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1、 第十六章第十六章 随机性决策分析方法随机性决策分析方法 第十六章第十六章 随机性决策分析方法随机性决策分析方法22024年年9月月13日日 随机性决策问题的基本概念；随机性决策问题的基本概念； 效用函数的概念；效用函数的概念； 效用与风险的关系效用与风险的关系； 随机优势与效用函数的关系；随机优势与效用函数的关系； 案例分析：彩票中的数学问题。案例分析：彩票中的数学问题。 一、问题的引入彩票与数学一、问题的引入彩票与数学32024年年9月月13日日 彩票中的数学知多少？彩票中的数学知多少？你们了解彩票吗？你们了解彩票吗？你们买过彩票吗？你们买过彩票吗？你们了解彩票的规你们了解彩票的规则吗？则
2、吗？No,Idontknow!请问几个问题：请问几个问题：（1 1）博彩有规律可寻吗？）博彩有规律可寻吗？（2 2）现行的各种彩票方案中奖的）现行的各种彩票方案中奖的可能性有多大？可能性有多大？（3 3）现行的彩票方案合理吗？哪）现行的彩票方案合理吗？哪种方案种方案“好好”？（4 4）我们应该如何看待彩票？中）我们应该如何看待彩票？中国的彩票业还有多大的发展空间国的彩票业还有多大的发展空间？我想应该有我想应该有规律吧！规律吧！啊！有这么悬啊！有这么悬乎吗乎吗？42024年年9月月13日日 一、问题的引入彩票与数学一、问题的引入彩票与数学 “彩票中的数学彩票中的数学”问题（问题（CUMCM200
3、2-BCUMCM2002-B） 近年来近年来“彩票飓风彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到多的人加入到“彩民彩民”的行列，目前流行的彩票主要有的行列，目前流行的彩票主要有“传传统型统型”和和“乐透型乐透型”两种类型。两种类型。 “传统型传统型”采用采用“10选选6+1”方案：方案： 中中 奖奖等等 级级10 选选 6+1（6+1/10） 基基 本本 号号 码码 特别号码特别号码说说 明明一等奖一等奖abcdef gabcdef g选选7中中（6+1）二等奖二等奖abcdefabcdef 选选7中（中（6）三等奖三等奖abcdeX Xbcdefabc
4、deX Xbcdef 选选7中（中（5）四等奖四等奖abcdXX XbcdeX XXcdefabcdXX XbcdeX XXcdef选选7中（中（4）五等奖五等奖abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef 选选7中（中（3）六等奖六等奖abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef 选选7中（中（2）52024年年9月月13日日 一、问题的引入彩票与数学一、问题的引入彩票与数学 “彩票中的数学彩票中的数学”问题（问题（CUMCM2002
5、-BCUMCM2002-B） “乐透型乐透型”有多种不同的形式，比如有多种不同的形式，比如“33选选7”的方案和的方案和“36选选6+1”的方案，的方案，中中 奖奖等等 级级33 选选 7（7/33）36 选选 6+1（6+1/36）基本号码基本号码 特别号码特别号码说说 明明基基 本本 号号 码码 特特别别号号码码说说 明明一等奖一等奖 选选7中（中（7） 选选7中（中（6+1）二等奖二等奖 选选7中（中（6+1） 选选7中（中（6）三等奖三等奖选选7中（中（6） 选选7中（中（5+1）四等奖四等奖 选选7中（中（5+1） 选选7中（中（5）五等奖五等奖选选7中（中（5） 选选7中（中（4+
6、1）六等奖六等奖 选选7中（中（4+1） 选选7中（中（4）七等奖七等奖选选7中（中（4） 选选7中（中（3+1）62024年年9月月13日日 一、问题的引入彩票与数学一、问题的引入彩票与数学“彩票中的数学彩票中的数学”问题（问题（CUMCM2002-BCUMCM2002-B）要解决的问题：要解决的问题：（1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。吸引力等因素评价各方案的合理性。（2）设计一种）设计一种“更好更好”的方案及相应的算法
