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1、数值计算方法 数学与信息科学系数学与信息科学系 汪远征汪远征绪 言1.1 为什么要学习数值分析1.2 如何学习数值分析1.3 数值分析研究的对象与特点绪 言1.1 1.1 为什么要学习数值分析为什么要学习数值分析现实世界的问题可以归结为各种各样的数学问题现实世界的问题可以归结为各种各样的数学问题 方程求根问题方程求根问题 解线性方程组的问题解线性方程组的问题 定积分问题定积分问题 常微分方程初值问题常微分方程初值问题等等等等1. 方程求根问题在在科科学学计计算算中中常常要要遇遇到到求求解解各各种种方方程程，对对于于高高次次代代数数方方程程，由由代代数数基基本本定定理理知知多多项项式式根根的的个
2、个数数和和方方程程的的阶阶相相同同，但但对对超超越越方方程程就就复复杂杂的的多多，如如果果有有解解，其其解解可可能能是是一一个个或或几几个个，也可能是无穷多个。例如：也可能是无穷多个。例如：高次代数方程高次代数方程 x5 3x7 = 0超越方程超越方程 e-x cosx = 0看似简单，但难求其精确解。看似简单，但难求其精确解。2. 解线性方程组的问题由由线线性性代代数数知知识识可可知知：当当线线性性方方程程组组Ax = b的的系系数数矩矩阵阵A非非奇奇异异(即即detA0)时时，方方程程组组有有唯唯一一解解，可可用用克克莱莱默默法法则则求求解解，但但它它只只适适合合于于n很很小小的的情情况况
3、，而而完完全全不不适适合合于于高高次次方程组。方程组。如如用用克克莱莱默默法法则则求求解解一一个个n阶阶方方程程组组，要要算算n + 1个个n阶阶行行列列式式的的值值，总总共共需需要要n!(n-1)(n+1)次次乘乘法法。当当n充充分分大大时时，计算量是相当惊人的：计算量是相当惊人的：一一个个20阶阶不不算算太太大大的的方方程程组组，大大约约要要做做1021次次乘乘法法，这这项项计计算算即即使使每每秒秒1万万亿亿次次浮浮点点数数乘乘法法计计算算的的计计算算机机去去做做，也也要要连连续续工工作作2000万万亿亿年年才才能能完完成成。当当然然这这是是完完全全没没有有实实际际意义的，故需要寻找有效算
4、法意义的，故需要寻找有效算法3. 定积分问题由由微微积积分分知知识识知知，定定积积分分的的计计算算可可以以使使用用牛牛顿顿莱莱布布尼尼兹公式：兹公式：其中其中F(x)为被积函数为被积函数f(x)的原函数。的原函数。为何要进行数值积分？为何要进行数值积分？原因之一：许多形式上很简单的函数，例如原因之一：许多形式上很简单的函数，例如等，它们的原函数不能用初等函数表示成有限形式。等，它们的原函数不能用初等函数表示成有限形式。原原因因之之二二：有有些些被被积积函函数数的的原原函函数数过过于于复复杂杂，计计算算不不便便。例如例如的一个原函数是的一个原函数是原因之三：原因之三：f(x)以离散数据点形式给出
5、：以离散数据点形式给出：xix0x1xnyi = f(xi)y0y1yn4. 常微分方程初值问题对对一一些些典典型型的的微微分分方方程程，如如可可分分离离变变量量方方程程、一一阶阶线线性性方方程程等等，有有可可能能找找出出它它们们的的一一般般解解表表达达式式，然然后后用用初初始始条条件件确确定定表表达达式式中中的的任任意意常常数数，这这样样即即能能确确定定解解。但但是是对对于于常常微分方程初值问题：微分方程初值问题：则无法求出一般解则无法求出一般解1.2 1.2 如何学习数值分析如何学习数值分析1. 1. 注意掌握各种方法的基本原理注意掌握各种方法的基本原理2. 2. 注意各种方法的构造手法注
