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1、第一讲第一讲 函数与方程思想函数与方程思想函函数数与与方方程程都都是是中中学学数数学学中中最最为重重要要的的内内容容而而函函数数与与方方程程思思想想更更是是中中学学数数学学的的一一种种基基本本思思想想，几几乎乎渗渗透透到到中中学学数数学学的的各各个个领域域，在在解解题中中有有着着广广泛泛的的应用用，是是历年年来来高高考考考考查的的重点重点1函数的思想函数的思想函函数数的的思思想想，是是用用运运动和和变化化的的观点点，分分析析和和研研究究数数学学中中的的数数量量关关系系，建建立立函函数数关关系系或或构构造造函函数数，运运用用函函数数的的图象象和和性性质去去分分析析问题、转化化问题，从从而而使使问
2、题获得得解解决决函函数数思思想想是是对函函数数概概念念的的本本质认识，用用于于指指导解解题就就是是善善于于利利用用函函数数知知识或或函函数数观点点观察察、分分析析和和解解决决问题经常常利利用用的的性性质是是单调性、奇偶性、周期性、最大性、奇偶性、周期性、最大值和最小和最小值、图象象变换等等2方程的思想方程的思想方方程程的的思思想想，就就是是分分析析数数学学问题中中变量量间的的等等量量关关系系，建建立立方方程程或或方方程程组，或或者者构构造造方方程程，通通过解解方方程程或或方方程程组，或或者者运运用用方方程程的的性性质去去分分析析、转化化问题，使使问题获得得解解决决方方程程的的思思想想是是对方方
3、程程概概念念的的本本质认识，用用于于指指导解解题就就是是善善于于利利用用方方程程或或方方程程组的的观点点观察察处理理问题方方程程思思想想是是动中中求求静静，研究运研究运动中的等量关系中的等量关系3函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想的联系函函数数思思想想与与方方程程思思想想是是密密切切相相关关的的，如如函函数数问题可可以以转化化为方方程程问题来来解解决决；方方程程问题也也可可以以转化化为函函数数问题加加以以解解决决，如如解解方方程程f(x)0，就就是是求求函函数数yf(x)的的零零点点，解解不不等等式式f(x)0(或或f(x)0)，就就是是求求函函数数yf(x)的的正正负区区间，再再如如
4、方方程程f(x)g(x)的的解解的的问题可可以以转化化为函函数数yf(x)与与yg(x)的的交交点点问题，也也可可以以转化化为函函数数yf(x)g(x)与与x轴的的交交点点问题，方方程程f(x)a有有解解，当当且且仅当当a属属于于函函数数f(x)的的值域域，函函数数与与方方程程的的这种相互种相互转化关系十分重要化关系十分重要4函数与方程思想解决的相关问题函数与方程思想解决的相关问题(1)函数思想在解函数思想在解题中的中的应用主要表用主要表现在两个方面：在两个方面：借借助助有有关关初初等等函函数数的的性性质，解解有有关关求求值、解解(证)不不等等式式、解方程以及解方程以及讨论参数的取参数的取值范
5、范围等等问题；在在问题研研究究中中通通过建建立立函函数数关关系系式式或或构构造造中中间函函数数；把把研研究究的的问题化化为讨论函函数数的的有有关关性性质，达达到到化化难为易易，化化繁繁为简的目的的目的(2)方程思想在解方程思想在解题中的中的应用主要表用主要表现在四个方面：在四个方面：解方程或解不等式；解方程或解不等式；带参参变数数的的方方程程或或不不等等式式的的讨论，常常涉涉及及一一元元二二次次方方程程的的判判别式式、根根与与系系数数的的关关系系、区区间根根、区区间上上恒恒成成立立等等知知识应用；用；需要需要转化化为方程的方程的讨论，如曲，如曲线的位置关系等；的位置关系等；构造方程或不等式求解
6、构造方程或不等式求解问题.若若a、b是正数，且是正数，且满足足abab3，求，求ab的取的取值范范围运用函数与方程思想解决求值（或最值、范围）的问题运用函数与方程思想解决求值（或最值、范围）的问题函数与方程思想方法解决范围问题的技巧函数与方程思想方法解决范围问题的技巧1此此类类题题型型在在高高考考题题中中占占较较大大的的比比重重，且且考考查查的的知知识识范范围围广广，通通常常是是某某一一个个条条件件等等式式或或某某一一个个公公式式中中含含有有未未知知量量，列列出函数、不等式或方程出函数、不等式或方程(组组)，求解即可，求解即可2在在解解决决此此类类型型的的问问题题时时，一一般般会会用用到到代代
7、数数式式的的变变形形，消消元、换元、解方程、解不等式等基础知识和基本方法元、换元、解方程、解不等式等基础知识和基本方法3此此类类问问题题通通常常可可以以转转化化为为函函数数的的值值域域问问题题，方方程程的的解解的的问题或不等式的解集问题问题或不等式的解集问题1已已知知a，b，cR，abc0，abc10，求求a的的取取值范范围对于于满足足0p4的的实数数p，使使x2px4xp3恒恒成成立立的的x的的取取值范范围是是_构造函数解决函数、不等式、方程问题构造函数解决函数、不等式、方程问题【答案】(，1)(3，)首首先先明明确确本本题题是是求求x的的取取值值范范围围，这这里里注注意意另另一一个个变变量
8、量p，不不等等式式的的左左边边恰恰是是关关于于p的的一一次次函函数数，因因此此依依据据一一次次函函数数的的特特性性得得到到解解决决在在含含有有多多个个字字母母变变量量的的问问题题中中，选选准准“主主元元”往往是解题的关键往往是解题的关键2(2011苏苏州州模模拟拟)若若关关于于x的的方方程程cos 2x2cos xm0有有实数根，数根，则实数数m的取的取值范范围是是_(5分分)设等等差差数数列列an的的前前n项和和为Sn，已已知知(a21)32 009(a21)1，(a2 0081)32 009(a2 0081)1，则下下列列结论正正确的是确的是AS2 0092 009，a2 008a2BS2
9、 0092 009，a2 008a2CS2 0092 008，a2 008a2DS2 0092 008，a2 008a2运用函数与方程思想解决数列问题运用函数与方程思想解决数列问题【解题切点】【解题切点】依据两个条件等式的依据两个条件等式的结构特点构特点构造函数构造函数f(x)x32 009x依据依据f(x)的性的性质知知an与与a2 008的关系的关系【答案】【答案】A由由于于数数列列是是一一类类特特殊殊的的函函数数，因因此此数数列列问问题题常常借借助助于于函函数数知知识识来来处处理理根根据据数数列列的的有有关关公公式式列列出出方方程程，不不等等式式，这这是是常常见题型，进而转化为函数问题解决见题型，进而转化为函数问题解决答案10；9