7、，并据的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。此给彩票管理部门提出建议。（3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。）给报纸写一篇短文，供彩民参考。72024年年9月月13日日 二二. . 随机性决策的基本概念随机性决策的基本概念 随机性决策问题包含两个方面：随机性决策问题包含两个方面： 决策人所采取的行动方案决策人所采取的行动方案( (决策决策);); 问题的自然状态问题的自然状态( (状态状态) )； 基本特点：基本特点：后果的不确定性和后果的效用后果的不确定性和后果的效用。 后果的不确定性：后果的不确定性：由问题的随机性，使问题会出由问题的随机性，使问题会出现什么状态的不确定性，决策人
8、做出决策后会出现什么状态的不确定性，决策人做出决策后会出现后果的不确定性。现后果的不确定性。后果的效用：后果的效用：后果价值的量化。由后果的不确定后果价值的量化。由后果的不确定性，对于不同决策后果的效用是不同的。性，对于不同决策后果的效用是不同的。82024年年9月月13日日 1 、 主观概率主观概率 二二. . 随机性决策的基本概念随机性决策的基本概念 随机性决策问题后果的不确定性是由状态的不随机性决策问题后果的不确定性是由状态的不确定性引起的，状态的不确定性不能通过在相同条确定性引起的，状态的不确定性不能通过在相同条件下的大量重复试验来确定其概率分布。实际中只件下的大量重复试验来确定其概率
9、分布。实际中只能由能由决策人主观地做出估计决策人主观地做出估计，称其为，称其为主观概率主观概率。主观概率主观概率遵循客观概率应该遵循的假设、公理、遵循客观概率应该遵循的假设、公理、性质等，客观概率的所有逻辑推理方法均适用于主性质等，客观概率的所有逻辑推理方法均适用于主观概率。观概率。 设定主观概率的方法设定主观概率的方法：主观先验分布法、无信息：主观先验分布法、无信息先验分布法、极大熵先验分布法和利用过去数据设定先验分布法、极大熵先验分布法和利用过去数据设定先验分布法等。先验分布法等。v客观客观(Objective)概率概率：上述三种定义的概率是在多次重复：上述三种定义的概率是在多次重复试验（
10、随机试验）中，随机事件试验（随机试验）中，随机事件A发生的可能性的大小的发生的可能性的大小的度量，称为客观概率。度量，称为客观概率。v主观主观(Subjective)概率概率：在实际管理决策中，许多事件的发：在实际管理决策中，许多事件的发生概率是无法通过随机试验获得的，或条件不允许，或事生概率是无法通过随机试验获得的，或条件不允许，或事件本身不允许。因此需要一种方法来人为设定事件发生的件本身不允许。因此需要一种方法来人为设定事件发生的概率，称为主观概率。概率，称为主观概率。主观概率是人们根据经验、各方面主观概率是人们根据经验、各方面的知识以及了解到的客观情况进行分析、推理、综合判断，的知识以及
11、了解到的客观情况进行分析、推理、综合判断，对特定事件发生的可能性的信念（或意见、看法）的度量对特定事件发生的可能性的信念（或意见、看法）的度量(Savage,1954)。v公理化定义公理化定义：E是随机事件，是随机事件，S是是E的样本空间，对的样本空间，对E的每一的每一事件事件A，对应有确定的实数，对应有确定的实数p(A)，若，若p(A)满足：满足：非负性：非负性：p(A)0；规范性：规范性：p(S)=1；列可加性：对两两不相容列可加性：对两两不相容事件事件Ak，有，有p(kAk)=kp(Ak)。(AiAj=,ij)主观概率主观概率先验分布与先验假设先验分布与先验假设v先验分布先验分布(Pri
12、or Distribution)：根据先验信息所确定的概：根据先验信息所确定的概率分布叫先验分布，获得先验分布是贝叶斯分析的基础。率分布叫先验分布，获得先验分布是贝叶斯分析的基础。决策中先验分布的获得具有高度的主观性决策中先验分布的获得具有高度的主观性。v先验假设先验假设 ：为使先验分布估计规范化，需要做一定的假：为使先验分布估计规范化，需要做一定的假设。设。连通性假设连通性假设：指事件：指事件A和事件和事件B发生的可能性是可比的，发生的可能性是可比的，即即p(A)p(B), p(A)p(B), p(A)p(B), p(B)p(C), 则则p(A)p(C)。（满足连通性和传递性的二。（满足连通
13、性和传递性的二元关系才能构成完全序）元关系才能构成完全序）部分与全体关系假设部分与全体关系假设：若事件：若事件A是事件是事件B的一部分，则的一部分，则p(B)p(A)。主观概率主观概率先验分布估计先验分布估计:比较法比较法v比较法比较法1-离散型离散型（对事件发生的各种状态加以比较确定对事件发生的各种状态加以比较确定相对似然率相对似然率）某气象专家对当年的气候状况进行评估，认为当年某气象专家对当年的气候状况进行评估，认为当年气候正常气候正常( 1)与受灾的可能性之比约为与受灾的可能性之比约为3:2；如果；如果受灾，则水灾受灾，则水灾( 2)、旱灾、旱灾( 3) 的可能性相当。据的可能性相当。据
