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1、二、比值审敛法二、比值审敛法 三、根值审敛法三、根值审敛法 2 2一、比较审敛法一、比较审敛法正项级数的审敛法正项级数的审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章 四、积分审敛法四、积分审敛法 定义定义若定理定理 1. 正项级数收敛部分和序列有界 .若收敛 , 部分和数列有界, 故从而又已知故有界.则称为正项级数 .单调递增, 收敛 , 也收敛.证证: “ ”“ ”机动 目录 上页 下页 返回 结束 都有定理定理2 (比较审敛法比较审敛法) 设且存在对一切有(1) 若强强级数则弱弱级数(2) 若弱弱级数则强强级数证证:设对一切则有收敛 ,也收敛 ;发散 ,也发散 .分别表示弱弱级数和
2、强强级数的部分和, 则有是两个正项级数, (常数 k 0 ),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 若强强级数则有因此对一切有由定理 1 可知,则有(2) 若弱弱级数因此这说明强强级数也发散 .也收敛 .发散,收敛,弱弱级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 讨论 p 级数(常数 p 0)的敛散性. 解解: 1) 若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知 p 级数发散 .发散 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .时,2) 若机动 目录 上页 下页 返回 结束
3、 调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.若存在对一切机动 目录 上页 下页 返回 结束 讨论级数的敛散性解解:而发散，根据比较审敛法可知, 级数(1)发散 .例例2.2.机动 目录 上页 下页 返回 结束 而收敛， 根据比较审敛法可知, 级数(2)收敛 .例例3. 若级数均收敛 , 且证明级数收敛 .证证: 则由题设收敛收敛收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3. (比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散 ;(2) 当 l = 0 (3) 当 l = 证证: 据极限定义,设两正项级数满足(1) 当 0 l 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 由定理 2 可知同时收
4、敛或同时发散 ;(3) 当l = 时,即由定理2可知, 若发散 , (1) 当0 l 0级数收敛，p0 级数发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 级数收敛 .定理定理4 . 比值审敛法 ( Dalembert 判别法)设 为正项级数, 且则(1) 当(2) 当证证: (1)收敛 ,时, 级数收敛 ;或时, 级数发散 .由比较审敛法可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此所以级数发散.时(2) 当说明说明: 当时,级数可能收敛也可能发散.例如例如, , p 级数但级数收敛 ;级数发散 .从而机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 讨论级数的敛散性 .解解: 根据定理4可知:级数收
5、敛 ;级数发散 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7:判别下列级数的敛散性:解解: (1) 据比值判别法, 级数发散 .据比较判别法，级数收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 用比值判别法可知:时收敛 ;时, 与 p 级数比较可知时收敛;时发散.时发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 对任意给定的正数 定理定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)设 为正项级则证明提示证明提示: 即分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.数, 且机动 目录 上页 下页 返回 结束 时 , 级数可能收敛也可能发散 .例如 , p 级数 说明说明 :但级数收敛 ;级数发散 .机动 目录
6、 上页 下页 返回 结束 例例8. 证明级数收敛于S ,似代替和 S 时所产生的误差 . 解解: : 由定理5可知该级数收敛 .令则所求误差为并估计以部分和 Sn 近 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9:判别下列级数的敛散性:解解: (1) 据根值判别法, 级数发散 .据比较判别法，级数收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2)定理定理6. （积分判别法） 设 上是机动 目录 上页 下页 返回 结束 非负可积且递减的连续函数，记则级数与广义积分的收敛性相同.推论推论. 则级数与广义积分的收敛性相同.例例10. 讨论 p 级数(常数 p 0)的敛散性. 解解: 机动 目录 上页 下页
7、 返回 结束 广义积分 时发散 .当 p 1 时收敛 ; p1 则p 级数当 p 1 时收敛 ; p1 时发散 .例例11. 讨论 级数的敛散性. 解解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 广义积分 时发散 .当 p 1 时收敛 ; p1 则级数当 p 1 时收敛 ; p1 时发散 .内容小结内容小结1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 利用正项级数审敛法必要条件不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛发 散不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.设正项级数收敛, 能否推出收敛 ?提示提示:由比较判敛法可知收敛 .注意注意: 反之不成立. 例如,收敛 ,发散 .目录 上页 下页 返回 结束 练习练习2. 判别级数的敛散性:解解: (1)发散 , 故原级数发散 .不是 p级数(2)发散 , 故原级数发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P231 1 (2), (3), 2 (1), (3), (4), (5) ; 3 (1), (3), (5) ; 4 (3) ; 5 (3)第三节 目录 上页 下页 返回 结束 P221 1 (1), (2) ；(5) 2 (2)；
