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1、第二节 一阶线性微分方程 4.2.1 分离变量法 4.2.2 一阶线性微分方程 4.2.1 分离变量法 一、引例 二、概念和公式的引出 三、案例第二节 一阶线性微分方程 一、引例一、引例 死亡年代的测定死亡年代的测定 遗体死亡之后，体内碳14的含量就不断减少，已知碳14的衰变速度与当时体内碳14的含量成正比，试建立任意时刻遗体内碳14含量应满足的方程。第二节 一阶线性微分方程解设 时刻遗体内碳14的含量为 ,根据题意有( ，常数)等式右端的负号是由于 随时间 的增加而减少。一阶微分方程一阶微分方程第二节 一阶线性微分方程 二二、 概念和公式的引出概念和公式的引出 变量可分离方程 形如:的方程称
2、为变量可分离方程，其特点是方程的右端只含 的函数与只含 的函数的乘积。第二节 一阶线性微分方程这类方程的特点是经过适当的变换，可以将两个不同变量的函数与微分分离到方程的两端。具体解法如下:(1) 分离变量得(2) 两边同时积分得 得解求方程满足初始条件 的特解，可将 代入通解确定 。研究研究第二节 一阶线性微分方程 三、案例三、案例 案例1 第二宇宙速度 地球对物体的引力 与物体的质量 以及物体离地心的距离 间的关系为 ，这里 是重力加速度， 为地球半径。验证:如果物体以 的初速度发射，则永远不会返回地球。第二节 一阶线性微分方程解 由牛顿第二定律 ，其中 ，有故有变量分离后为 两边积分得第二
3、节 一阶线性微分方程因为当 时， ，代入上式得 得由此可见，当 很大时， 很小，当 时，速度 永远大于0，所以物体永远不会返回地面。第二节 一阶线性微分方程 案例2 物体运动 一物体在力F的作用下运动，所受阻力与其运动的速度成正比，应用若物体的质量m=5kg，所受力为F=49N，比例系数k=0.2，则物体运动分离变量，得:满足以下微分方程:牛顿运动定律，有第二节 一阶线性微分方程因t=0时，v=0，代入以上方程，得 ,积分，得:解出 ,所以 ，当t=5s，有第二节 一阶线性微分方程 案例3 环境污染问题 某水塘原有吨清水(不含有害杂质)，从时间 开始，含有有害杂质的浊水流入该水塘流入的速度为2
4、吨分，在塘中充分混合(不考虑沉淀)后又以2吨分的速度流出水塘问经过多长时间后塘中有害物质的浓度达到？第二节 一阶线性微分方程解设在 时刻塘中有害物质的含量为 ，此时塘中有害物质 =单位时间内有害物质的变化量的浓度为 ，于是有=(单位时间内流进塘内有害物质的量)-(单位时间内流出塘的有害物质的量)即：第二节 一阶线性微分方程上式是可分离变量方程，分离变量并积分得:由初始条件 ， 得 ，故塘中有害物质浓度达到 时，应有 (吨)，这时 应满足由此解得 (分)，即经过670.6分钟后，塘中有害物质浓度达到4%，由于 ，塘中有害物质的最终浓度为5%。第二节 一阶线性微分方程 案例4 刑事侦察中死亡时间的
5、鉴定 牛顿冷却定律指出：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比，现将牛顿冷却定律应用于刑事侦察中死亡时间的鉴定。当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37按照牛顿冷却定律开始下降，如果两个小时后尸体温度变为35，并且假定周围空气的温度保持20不变，试求出尸体温度随时间的变化规律。又如果尸体发现时的温度是30，时间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的？第二节 一阶线性微分方程解设尸体的温度为 ，其冷却速度为 ，根据题意， ，即得微分方程模型其中 是常数，分离变量并求解得:代入初值条件 ，求得 。于是得该初值问题的解为第二节 一阶线性微分方程为求出 值，根据两小时后尸体温度为35这一条件
6、，有求得 ，于是温度函数为将 代入式(6-21)求解 ，有 ，即得 （小时）。于是，可以判定谋杀发生在下午4点尸体被发现前的 小时，即8小时24分钟，所以谋杀是在上午7点36分发生的。4.2.2 一阶线性微分方程 一、引例 二、概念和公式的引出 三、案例第二节 一阶线性微分方程 一、引例一、引例 电路问题电路问题 一个RL串联回路中有电源 （单位：伏），电阻10欧姆，电感0.5亨利和初始电流6安培，求在任何时刻t电路中的电流。第二节 一阶线性微分方程解这里 ， ， ，由回路电流定律，得 第二节 一阶线性微分方程 二、二、 概念和公式的引出概念和公式的引出 一阶线性微分方程 形如的方程称为一阶线
7、性微分方程。其特点是对于未知函数 及线性线性其导数是一次方程。如果 ，方程(6-2)称为齐次的齐次的；如果 ，方程(6-2)称为非齐次的非齐次的。第二节 一阶线性微分方程下面介绍用“拉格朗日常数变易法”求一阶线性非齐次微分方程通解的步骤:第一步 写出对应的齐次方程，并用分离变量法求出通解第二步 将齐次方程中的 换成未知函数 ，即令 第三步 将所令能解代入非齐次方程，得通解第二节 一阶线性微分方程 三、案例三、案例 案例1 案例的求解 解可知引例中的方程是线性的,根据拉格朗日常数变异法求解得 第二节 一阶线性微分方程得到:当 时, ，于是在任何时刻 的电流是 第二节 一阶线性微分方程 案例2 解 一个RC回路中有电源 (单位是伏),电阻100欧姆,电容0.01法拉。电容上没有初始电量。求在任何时刻 ,电路中的电流。我们先求电量 。这里 于是由方程有 第二节 一阶线性微分方程 此方程是线性的,由拉格朗日常数变异法得于是 当 时, ,因此 得再由方程 得