14、此，我们可推算出当年气候状况的先验分布：此，我们可推算出当年气候状况的先验分布： ( 1)+ ( 2)+ ( 3)=1; ( 1)/( ( 2)+ ( 3)=3/2; ( 2)= ( 3)解得：解得： ( 1)=0.6， ( 2)=0.2， ( 3)=0.2主观概率主观概率先验分布估计：比较法先验分布估计：比较法v比较法比较法2-连续型连续型离散化：同直方图法离散化：同直方图法比较赋值比较赋值选择一个似然率最大的子区间选择一个似然率最大的子区间 k作为基准，设其相对似作为基准，设其相对似然率为然率为Rk，然后给出其他各区间，然后给出其他各区间 i相对于相对于 k的似然率的似然率Ri，则则 (
15、i)=Ri/Ri由决策者给出每两个子区间似然率的比例关系：由决策者给出每两个子区间似然率的比例关系：rij= ( i)/ ( j)，然后计算出每个状态，然后计算出每个状态 i的似然率的似然率 ( i)。变换拟合：同直方图法变换拟合：同直方图法主观概率主观概率先验分布估计：打赌法先验分布估计：打赌法v打赌法（离散型）打赌法（离散型）设打赌者设打赌者(A)的个人财产为的个人财产为W。设事件。设事件E发生时发生时A获获得收入为得收入为p，(pW，0p1)，不发生时，不发生时A获得的获得的收入为收入为1-p。调整。调整p值使值使A感觉无论事件感觉无论事件E是否发生，是否发生，其收入基本相同。其收入基本
16、相同。则事件则事件E发生的可能性发生的可能性 (E)=1-p。主观概率主观概率先验分布估计：直方图法先验分布估计：直方图法v直方图法直方图法（适合于自然状态（适合于自然状态 在实轴某个区间在实轴某个区间连续连续取值取值）区间离散化：把区间离散化：把 的取值范围划分为若干子区间的取值范围划分为若干子区间 1 n赋值：估计每个区间的似然率赋值：估计每个区间的似然率 ( i)，据此作出，据此作出直方图直方图变换：将直方图拟合为概率分布函数变换：将直方图拟合为概率分布函数F(x)= x ( )不足之不足之处：v区区间数数n难以确定以确定v似然率似然率 ( i)估估计困困难vF(x)通常有通常有较大的尾
17、部大的尾部误差差主观概率主观概率先验分布估计：分位点法先验分布估计：分位点法v区间对分法（分位点法）区间对分法（分位点法）-连续型连续型确定事件不可能发生的临界状态取值（如某地区人确定事件不可能发生的临界状态取值（如某地区人口出生率不可能低于口出生率不可能低于9，但也不可能超过，但也不可能超过18）；）；求中位数：当状态取值为此值时，大于或小于此值求中位数：当状态取值为此值时，大于或小于此值的状态出现的概率相等（如某地区人口出生率的中的状态出现的概率相等（如某地区人口出生率的中位数为位数为12.5）；）；确定上下四分位点；确定上下四分位点；确定八分位点（一般仅取到八分位点）。确定八分位点（一般
18、仅取到八分位点）。主观概率主观概率先验分布估计：分布函数法先验分布估计：分布函数法v与给定形式的分布函数相匹配与给定形式的分布函数相匹配（最常用也容易滥用最常用也容易滥用）Matlab工具箱：工具箱：Statistics Toolbox / Probability Distributions均匀分布均匀分布（连续型）（连续型）：如果随机变量落在某个区间：如果随机变量落在某个区间(a, b)中任意等长度的子区间内的可能性相等，则中任意等长度的子区间内的可能性相等，则它服从均匀分布，均匀分布的概率密度函数为：它服从均匀分布，均匀分布的概率密度函数为： Matlab函数：函数：unifpdf(x,a
19、,b),unifit(DATA)ab主观概率主观概率先验分布估计：分布函数法先验分布估计：分布函数法二项分布二项分布：(离散型离散型)每次随机试验中事件每次随机试验中事件A出现的出现的概率为概率为p，n次独立试验中事件次独立试验中事件A出现出现k次的概率服次的概率服从二项分布：从二项分布：Matlab函数：函数：binopdf(k,n,p),binofit(k,n)泊松分布泊松分布： (离散型离散型)每次随机试验中事件每次随机试验中事件A出现的出现的概率为概率为p，n次（次（n，但，但n*p= 为常数）独立试为常数）独立试验中事件验中事件A出现出现k次的概率服从泊松分布：次的概率服从泊松分布：
