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1、无锡市辅仁高级中学无锡市辅仁高级中学 根据功的计算根据功的计算,我们定义了平面向量的数量积我们定义了平面向量的数量积. W= |F| |S| cos 类似地类似地, ,我们可以定义空间向量的数量积运算我们可以定义空间向量的数量积运算: : 这种运算非常有用这种运算非常有用, ,它能解决有关它能解决有关垂直垂直、长度长度和和角度角度等问题等问题. .一、问题情境一、问题情境1 1、两个向量的夹角、两个向量的夹角: :O OA AB B（1 1）两个向量的夹角的取值范围是）两个向量的夹角的取值范围是: :（2 2）（3 3）（4 4）二、知识建构二、知识建构 2 2、两个向量的数量积、两个向量的数
2、量积（1 1）两）两个个向量的数量积是数量，而不是向量向量的数量积是数量，而不是向量. .（2 2）规定）规定: :零向量与任意向量的数量积等于零零向量与任意向量的数量积等于零.注意：注意： 性质（性质（性质（性质（1 11 1）是证明两向量垂直的依据；）是证明两向量垂直的依据；）是证明两向量垂直的依据；）是证明两向量垂直的依据；性质性质性质性质（22）是求向量的长度（模）的依据；是求向量的长度（模）的依据；是求向量的长度（模）的依据；是求向量的长度（模）的依据； 性质（性质（性质（性质（3 33 3）是求向量的夹角的依据）是求向量的夹角的依据）是求向量的夹角的依据）是求向量的夹角的依据 3
3、3、空间两个向量的数量积性质、空间两个向量的数量积性质（3 3）空间两个非零向量的夹角满足：）空间两个非零向量的夹角满足： 、空间向量的数量积满足的运算律、空间向量的数量积满足的运算律思考：思考：吗？吗？(2)对于向量对于向量 ， 成立吗？成立吗？.212121zzyyxx+问题问题2模长公式模长公式问题问题1 平面向量的数量积可以用坐标表示，空间平面向量的数量积可以用坐标表示，空间向量的数量积能用坐标表示吗？怎样表示呢？向量的数量积能用坐标表示吗？怎样表示呢？问题问题3向量垂直充要条向量垂直充要条件的坐标表示件的坐标表示问题问题4 例例1 1、已知空间向量已知空间向量 满足满足试求试求: :
4、变式变式 向量向量求求:三、数学应用三、数学应用 例例2 2、空间四边形空间四边形ABCDABCD中中, ,每条边和对角线的长度每条边和对角线的长度都为都为1,M1,M、N N分别是分别是ABAB、ADAD的中点，计算：的中点，计算：MNMNDCDC 变式变式1 1 空间四边形空间四边形OABCOABC中中, ,且且OA=OB=OCOA=OB=OC，M M、N N分别是分别是OAOA、BCBC的中点，的中点，G G是是MNMN的中的中点，求点，求 变式变式 已知：在空间四边形已知：在空间四边形OABCOABC中，中，OABCOABC，OBACOBAC，求证：，求证：OCABOCABA AB B
5、C CO O例例3、 已知已知m,n是平面是平面 内的两条相交直线，内的两条相交直线，直线直线 l 满足：满足：lm，ln，求证：，求证：l .gmn lnlgm 证明：证明：在在 内作不与内作不与m、n重合的任一条直线重合的任一条直线g, ,在在l、m、n、g上取非零向量上取非零向量l、m、n、g，因，因m与与n相交，得向量相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理可知，不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（存在唯一的有序实数对（x，y），使：），使： g =x m+y n, l g = x l m+y l n ， l m = 0, l n = 0， l g =0 . l g ，
6、lg 这就证明了直线这就证明了直线l垂直于平面垂直于平面 内的任一条直线，内的任一条直线，所以所以l 解：解：由，可知由，可知. .由由 ，知，知 . .例、例、如图，已知线段在平面如图，已知线段在平面 内，线段内，线段 ， ， ，如果如果 ，求、之间的距离，求、之间的距离AC 例例5 5已知在平行六面体中，已知在平行六面体中，, , ,求对角线的长求对角线的长解：解：例例6已知、，求：已知、，求：（1）线段的中点坐标和长度；）线段的中点坐标和长度；解：解：设是的中点，则设是的中点，则点的坐标是点的坐标是.例例6已知、，求：已知、，求：（3）设）设O为坐标原点，求为坐标原点，求 的面积的面积（
7、2）到两点距离相等的点的）到两点距离相等的点的坐标满足的条件坐标满足的条件解：解：点到的距离相等，则点到的距离相等，则化简整理，得化简整理，得即到两点距离相等的点的坐标满即到两点距离相等的点的坐标满足的条件是足的条件是解解：设正方体的棱长为：设正方体的棱长为1 1，如，如图建立空间直角坐标系，图建立空间直角坐标系，则：则： 例例8如图，在正方体如图，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，点中，点E E、F F分别是分别是A A1 1B B1 1、C C1 1D D1 1的一个四等分点，求的一个四等分点，求BEBE1 1与与DFDF1 1所成所成的角的余弦
8、值的角的余弦值变式变式C1B1A1D1DABCMP 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，点中，点Q Q是是ADAD的中的中点，点点，点P P是是C C1 1B B1 1的中点，求的中点，求A A1 1P P与与DQDQ所成角的余弦值所成角的余弦值所求的余弦值为所求的余弦值为FEC1B1A1D1DABC变式变式如图，在正方体如图，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，点中，点E E、F F分别是分别是BBBB1 1、D D1 1B B1 1的一个中点，求证的一个中点，求证: : EFEF与与DA
9、DA1 1互相垂直互相垂直1.1.已知线段已知线段 、在平面、在平面 内，线段内，线段，如果，求、之间的距离，如果，求、之间的距离. .解：解：四、巩固练习四、巩固练习2.2.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于 ，点分别是边的中点，点分别是边的中点求证：求证：证明：因为证明：因为所以所以同理，同理，3.3.已知空间四边形已知空间四边形，求证：，求证：证明证明：4.4.如图，已知正方体，如图，已知正方体， 和和 相交于相交于点，连结点，连结 ，求证：，求证：aA AO OP P6.6.已知空间四边形的每条边和对角线的长都已知空间四边形的每条边和对角线
10、的长都等于等于, ,点分别是的中点，求下点分别是的中点，求下列向量的数量积：列向量的数量积：ADFCBE16.已知三角形已知三角形ABCABC是正三角形，是正三角形，PAPA与平面与平面ABCABC垂直，垂直， 求求PBPB与与ACAC所成的角的大小所成的角的大小 5 5、在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，点中，点E E、F F分别是分别是D D1 1D D、BDBD的中点，的中点，G G在棱在棱CDCD上上，且，且 (2)求求BE与与C1 1F所成的角的余弦值所成的角的余弦值(1)求证求证: ;五、课堂小结五、课堂小结1 1、空间向量的数量积、空间向量的数量积: :2 2、空间向量的数量积的应用、空间向量的数量积的应用. .(1)(1)定义定义; ;(2)(2)性质性质; ;(3)(3)坐标表示坐标表示. .(3)求线线夹角求线线夹角.
