第三节第三节 典型环节频率特性的绘制典型环节频率特性的绘制第四章第四章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法 项 目内 容教 学 目 的熟悉典型环节的极坐标图和对数坐标图教 学 重 点典型环节极坐标图和对数坐标图的绘制方法教 学 难 点讲授技巧及注意事项通过定义、公式推导进行分析5-3 典型环节频率特性的绘制典型环节频率特性的绘制对数坐标图渐进曲线代替精确曲线的理解 一一 典型环节极坐标典型环节极坐标(Nyquist)图的绘制图的绘制0ImReK放大环节的极坐标图是复平放大环节的极坐标图是复平面实轴上的一个点，它到原面实轴上的一个点，它到原点的距离为点的距离为K K1.放大环节放大环节传递函数：频率特性： 微微分分环环节节的的极极坐坐标标图图是是一一条条与虚轴正段相重合的直线与虚轴正段相重合的直线2.微分环节微分环节0ImRe传递函数：频率特性： 由于由于 ( ) = - 90°是常数A( )随随 增大而减小因此，积分环节是极增大而减小因此，积分环节是极坐标图一条与虚轴负段相重合的直坐标图一条与虚轴负段相重合的直线 3. 积分环节积分环节ImRe0传递函数：传递函数：频率特性：频率特性： 4. 惯性环节惯性环节取取ω=0，，1/T和和ω=∞三个特殊点三个特殊点:传递函数：频率特性： 0w=121ReIm+¥=w0不不难难看看出出，，随随着着频频率率ω=0→∞变变化化，，惯惯性性环环节节的的幅幅值值逐逐步步衰衰减减，，最最终终趋趋于于0。
相相位位的的绝绝对对值值越越来来越越大大，，但但最终不会大于最终不会大于90°，其极坐标图为一个半圆其极坐标图为一个半圆 5. 振荡环节振荡环节 传递函数：传递函数：频率特性：频率特性： 极极坐坐标标相相位位从从0°到到 -180°变变化化，，频频率率特特性性与与虚虚轴轴交交点点处处的的频频率率是是无无阻阻尼尼自自然然振振荡荡频频率率，，ζ越越小小，，对对应应ω的的幅值就越大说明频率特性与幅值就越大说明频率特性与ω、、ζ均有关当当ω=0，，1/T和和ω=∞时，时，图图5-5 5-5 振荡环节的频率响应振荡环节的频率响应 （5-37） 当 时， ， ； 当 时， ， ； 当 时， ， 振荡环节的幅频特性和相频特性均与阻尼比ξ有关，不同阻尼比的频率特性曲线如图5-5所示同时，当阻尼比较小时，会产生谐振，谐振峰值 和谐振频率 由幅频特性的极值方程解出。
（5-38） 5-39） 其中 称为振荡 环节的无阻尼自然振 荡频率，它是振荡环 节频率特性曲线与虚 轴的交点处的频率 将 代入 得 到谐振峰值 为 （5-40） 将 代入 得到谐振相移φr为(5-41)图5-5 振荡环节的频率响应 6. 一阶微分环节一阶微分环节10ImRe当 从零变化到无穷时，幅相频率特性是通过(1,0)点，且平行于正虚轴的一条直线；其相频从0°变化到+90°传递函数：频率特性： 7. 二阶微分环节二阶微分环节 0w=ReIm01传递函数：频率特性：随着 的增加，G(j )的虚部是正的单调增加，而实部则由1开始单调递减。
其对应的频率特性是其对应的频率特性是 （（5-565-56）） 幅频特性和相频特性分别为幅频特性和相频特性分别为 （（5-575-57）） （（5-585-58）） 如图如图5-105-10所示，滞后环节的频率特性在平面上是一所示，滞后环节的频率特性在平面上是一 个顺时针旋转的单位圆个顺时针旋转的单位圆 图5-10 滞后环节频率特性图（（8 8）） 滞后环节的传递函数滞后环节的传递函数 滞后环节的传递函数为滞后环节的传递函数为(5-55) 二、典型环节的对数坐标二、典型环节的对数坐标(Bode)图的绘制图的绘制(1)比例环节：若k = 10 0.1110100 s/rad度 00s/rad)(L 0.1110100dB20G(s) = k, k > 0 Num=[10]Den=[1]g=tf(num,den)bode(g)10-1100101 (2)积分环节：0.1110100 s/rad00-900度 s/rad)(L 0.1110100dB20-20-20dB/dec 0.1 0.21210201000db20db40db-20db--40dbL(ω)ω[-20]积分环节积分环节L( ) -20dB/dec -40dB/dec-60dB/dec的对数频率特性曲线10-1100101num=[1]den=[1,0]g=tf(num,den)bode(g)hold onnum=[1]den=[1,0,0]g=tf(num,den)bode(g) num=[1]den=[1,0,0,0]g=tf(num,den)bode(g)双击改变坐标轴刻度范围 积分环节的对数频率特性曲线 Bode Diagram of G(j)=1/j积分环节的幅频特性可认为是斜率为积分环节的幅频特性可认为是斜率为-20dB/dec的一条斜线。
