《多元复合函数微分法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《多元复合函数微分法（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高等院校非数学类本科数学课程 多元微积分学 大 学 数 学（三三）脚本编写：彭亚新课件制作：彭亚新 第五讲第五讲第五讲第五讲 多元复合函数微分法多元复合函数微分法多元复合函数微分法多元复合函数微分法主讲教师：彭亚新主讲教师：彭亚新主讲教师：彭亚新主讲教师：彭亚新第一章 多元函数微分学第五第五节节 多元复合函数微分法多元复合函数微分法熟悉多元函数全导数的概念和计算方法。熟悉多元函数全导数的概念和计算方法。熟练掌握复合函数的链导法则。熟练掌握复合函数的链导法则。能熟练地、准确地计算二、三元复合函数的导数。能熟练地、准确地计算二、三元复合函数的导数。了解全微分形式不变性。了解全微分形式不变性。本节教
2、学要求：本节教学要求：请点击请点击第五节第五节 多元复合函数微分法多元复合函数微分法一. 全 导 数三.全微分形式不变性二.链导法则多元函数经复合运算后, 一般仍是多元函数, 但也可能成为一元函数.按前面关于多元函数的讨论方法, 复合函数求导法则的研究可从复合后成为一元函数的情况开始.这就是全导数问题.一一. .全导数全导数 下面看另一种解法. 例例解解 例例解解 你能由此猜想到多你能由此猜想到多元函数的复合函数求导元函数的复合函数求导法则吗法则吗 ？+将例中的情形进行一般性的描述将例中的情形进行一般性的描述 由此可推至一般的情况( (全导数公式全导数公式) )定理定理+全导数公式图示( (全
3、导数公式全导数公式) )现在证明定理现在证明定理定理定理从而从而由一元函数导数导定义由一元函数导数导定义, , 取取的极限的极限: :给给 x 以增量以增量, , 相应地有相应地有证证由由可导可导, , 故必连续故必连续, , 从而从而时时, , 定理获证 为什么取为什么取绝对值绝对值 ? ?设, 求令则 例例解解设以下函数满足定理的条件, 写出二元和三元函数的全导数公式: 请同学自己写 例例开始对答案开始对答案 你做对了吗 ?一般多元复合函数的求导法则一般多元复合函数的求导法则一般多元复合函数的求导法则一般多元复合函数的求导法则二二. .链导法则链导法则 假设所有出现的函数求导运算均成立假设
4、所有出现的函数求导运算均成立, , 试想一下如何求下面函数的导数：试想一下如何求下面函数的导数： 将 y 看成常数 将 x 看成常数 分别将 x , y 看成常数, 按全导数公式求导, 而在具体运算时, 实质上又是求多元函数的偏导数. 从上面的作法可以看出, 将复合的多元函求函数偏导数.全导数公式求导, 在具体求导过程中实质上是数中其余的变量看成常数, 对某一个变量运用你能由此得出多元复合函数 的求导法则吗 ?定理定理设在点对应点可微, 则复合函数在点处可导, 且处均可导, 且在 m 个 n 元函数 一个 m 元函数 一个 n 元函数定理定理设在点对应点可微, 则复合函数在点处可导, 且处均可
5、导, 且在 m 个 n 元函数 一个 m 元函数 一个 n 元函数该定理可视为全导数定理的推广:看成常数,运用全导数公式,将求导记号作相应改变即可证明该定理.将诸设满足定理的条件, 则有 例例设求 例例解解设求 例例解解设求令则关于 u 的 一元函数 例例解解设求 自己做 例例解解设其中求令则 例例解解设函数均可微, 求g g 例例解解设函数均可微, 求g g 例例解解记得吗? 一元函数的微分有一个重要性质： 一阶微分形式不变性一阶微分形式不变性对函数不论 u 是自变量还是中间变量, 在可微的条件下, 均有三三. .全微分形式不变性全微分形式不变性对二元函数来说,在可微的条件下, f 的全微分总可写为： 不论 x 和 y 是自变量还是中间变量, 详细的推导过程请同学自己看书.设不论是自变量还是中间变量, 在可微的条件下, 均有一般说来: 设应用全微分形式不变性求与比较, 得 例例解解设应用全微分形式不变性求与比较, 得 例例解解