20、Matlab函数：函数：poisspdf(k, ), poissfit(DATA)主观概率主观概率先验分布估计：分布函数法先验分布估计：分布函数法正态分布（高斯分布）正态分布（高斯分布）： (连续型连续型)若连续型随机变若连续型随机变量量 的概率密度函数为的概率密度函数为: 则称随机变量则称随机变量 服从参数为服从参数为 、 2的正态分布的正态分布Matlab函数：函数：normpdf(x, , ), normfit(DATA) 。参见相关统计学书籍，看看还有哪些分布函数可供参见相关统计学书籍，看看还有哪些分布函数可供选择使用？选择使用？222024年年9月月13日日 2、 随机性决策的效用函
21、数随机性决策的效用函数 二二. . 随机性决策的基本概念随机性决策的基本概念232024年年9月月13日日 2、 随机性决策的效用函数随机性决策的效用函数242024年年9月月13日日 效用函数的定义：效用函数的定义： 2、 随机性决策的效用函数随机性决策的效用函数252024年年9月月13日日 2、 随机性决策的效用函数随机性决策的效用函数262024年年9月月13日日 2、 随机性决策的效用函数随机性决策的效用函数272024年年9月月13日日 实际中的决策问题对决策人的决策往往是效益实际中的决策问题对决策人的决策往往是效益和风险并存。不同的决策人对待风险的态度可分和风险并存。不同的决策人
22、对待风险的态度可分为为厌恶型、中立型和喜好型。厌恶型、中立型和喜好型。 3 、效用与风险的关系、效用与风险的关系 二二. . 随机性决策的基本概念随机性决策的基本概念问题：问题：决策人对待这一风险的态度是什么呢？决策人对待这一风险的态度是什么呢？282024年年9月月13日日 3 3 、效用与风险的关系、效用与风险的关系 厌恶型厌恶型: 决策人认为冒此风险的期望盈利只决策人认为冒此风险的期望盈利只等价于比它低的不冒风险的盈利。等价于比它低的不冒风险的盈利。 喜好型喜好型: 对待风险的态度与厌恶型相反的。对待风险的态度与厌恶型相反的。 中立型：中立型：介于二者之间的，即决策人认介于二者之间的，即
23、决策人认为这和不冒任何风险的另一行为盈利为这和不冒任何风险的另一行为盈利a元等价。元等价。这三种不同的态度可以反映在效用函数上就这三种不同的态度可以反映在效用函数上就是是凹函数凹函数，线性函数线性函数和和凸函数凸函数。292024年年9月月13日日 3 3 、效用与风险的关系、效用与风险的关系302024年年9月月13日日 实际中，有的效用函数曲线呈实际中，有的效用函数曲线呈S S型型，即在后果的范，即在后果的范围内，决策人会从厌恶风险变为喜好风险。围内，决策人会从厌恶风险变为喜好风险。 3 3 、效用与风险的关系、效用与风险的关系 (1)反映了决策人的财产从小到大，对待风险的反映了决策人的财
24、产从小到大，对待风险的态度从态度从喜好到厌恶喜好到厌恶的改变。的改变。 (2)反映了决策人的财产从损失到盈利的增加，反映了决策人的财产从损失到盈利的增加，对待风险的态度从对待风险的态度从喜好到厌恶喜好到厌恶的变化。的变化。312024年年9月月13日日 4 4 4 4、损失函数与风险函数的关系、损失函数与风险函数的关系、损失函数与风险函数的关系、损失函数与风险函数的关系 二二. . 随机性决策的基本概念随机性决策的基本概念322024年年9月月13日日4 4、损失函数与风险函数的关系、损失函数与风险函数的关系、损失函数与风险函数的关系、损失函数与风险函数的关系332024年年9月月13日日 5
25、 、随机优势与效用函数随机优势与效用函数 二二. . 随机性决策的基本概念随机性决策的基本概念 随机优势法随机优势法:在有价证券问题的研究中常用的在有价证券问题的研究中常用的一种在一定风险的情况下确定决策的方法。一种在一定风险的情况下确定决策的方法。随机优势法常用的效用函数有三种：随机优势法常用的效用函数有三种：342024年年9月月13日日 5 、随机优势与效用函数随机优势与效用函数 （）递增的效用函数（）递增的效用函数 352024年年9月月13日日 5 、随机优势与效用函数随机优势与效用函数 （）递增的效用函数（）递增的效用函数 这种类型的效用函数仅能反映出财富与风险的这种类型的效用函数
26、仅能反映出财富与风险的关系，但不能反映出决策人对待风险的态度。关系，但不能反映出决策人对待风险的态度。362024年年9月月13日日 5 、随机优势与效用函数随机优势与效用函数 （）递增的凹效用函数（）递增的凹效用函数 372024年年9月月13日日 5 、随机优势与效用函数随机优势与效用函数 （）递增的凹效用函数（）递增的凹效用函数 事实上，可以证明：事实上，可以证明： （3）递减的厌恶风险的效用函数）递减的厌恶风险的效用函数382024年年9月月13日日 5 、随机优势与效用函数随机优势与效用函数 392024年年9月月13日日 （3）递减的厌恶风险的效用函数）递减的厌恶风险的效用函数 5