的一条斜线 0.1 0.212102010020db40db-20db-40dbL(ω)ω[+20]微分环节微分环节L( ) 0db 微分环节的对数频率特性曲线 Bode Diagram of G(j)=j微分环节的幅频特性可认为是斜率为微分环节的幅频特性可认为是斜率为20dB/dec的一条斜线的一条斜线 (3)惯性环节：惯性环节：为转角为转角(转折、交接转折、交接)频率频率 低频时，即低频时，即高频时，即高频时，即 渐近线渐近线 精确曲线精确曲线 精确曲线精确曲线 惯性环节的对数频率特性(渐近线和精确曲线) Bode Diagram of G(j)=1/(jT+1) T=1渐近线渐近线 低频段低频段(小于转角频率小于转角频率)幅频特性可认为是幅频特性可认为是0dB的一条直线的一条直线，高，高频段的幅频特性可认为是斜率为频段的幅频特性可认为是斜率为-20dB/dec的一条斜线的一条斜线10-1100101 渐近特性精确特性图5-14 惯性环节的Bode图 很明显，距离交接频率很明显，距离交接频率 愈远愈远 ，，愈能满足近似条件，用渐近线愈能满足近似条件，用渐近线表示对数幅频特性的精度就愈表示对数幅频特性的精度就愈高；反之，距离交接频率愈高；反之，距离交接频率愈近，渐近线的误差愈大。
近，渐近线的误差愈大等于交接频率等于交接频率 时，误差最时，误差最大，最大误差为大，最大误差为 时的误差是时的误差是 时的误差是时的误差是 误误差差曲曲线线对对称称于于交交接接频频率率 ，，如如图图5-155-15所所示示由由图图5-155-15可可知知，，惯惯性性环环节节渐渐近近线线特特性性与与精精确确特特性性的的误误差差主主要要在在交交接接频频率率 上上下下十十倍倍频频程程范范围围内内交交接接频频率率十十倍倍频频以以上上的的误误差差极极小小，，可可忽忽略略经经过过修修正正后后的的精精确确对对数数幅幅频特性如图频特性如图5-145-14所示 惯性环节的相频特性为惯性环节的相频特性为 (5-75)(5-75)当当 时，时， ；；当当 时，时， ；；当当 时，时， 。
对应的相频特性曲线如图对应的相频特性曲线如图5-145-14所示它是一条由所示它是一条由 0 00 0至至-90-900 0范范围内变化的反正切函数曲线，围内变化的反正切函数曲线，且以且以 和和 的交的交点为斜对称点为斜对称 图图5-15 5-15 惯性环节对数幅频特性误差惯性环节对数幅频特性误差 修正曲线修正曲线 其对数幅频特性是其对数幅频特性是 （（5-775-77））当当 时，时， ；；当当 时，时， ；；一一阶阶微微分分环环节节的的对对数数幅幅频频特特性性如如图图5-16所所示示，，渐渐近近线线的的交交接接频频率率 为为 ，， 交交 接接 频频 率率 处处 渐渐 近近 特特 性性 与与 精精 确确 特特 性性 的的 误误 差差 为为 ，，其误差均为正分贝数，误差范围与惯性环节类似。
其误差均为正分贝数，误差范围与惯性环节类似相频特性是相频特性是 （（5-785-78））当当 时时，， ；； （（4 4）） 一阶微分环节一阶微分环节 一一阶微分微分环节频率特性率特性为 图5-16 一阶微分环节的Bode图当当 时，时， ；；当当 时，时， 一阶微分环节的相频特一阶微分环节的相频特性如图性如图 5-16 5-16 所示，相所示，相角变化范是角变化范是 0 00 0 至至 90900 0，，交接频率交接频率 处的相角处的相角为为45450 0比较 图图 5-165-16和和5-145-14，可知，，可知，一阶微分一阶微分环节与惯性环节的对数环节与惯性环节的对数幅频特性和相频特性是幅频特性和相频特性是以横轴（以横轴（ωω轴）为对称的。
