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1、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.1.奇偶性的定义奇偶性的定义思考探究思考探究(1)奇偶函数的定义域有何特点？奇偶函数的定义域有何特点？(2)是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？提示：提示：奇偶函数的定义域关于原点对称奇偶函数的定义域关于原点对称.提示：提示：存在存在.该函数的特点是定义域关于坐标原点对称，该函数的特点是定义域关于坐标原点对称，且解析式化简后等于且解析式化简后等于0.2.奇偶函数的性质奇偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性奇函数在关于原点对称的区间上的单调性，偶函数，偶函数在关于原点对称的
2、区间上的单调性在关于原点对称的区间上的单调性(填填“相同相同”、“相反相反”).(2)在公共定义域内，在公共定义域内，两个奇函数的和函数是两个奇函数的和函数是，两个奇函数的积函数，两个奇函数的积函数是是；两个偶函数的和函数、积函数是两个偶函数的和函数、积函数是.一个奇函数，一个偶函数的积函数是一个奇函数，一个偶函数的积函数是.(3)若若f(x)是奇函数且在是奇函数且在x0处有定义，则处有定义，则f(0).相反相反奇函数奇函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数奇函数0相同相同1.设设f(x)是是R上的任意函数，则下列叙述正确的是上的任意函数，则下列叙述正确的是()A.f(x)f(x)是奇函数是奇函数
3、B.f(x)|f(x)|是奇函数是奇函数C.f(x)f(x)是偶函数是偶函数D.f(x)f(x)是偶函数是偶函数解析：解析：令令F(x)f(x)f(x).F(x)f(x)f(x)为偶函数，故为偶函数，故D正确正确.答案：答案：D2.对任意实数对任意实数x，下列函数中的奇函数是，下列函数中的奇函数是()A.y2x3B.y3x2C.yln5xD.y|x|cosx解析：解析：若若f(x)ln5x，则，则f(x)ln5xln(5x)1ln5xf(x).函数函数yln5x为奇函数为奇函数.答案：答案：C3.已知已知f(x)ax2bx是定义在是定义在a1,2a上的偶函数，那么上的偶函数，那么a b的值是的
4、值是()A.B.C.D.解析：解析：函数函数f(x)ax2bx在在xa1,2a上为偶函数，上为偶函数，b0，且，且a12a0，即，即b0，a.ab.答案：答案：B4.已知函数已知函数yf(x)为奇函数，若为奇函数，若f(3)f(2)1，则，则f(2)f(3).解析：解析：由题意得由题意得f(2)f(3)f(2)f(3)f(3)f(2)1.答案：答案：15.设函数设函数f(x)为奇函数，则为奇函数，则a.解析：解析：f(x)为奇函数，为奇函数，由由f(1)f(1)得得a1.答案：答案：1判断函数奇偶性的一般方法判断函数奇偶性的一般方法(1)首先确定函数的定义域，看其是否关于原点对称的首先确定函数
5、的定义域，看其是否关于原点对称的.否则，否则，既不是奇函数也不是偶函数既不是奇函数也不是偶函数.(2)若定义域关于原点对称，则可用下述方法进行判断：若定义域关于原点对称，则可用下述方法进行判断：定义判断：定义判断：f(x)f(x)f(x)为偶函数，为偶函数，f(x)f(x)f(x)为奇函数为奇函数.等价形式判断：等价形式判断：f(x)f(x)0f(x)为偶函数，为偶函数，f(x)f(x)0f(x)为奇函数为奇函数.或等价于：或等价于：，则，则f(x)为偶函数；为偶函数；1，则则f(x)为奇函数为奇函数.(3)对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行.特别警示特别
6、警示分段函数的奇偶性判定，要注意定义域内分段函数的奇偶性判定，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x范围取相范围取相应的解析式化简应的解析式化简.此类问题也可利用图象作判断此类问题也可利用图象作判断.判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：思路点拨思路点拨(1)f(x)=x();(2)f(x)=log2(x+);(3)f(x)=;(4)f(x)=(5)f(x)=x2-|x-a|+2.课堂笔记课堂笔记(1)函数定义域为函数定义域为(，0)(0，).f(x)是偶函数是偶函数.f(-x)=-x()=f(x).(2)函数定义域为函数定义域为R