27、 、随机优势与效用函数随机优势与效用函数 402024年年9月月13日日 1、问题的提出、问题的提出三、案例分析：彩票中的数学问题三、案例分析：彩票中的数学问题要解决的问题：要解决的问题：（1）根据所给方案的具体情况，综合分析各种奖项）根据所给方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。吸引力等因素评价各方案的合理性。（2）设计一种）设计一种“更好更好”的方案及相应的算法，并据的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。此给彩票管理部门提出建议。（3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。
28、）给报纸写一篇短文，供彩民参考。412024年年9月月13日日 、问题的分析、问题的分析三、案例分析：彩票中的数学问题三、案例分析：彩票中的数学问题评价一个方案的优劣，或合理性如何，主要取评价一个方案的优劣，或合理性如何，主要取决于彩票公司和彩民两方面的利益。决于彩票公司和彩民两方面的利益。事实上，公司和彩民各得销售总额的事实上，公司和彩民各得销售总额的50% 50% 是确是确定的，双方的利益主要就取决于销售总额的大小，定的，双方的利益主要就取决于销售总额的大小，即双方的利益都与销售额成正比。即双方的利益都与销售额成正比。问题是怎样才能有利于销售额的增加？即公司问题是怎样才能有利于销售额的增加
29、？即公司采用什么样的方案才能吸引广大的彩民积极踊跃购采用什么样的方案才能吸引广大的彩民积极踊跃购买彩票？买彩票？422024年年9月月13日日 问题涉及到一个方案的设置使彩民获奖的问题涉及到一个方案的设置使彩民获奖的可能可能性性有多大、有多大、奖金额奖金额有多少、有多少、中奖面中奖面怎样、各怎样、各奖项奖项的设置的设置是否合理等因素，这些都对彩民的购买彩是否合理等因素，这些都对彩民的购买彩票的吸引力有产生一定的影响，在这里可用彩民票的吸引力有产生一定的影响，在这里可用彩民的的心理曲线心理曲线来描述一个方案对彩民的来描述一个方案对彩民的吸引力吸引力。另外，一个方案对彩民的影响程度可能与区另外，一
30、个方案对彩民的影响程度可能与区域有关，即与彩民所在地区的经济状况以及收入域有关，即与彩民所在地区的经济状况以及收入和消费水平有关。和消费水平有关。为此，要考查一个方案的合理性问题，需要为此，要考查一个方案的合理性问题，需要综合考虑以上这些因素的影响，这是建立模型的综合考虑以上这些因素的影响，这是建立模型的关键所在。关键所在。 2、问题的分析、问题的分析432024年年9月月13日日 、模型的建立与求解、模型的建立与求解三、案例分析：彩票中的数学问题三、案例分析：彩票中的数学问题问题（一）：问题（一）：根据所给方案的具体情况，综合分析各根据所给方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和
31、奖金额的设置以及对彩种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。民的吸引力等因素评价各方案的合理性。（1 1）彩民获各项奖的概率）彩民获各项奖的概率442024年年9月月13日日 3、模型的建立与求解、模型的建立与求解（2 2）综合评价各种方案的合理性）综合评价各种方案的合理性452024年年9月月13日日 3、模型的建立与求解、模型的建立与求解462024年年9月月13日日 综合（综合（1)1)和（和（2 2）式，利）式，利用用MatlabMatlab编程计算出编程计算出2929种方种方案的合理性指标值及高项奖案的合理性指标值及高项奖的期望值，排在前三位的如的期望值，排在前三位的如下表：下表：指 标方 案排 序97/304.00910-71.0861062067914101117/313.78410-71.704106324482116257/293.63710-77.5571053598417143 3、模型的建立与求解、模型的建立与求解472024年年9月月13日日 问题（问题（2）设计一种更好的方案设计一种更好的方案 3、模型的建立与求解、模型的建立与求解482024年年9月月13日日 问题（问题（2）设计一种更好的方案）设计一种更好的方案492024年年9月月13日日 问题（问题（2）设计一种更好的方案）设计一种更好的方案
