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1、期权定价的数值方法（续）期权定价的数值方法（续）整理ppt期权定价的数值方法期权定价的数值方法l二叉树方法lMonte Carlo 方法l有限差分法整理ppt 二叉树图模型的基本出发点：假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动可能遵循的路径。模型中隐含导出的概率是风险中性世界中的概率 ，从而为期权定价取当前时刻为 ，在给定参数 、 和 的条件下，当 时，二叉树公式：可以在 进行泰勒展开，最终可以化简为：在 时，二叉树模型收敛于布莱克舒尔斯偏微分方程。二叉树模型与二叉树模型与BS模型模型整理pptMonte Carlo 方法的产生方法的产生l蒙特
2、卡罗方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。l该方法源于美国在WWI后研制原子弹的“曼哈顿计划”。 S. M. Ulam (1908-1984)和该计划的主持人之一、数学家冯诺伊曼（J.von Neumann ）用驰名世界的赌城摩纳哥的Monte Carlo来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘的色彩（他的叔叔就在摩纳哥的赌场工作）。整理pptMonte Carlo 方法的产生方法的产生l考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢？Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地”投掷N个点，有M个
3、点落于“图形”内，则该“图形”的面积近似为M/N。整理pptMonte Carlo方法的组成部分方法的组成部分概率密度函数概率密度函数(pdf) 必须给出描述一个物理必须给出描述一个物理系统的一组概率密度函数系统的一组概率密度函数;随机数产生器随机数产生器能够产生在区间能够产生在区间0,1上均匀分布的随机数上均匀分布的随机数抽样规则抽样规则如何从在区间如何从在区间0,1上均匀分布的随机数出发上均匀分布的随机数出发,随随机抽取服从给定的机抽取服从给定的pdf的随机变量的随机变量;模拟结果记录模拟结果记录记录一些感兴趣的量的模拟结果记录一些感兴趣的量的模拟结果误差估计误差估计必须确定统计误差（或方
4、差）随模拟次数以及其必须确定统计误差（或方差）随模拟次数以及其它一些量的变化；它一些量的变化；减少方差的技术减少方差的技术利用该技术可减少模拟过程中计算的次数；利用该技术可减少模拟过程中计算的次数；整理pptl蒙特卡洛方法是一种比较粗糙的计算方法，它与其说是一种数学的方法，不如看成一种实验方法；l有的时候人们不得不依赖于此种方法。一来人们的才智不够，二来它的确在某些方面给我们知识；l但不可否认对于可控参数比较少的情况，蒙特卡洛法不失为一个对研究对象获得认识的一个有效方法；（常用C+语言实现）l从计算来说，用蒙特卡洛法计算值确实粗糙，有时用更精确的算法，如级数算法，基于Markov链的Monte
5、 Carlo方法整理pptMonte carlo 期权定价方法基本思路期权定价方法基本思路l基本思路：l由于大部分期权价值实际上都可以归结为期权到期回报(payoff)的期望值的贴现；l因此，尽可能地模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路径，计算每种路径结果下的期权回报均值，之后贴现就可以得到期权价值。整理ppt 随机路径随机路径：在风险中性世界中， 为了模拟路径，我们把期权的有效期分为N个长度为时间段，则上式的近似方程为 或 （是从标准正态分布中抽取的一个随机样本）重复以上的模拟至足够大的次数，计算回报值的平均值，折现后就得到了期权的重复以上的模拟至足够大的次数，计算回报值的平均值，折现
6、后就得到了期权的期望值。期望值。特别地，当我们要用蒙特卡罗模拟为欧式期权定价时，由于期权回报只特别地，当我们要用蒙特卡罗模拟为欧式期权定价时，由于期权回报只与期权到期时刻的股票价格有关，因此我们就可以让与期权到期时刻的股票价格有关，因此我们就可以让t t=T=T并直接利用公式并直接利用公式（12.1112.11）来求）来求T T时刻的股票价格。这样可以大大节省计算时间时刻的股票价格。这样可以大大节省计算时间。整理ppt随机样本的产生和模拟运算次数的确定：1. 的产生 是服从标准正态分布的一个随机数。如果只有一个单变量，则可以通过下式获得：其中 是0到1的相互独立的随机数。2. 模拟运算次数的确
7、定如果对估计值要求95的置信度，则期权价值应满足 （ 是进行运算的次数， 为均值， 是标准差）整理ppt随机数许多计算机系统都有随机数生成函数F90: call random_seed call random_number(a)Matlab: x=rand(N) 产生元素在(0, 1)间随机分布的N*N矩阵 s= rand(state,0) 重设该生成函数到初始状态计算程序产生的随机数不是真正的随机数，它们是确定的，但看上去是随机的，且能通过一些随机性的检验，故常称为伪随机数。整理ppt主要优点： 1. 在大多数情况下，人们可以很直接地应用蒙特卡罗模拟方法，而无需对期权定价模型有深刻的理解 2
8、. 蒙特卡罗模拟的适用情形相当广泛主要缺点：1. 只能为欧式期权定价，难以处理提前执行的情形。2. 为了达到一定的精确度，一般需要大量的模拟运算。12Copyright Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008整理ppt主要思想是：应用有限差分方法将衍生证券所满足的偏微分方程13有限差分期权定价方法基本思路有限差分期权定价方法基本思路整理pptl转化为一系列近似的差分方程，即用离散算子逼近 、 和 各项，之后用迭代法求解，得到期权价值。l具体地说，有限差分方法就是用有限的离散区域来替代连续的时间和资产价格l在坐标图上，有限差分方法则体现为格点（Grids）有限差分期权定
9、价方法基本思路有限差分期权定价方法基本思路整理pptl首先将时间进行分割：l这样有N+1个时间段：l在期权有效期内，取整理ppt用用f表示期权的价格，隐性差分法采用如下策略：表示期权的价格，隐性差分法采用如下策略：隐性（内含）有限差分法隐性（内含）有限差分法整理pptl带入BS微分方程得到l其中整理pptlT时刻看跌期权的价值为l当股票价格为0时l当股票价格趋于无穷时整理pptl(14.26),(14.27),(14.28)定义了坐标方格中的三个边界的看跌期权值，还要用(14.25)式来求出坐标方格左边界的值。l首先求出与时刻对应的点。利用(14.25)式和i=N-1时刻的值，可以给出M-1个
10、同时成立的公式整理pptl这些方程中的右边值已由(14.26)式求出。另有(14.27)和(14.28)式可解出l对于美式看跌期权，在这一步之后，把每个与的值进行比较，如果前者较小，则此时就应该执行期权。l对于前一时刻，同样方法处理，最终可以得到期权初始时刻的价值。整理ppt显性（外推）有限差分法显性（外推）有限差分法l内含有限差分方法的优点是其有效性，当股票价格变化和时间变化趋于零时，它总是收敛于微分方程的解。缺点是为了从计算需要计算M-1个方程。如果能够假设(i,j)点和的值与(i+1,j)点的相同就可以简化计算。整理pptl而(14.22)和(14.24)就变成l而(14.25)变成了整理pptl其中整理ppt两种差分方法的异同：两种差分方法的异同：l内含方法得到it时刻的三个不同期权值与(i+1) t时刻的期权值之间的关系。l外推方法得到it时刻的一个期权值和(i+1) t的三个期权值之间的关系。l外推方法虽能提高计算效率但是有时会使得计算出来的解不收敛于微分方程的解。整理ppt此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！整理ppt