轴）为对称的 一阶系统一阶系统(1+j T)的对数频率特性曲线的对数频率特性曲线 低频段低频段(小于转角频率小于转角频率)幅频特性可认为是幅频特性可认为是0dB的一条直线的一条直线，，高频段的幅频特性可认为是斜率为高频段的幅频特性可认为是斜率为20dB/dec的一条斜线的一条斜线10-1100101 (5)振荡环节： 低频渐近线为一条低频渐近线为一条0 0分贝的水平线；高频时的对数幅频分贝的水平线；高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为特性曲线是一条斜率为-40dB/dec-40dB/dec的直线如图如图5-175-17所所示示 渐近线与精确对数幅频特性曲线的误差分析如下：渐近线与精确对数幅频特性曲线的误差分析如下：当当 时，时， ，它是阻尼，它是阻尼比比ξξ的函数；当的函数；当ξ=1时为时为-6（（dB），当），当ξ=0.5时为时为0(dB)，当，当ξ=0.25时为时为+6(dB)；；误差曲线如图误差曲线如图5-18所示。
所示 高频渐近线低频渐近线 图图5-17 振荡环节渐进线对数幅频特性振荡环节渐进线对数幅频特性 图图5-18 5-18 振荡环节对数幅频特性误差修正曲线振荡环节对数幅频特性误差修正曲线 由图知，振荡环节的误差可正可负，它们是阻尼比由图知，振荡环节的误差可正可负，它们是阻尼比ξξ的函数，的函数，且以且以 的交接频率接频率为对称，距离交接频率愈远误差的交接频率接频率为对称，距离交接频率愈远误差愈小（在交接频率附近略有变化），通常大于（或小于）十倍愈小（在交接频率附近略有变化），通常大于（或小于）十倍交接频率时，误差可忽略不计经过修正后的对数幅频特性曲交接频率时，误差可忽略不计经过修正后的对数幅频特性曲线如图线如图5-195-19所示 由图由图5-195-19可看出，振可看出，振荡环节的对数幅频特性在荡环节的对数幅频特性在交接频率交接频率 附近产生谐振附近产生谐振峰，这是该环节固有振荡峰，这是该环节固有振荡性能在频率特性上的反映性能在频率特性上的反映前面已经分析过，谐振频前面已经分析过，谐振频率率ωωr r和谐振峰和谐振峰M Mr r分别为分别为 图图5-19 振荡环节对数幅频率特性图振荡环节对数幅频率特性图 （5-81） （5-82）其其中中 称称为为振振荡荡环环节节的的无无阻阻尼尼（（ξ=0ξ=0））自自然然振振荡荡频频率率，，它它也也是是渐渐近近线线的的交交接接频频率率。
由由式式（（5-815-81））可可知知，，当当阻阻尼尼比比ξξ愈愈小小谐谐振振频频率率ωωr r愈愈接接近近无无阻阻尼尼自自然然振振荡荡频频率率ωωn n，，当当ξ=0ξ=0时时，，ωωr r=ω=ωn n，，这就是这就是““无阻尼自然振荡频率无阻尼自然振荡频率””一词的由来一词的由来 振荡环节的相频特性是振荡环节的相频特性是 （5-83） 当当 时，时， ；；当当 时，时， ；；当当 时，时， 除除上上面面三三种种特特殊殊情情况况外外，，振振荡荡环环节节相相频频特特性性还还是是阻阻尼尼比比ξξ的的函函数数，，随随阻阻尼尼比比ξξ变变化化，，相相频频特特性性在在交交接接频频率率 附附近近的的变变化化速速率率也也发发生生变变化化，，阻阻尼尼比比ξξ越越小小，，变变化化速速率率越越大大，，反反之之愈愈小小。
但但这这种种变变化化不不影影响响整整个个相相频频特特性性的的大大致致形形状状不不同同阻阻尼尼比比ξξ的的相相频频特性如图特性如图 5-20 5-20 所示 图图5-20 5-20 振荡环节对数相频特性图振荡环节对数相频特性图 （5-84）其对数幅频特性是 （5-85） 相频特性是 （5-86） 二阶微分环节的对数幅频特性和相频特性与振荡 节相比，以横轴（ω轴）为对称，参考振荡环节，很容易绘制出二阶微分环节的伯德图（图5-21） 渐近线的交接频率为 ，相角变化范围是00至+18006）二阶微分环节二阶微分环节的频率特性是 图图5-21 5-21 二阶微分环节的二阶微分环节的BodeBode图图 （5-91） （5-92）滞后环节伯德图如图5-23所示。
其对数幅频特性与ω无关，是一条与ω轴重合的零分贝线滞后相角由式（5-92）计算，分别与滞后时间常数τ和角频率ω成正比 (7） 滞后环节滞后环节的频率特性是 （5-90）其对数幅频特性和相频特性分别为 图图5-23 5-23 滞后环节的滞后环节的BodeBode图图 。