合振幅也处于上述两者当波程差界于上述两者之间，则合振幅也处于上述两者波的干涉图象波的干涉图象(两波源相距为两波源相距为4m,=1.5m，)(隐函数等函数等值线方程方程)大小之间。大小之间。强度减弱；强度减弱；59二、等厚干涉（二、等厚干涉（牛顿环牛顿环） 如下图所示：如下图所示：d表示入射点处膜的厚度表示入射点处膜的厚度,当垂直入射的
27、单当垂直入射的单色平行光透过平凸透镜色平行光透过平凸透镜B后后,在空气层的上、下表面发生在空气层的上、下表面发生反射形成两束向上的相干光反射形成两束向上的相干光。这两束相干光在平凸透镜。这两束相干光在平凸透镜下表面相遇而发生干涉。下表面相遇而发生干涉。等厚干涉实验及牛顿环干涉图样等厚干涉实验及牛顿环干涉图样 60两束相干光的光程差为：两束相干光的光程差为：其中：其中： 两束相干光的相位差为：两束相干光的相位差为： 牛顿环干涉光强分布为：牛顿环干涉光强分布为： 直角坐标系中直角坐标系中 半波损失半波损失61模拟牛顿环干涉图样光强分布模拟牛顿环干涉图样光强分布 62明纹位置：明纹位置： 暗纹位置：
28、暗纹位置： 讨论：讨论：(1)测透镜球面的半径测透镜球面的半径R：已知：已知 ，测，测m、rk+m、rk，可得，可得R(2)测波长测波长：已知：已知R，测出，测出m、rk+m、rk，可得，可得(3)检测透镜的曲率半径误差及其表面平整度。检测透镜的曲率半径误差及其表面平整度。(4)透射图样与反射图样互补。透射图样与反射图样互补。63三、三、波的波的衍射衍射图图形模形模拟拟 均匀光源的夫琅禾费多缝衍射，其衍射场强度分布为：均匀光源的夫琅禾费多缝衍射，其衍射场强度分布为： 式中式中 ， ，其中，其中 是狭缝宽度，是狭缝宽度， 是光栅常数，是光栅常数， 是是参数的选择是任意的，但必须服从参数的选择是任
29、意的，但必须服从物理规律物理规律： 缝宽缝宽 必须大于波长必须大于波长 ；光栅常数光栅常数 与与 同数量级；同数量级； 衍射角，衍射角， 是入射波长，是入射波长， 是狭缝的有效数目。是狭缝的有效数目。64单缝衍射单缝衍射 显然当衍射角显然当衍射角 时，时， ，在衍射屏上某一点在衍射屏上某一点 处的强度为处的强度为单缝衍射强度分布曲线单缝衍射强度分布曲线 其中其中 ， 为为 点合振动的振幅。点合振动的振幅。此时此时 ，光强最大，光强最大， 为中央明纹中心处强度。为中央明纹中心处强度。65单缝衍射图样模拟单缝衍射图样模拟66讨论讨论: 当当 时，时， ，n由此得由此得 ，解得：，解得：次极大的光强
30、比中央明纹中心的强度小得多，且随次极大次极大的光强比中央明纹中心的强度小得多，且随次极大，此时为暗纹条件。在相邻暗纹之间，有一次极大，此时为暗纹条件。在相邻暗纹之间，有一次极大，出现次极大条件为：出现次极大条件为：的增加很快减少。的增加很快减少。n 由上式可知，由上式可知，67孔径孔径为R衍射屏衍射屏相相对光光强曲曲线f实验衍射屏放置在实验衍射屏放置在XOY平面上，在屏上平面上，在屏上O点有一点有一半径为半径为R的圆孔，一束平行于的圆孔，一束平行于Z轴的光线垂直照射圆孔，轴的光线垂直照射圆孔，在透镜后方的焦平面上可得衍射图样。在透镜后方的焦平面上可得衍射图样。四、圆孔的夫琅禾费衍射四、圆孔的夫
31、琅禾费衍射68圆孔衍射光强公式为：圆孔衍射光强公式为： 其中其中 是一阶贝塞尔函数是一阶贝塞尔函数 最后利用矩阵存储空间各点的光强大小，再将该矩阵最后利用矩阵存储空间各点的光强大小，再将该矩阵映射成灰度图：映射成灰度图：69圆孔的夫琅禾费衍射模拟圆孔的夫琅禾费衍射模拟 70五、矩形孔的夫琅禾费衍射五、矩形孔的夫琅禾费衍射 实验衍射屏放置在实验衍射屏放置在XOY平面上，在屏上平面上，在屏上O点有一边长为点有一边长为a、b的矩形孔，一束平行于的矩形孔，一束平行于Z轴的光线垂直照射，在透镜轴的光线垂直照射，在透镜后方的焦平面后方的焦平面L上可得衍射图样。上可得衍射图样。其中：其中：a、b为矩形孔的长
32、和宽，为矩形孔的长和宽，、为二维衍射角，为二维衍射角，矩形孔衍射光强公式为矩形孔衍射光强公式为: 对于直角坐标系有对于直角坐标系有 71矩形孔的夫琅禾费衍射光强分布矩形孔的夫琅禾费衍射光强分布 72矩形孔的夫琅禾费衍射矩形孔的夫琅禾费衍射73作作业EX2-5：编程完成例编程完成例7的图形模拟。的图形模拟。EX2-6:编程完成波的干涉图形模拟。编程完成波的干涉图形模拟。EX2-7:有一块的有一块的光栅，狭缝宽度光栅，狭缝宽度mm，光栅常数光栅常数mm，入射波，入射波，试给，试给出衍射角出衍射角在在范围内的光强范围内的光强随随的分布的分布图形。图形。j74EX2-7：图形模拟：图形模拟:讨论讨论：
33、在某一确定衍射角下，光强随入射频率的变化。：在某一确定衍射角下，光强随入射频率的变化。75本章小本章小结简谐振动及其合成曲线模拟简谐振动及其合成曲线模拟模拟程序模拟程序（同方向、垂直方向合成）（同方向、垂直方向合成）图形模拟图形模拟阻尼运动和阻尼振动的模拟阻尼运动和阻尼振动的模拟 差商法差商法（微分方程数值解：高阶降为一阶）（微分方程数值解：高阶降为一阶）程序程序和图形模拟和图形模拟驻波的模拟驻波的模拟模拟模拟、特征分析、半波损失、特征分析、半波损失隐函数曲线模拟隐函数曲线模拟隐函数曲线编程隐函数曲线编程步骤步骤点电荷系等势线、波的干涉图形等编程及曲线模拟点电荷系等势线、波的干涉图形等编程及曲线模拟76