7、.f(x)是奇函数是奇函数.f(-x)=log2(-x+)=log2=-log2(x+)=-f(x),(3)由由得得x，或，或x.函数函数f(x)的定义域为的定义域为，.又又对任意的对任意的x，x，且且f(x)f(x)f(x)0，f(x)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数.(4)函数定义域为函数定义域为(，0)(0，).当当x0时，时，x0，则，则f(x)(x)2x(x2x)f(x)；当当x0时，时，x0，则，则f(x)(x)2xx2x(x2x)f(x).对任意对任意x(，0)(0，)都有都有f(x)f(x).故故f(x)为奇函数为奇函数.(5)函数函数f(x)的定义域为的定义域为R.当
8、当a0时，时，f(x)f(x)，f(x)是偶函数；是偶函数；当当a0时，时，f(a)a22，f(a)a22|a|2.f(a)f(a)，且，且f(a)f(a)2(a2|a|2)2(|a|)20，f(x)是非奇非偶函数是非奇非偶函数.判断判断(或证明或证明)抽象函数的奇偶性的步骤抽象函数的奇偶性的步骤(1)利用函数奇偶性的定义，找准方向利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现想办法出现f(x)，f(x)；(2)巧妙赋值，合理、灵活变形配凑；巧妙赋值，合理、灵活变形配凑；(3)找出找出f(x)与与f(x)的关系，得出结论的关系，得出结论.已知函数已知函数f(x)对一切对一切x、yR，都有，都有f(
9、xy)f(x)f(y).(1)试判断试判断f(x)的奇偶性；的奇偶性；(2)若若f(3)a，用，用a表示表示f(12).思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)显然显然f(x)的定义域是的定义域是R，关于原点对称，关于原点对称.又又函数函数f(x)对一切对一切x、yR都有都有f(xy)f(x)f(y).令令xy0，得，得f(0)2f(0)，f(0)0.再令再令yx，得，得f(0)f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为奇函数为奇函数.(2)f(3)a且且f(x)为奇函数，为奇函数，f(3)f(3)a.又又f(xy)f(x)f(y)，x、yR，f(12)f(66)f(6)f(6)2f(6)2
10、f(33)4f(3)4a.(1)对抽象函数解不等式问题，应充分利用函数的单调性，对抽象函数解不等式问题，应充分利用函数的单调性，将将“f ”脱掉，转化为我们会求的不等式；脱掉，转化为我们会求的不等式；(2)奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间上有相反的单调性上有相反的单调性.函数函数f(x)的定义域为的定义域为Dx|xR且且x0，且满足对于，且满足对于任意任意x1，x2D，有，有f(x1x2)f(x1)f(x2).(1)求求f(1)的值；的
11、值；(2)判断判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；的奇偶性并证明你的结论；(3)如果如果f(4)1，f(3x1)f(2x6)3，且，且f(x)在在(0，)上上是增函数，求是增函数，求x的取值范围的取值范围.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)对于任意对于任意x1，x2D，有有f(x1x2)f(x1)f(x2)，令令x1x21，得，得f(1)2f(1)，f(1)0.(2)令令x1x21，有，有f(1)f(1)f(1)，f(1)f(1)0.令令x11，x2x有有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数为偶函数.(3)依题设有依题设有f(44)=f(4)+f(4)=2.f(16
12、4)=f(16)+f(4)=3, f(3x+1)+f(2x-6)3,即即f(3x+1)(2x-6)f(64).（*）法一：法一：f(x)为偶函数，为偶函数，f(|(3x1)(2x6)|)f(64).又又f(x)在在(0，)上是增函数，上是增函数，0|(3x1)(2x6)|64.解上式，得解上式，得3x5或或x或或x3.x的取值范围为的取值范围为x|x或或x3或或3x5.法二：法二：f(x)在在(0，)上是增函数，上是增函数，(*)等价于不等式组等价于不等式组或或或或3x5或或x或或x3.x的取值范围为的取值范围为x|x或或x3或或3x5.将本例中的条件将本例中的条件f(x1x2)f(x1)f(
13、x2)改为改为f(x1x2)f(x1)f(x2)，定义域，定义域Dx|x0改为改为DR，求解第，求解第(2)，(3)问问.f(x)为奇函数为奇函数.解：解：(2)令令x1x20，得，得f(0)0；令令x1x，x2x，得，得f(0)f(x)f(x)，即即f(x)f(x)，(3)f(4)1，f(8)f(4)f(4)2，f(12)f(48)f(4)f(8)3.又又f(3x1)f(2x6)3，f(3x12x6)f(12)，即即f(5x5)f(12).又又f(x)在在(0，)上为增函数，上为增函数，f(x)为奇函数，为奇函数，f(x)在在R上是增函数，上是增函数，5x512，x.函数奇偶性的判定以及利用
14、函数的奇偶性求参数函数奇偶性的判定以及利用函数的奇偶性求参数是高考对函数奇偶性的常规考法，是高考对函数奇偶性的常规考法，09年山东、陕西等年山东、陕西等省将函数的奇偶性、单调性以及比较大小等问题综合省将函数的奇偶性、单调性以及比较大小等问题综合出现在高考试题中，这是高考新的一个考查方向出现在高考试题中，这是高考新的一个考查方向.考题印证考题印证(2009山东高考山东高考)已知定义在已知定义在R上的奇函数上的奇函数f(x)满足满足f(x4)f(x)，且在区间，且在区间0,2上是增函数，则上是增函数，则()A.f(25)f(11)f(80)B.f(80)f(11)f(25)C.f(11)f(80)
15、f(25)D.f(25)f(80)f(11)【解析解析】f(x4)f(x)，T8.又又f(x)是奇函数，是奇函数，f(0)0.f(x)在在0,2上是增函数，且上是增函数，且f(x)0，f(x)在在2,0上也是增函数，且上也是增函数，且f(x)0.又又x2,4时，时，f(x)f(x4)0，且，且f(x)为减函数为减函数.同理同理f(x)在在4,6为减函数且为减函数且f(x)0.如图如图.f(25)f(1)0，f(11)f(3)0，f(80)f(0)0，f(25)f(80)f(11).【答案答案】D自主体验自主体验(2009陕西高考陕西高考)定义在定义在R上的偶函数上的偶函数f(x)满足：对任意满
16、足：对任意的的x1，x2(，0(x1x2)，有，有(x2x1)(f(x2)f(x1)0.则当则当nN*时，有时，有()A.f(n)f(n1)f(n1)B.f(n1)f(n)f(n1)C.f(n1)f(n)f(n1)D.f(n1)f(n1)f(n)解析：解析：由由(x2x1)(f(x2)f(x1)0得得f(x)在在x(，0为增函数为增函数.又又f(x)为偶函数，所以为偶函数，所以f(x)在在x(0，)为减函数为减函数.又又f(n)f(n)且且0n1nn1，f(n1)f(n)f(n1)，即，即f(n1)f(n)f(n1).答案：答案：C1.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是下列函数中
17、，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 ()A.yx3，xRB.ysinx，xRC.yx，xRD.y()x，xR解析：解析：yx3为奇函数且为减函数；为奇函数且为减函数；ysinx为奇函数，为奇函数，但不是单调函数；但不是单调函数；yx为增函数；为增函数；y()x不是奇函数不是奇函数.答案：答案：A2.(2010泉州模拟泉州模拟)若若xR、nN*，定义：，定义：x(x1)(x 2)(xn1)，例如，例如(5)(4)(3)(2)(1)120，则函数，则函数f(x)的奇偶的奇偶性为性为()A.是奇函数而不是偶函数是奇函数而不是偶函数B.是偶函数而不是奇函数是偶函数而不是奇函数C.既是奇函数又是偶函
18、数既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数既不是奇函数又不是偶函数解析：解析：x(x1)(x2)(xn1)，(x9)(x8)(x7)(x9)(x292)(x282)(x212)x.(x292)(x282)(x212)x2，f(x)是偶函数是偶函数.答案：答案：B3.函数函数f(x)x3sinx1(xR)，若，若f(a)2，则，则f(a)的值为的值为 ()A.3B.0C.1D.2解析：解析：f(a)a3sina1，f(a)(a)3sin(a)1a3sina1，得得f(a)f(a)2，f(a)2f(a)220.答案：答案：B4.已知已知f(x)，g(x)分别是定义在分别是定义在R上的奇函数
19、和偶函数，且上的奇函数和偶函数，且f(x)g(x)()x，则，则f(1)，g(0)，g(1)之间的大小关系是之间的大小关系是.解析：解析：f(x)和和g(x)分别为奇函数和偶函数，分别为奇函数和偶函数，且且f(x)g(x)()x，f(x)g(x)()x，即即f(x)g(x)2x，f(x)g(x)2x，由由得得答案：答案：f(1)g(0)g(1)5.设定义在设定义在2,2上的偶函数上的偶函数f(x)在区间在区间0,2上单调递减，上单调递减，若若f(1m)f(m)，则实数，则实数m的取值范围是的取值范围是.解析：解析：f(x)是偶函数，是偶函数，f(x)f(x)f(|x|).不等式不等式f(1m)f(m)f(|1m|)f(|m|).又当又当x0,2时，时，f(x)是减函数是减函数.答案：答案：解得解得6.已知函数已知函数f(x) (a、b、cN)是奇函数，又是奇函数，又 f(1)2，f(2)3，求，求a、b、c的值的值.解：解：f(x)为奇函数为奇函数f(x)f(x)，即，即.c0，即，即f(x).又又f(1)2，f(2)3，即即4a13a3，a2.又又aN，a0或或a1.当当a0时，时，b，舍去，舍去.当当a1时，时，b1，a1，b1，c0.