6、意各种方法的构造手法3. 3. 重视各种方法的误差分析重视各种方法的误差分析4. 4. 做一定量的习题做一定量的习题5. 5. 注意与实际问题相联系注意与实际问题相联系1.3 1.3 数值分析研究的对象与特点数值分析研究的对象与特点1. 数值分析研究的对象数数值值分分析析实实质质上上是是以以数数学学问问题题为为研研究究对对象象，不不像像纯纯数数学学那那样样只只研研究究数数学学本本身身的的理理论论，而而是是把把理理论论与与计计算算紧紧密密结结合合，着重研究数学问题的数值方法及理论。着重研究数学问题的数值方法及理论。数数值值分分析析是是计计算算数数学学的的一一个个主主要要部部分分，计计算算数数学学
7、是是数数学学科科学学的的一一个个分分支支，它它研研究究用用计计算算机机求求解解各各种种数数学学问问题题的的数数值值计算方法及其理论与软件实现。计算方法及其理论与软件实现。2. 数值分析的特点数值分析具有的特点，概括起来有四点。数值分析具有的特点，概括起来有四点。(1) (1) 面面向向计计算算机机，要要根根据据计计算算机机特特点点提提供供实实际际可可行行的的有有效效算算法法。即即算算法法只只能能包包括括加加、减减、乘乘、除除运运算算和和逻逻辑辑运运算算，是计算机能直接处理的。是计算机能直接处理的。(2) (2) 有有可可靠靠的的理理论论分分析析，能能任任意意逼逼近近并并达达到到精精度度要要求求
8、，对对近近似似算算法法要要保保证证收收敛敛性性和和数数值值稳稳定定性性，还还要要对对误误差差进进行行分分析。这都建立在相应数学理论的基础上。析。这都建立在相应数学理论的基础上。2. 数值分析的特点数值分析具有的特点，概括起来有四点。数值分析具有的特点，概括起来有四点。(3) (3) 要要有有好好的的计计算算复复杂杂性性，时时间间复复杂杂性性好好是是指指节节省省时时间间，空空间间复复杂杂性性好好是是指指节节省省存存储储量量，这这也也是是建建立立算算法法要要研研究究的的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。问题，它关系到算法能否在计算机上实现。(4) (4) 要要有有数数值值实实验验，即即任任何何
9、一一个个算算法法除除了了从从理理论论上上要要满满足足上述三点外，还要通过数值实验证明是行之有效的。上述三点外，还要通过数值实验证明是行之有效的。1.4 1.4 数值分析研究的基本概念数值分析研究的基本概念1. 数学模型实实际际问问题题经经抽抽象象、简简化化而而产产生生的的一一组组解解析析表表达达式式或或原原始始数数据。据。2. 数值问题输输入入数数据据与与输输出出数数据据之之间间函函数数关关系系的的一一个个确确定定而而无无歧歧义义的的描述。描述。例：求二次方程例：求二次方程ax2+bx+c=0的根，可算作一个数值问题。的根，可算作一个数值问题。注：数学模型并不都是数值问题，如：常微分方程：注：
10、数学模型并不都是数值问题，如：常微分方程：就不是一个数值问题，其解为函数就不是一个数值问题，其解为函数y = x2 + 3x。 要要将将常常微微分分方方程程的的求求解解问问题题变变成成数数值值问问题题，需需要要进进行行“离离散散化化”：将将求求函函数数转转换换为为求求函函数数值值：y(x1)，y(x2)，y(xn)，0 x1 x2xn= a.3. 数值方法求求解解数数值值问问题题的的计计算算机机上上可可以以执执行行的的系系列列计计算算公公式式。计计算算机机上上可可执执行行的的计计算算公公式式有有：四四则则运运算算、逻逻辑辑运运算算、标标准准函函数。数。注：计算公式不都属于数值方法，如积分、求极
11、限运算等。注：计算公式不都属于数值方法，如积分、求极限运算等。4. 数值算法指指有有步步骤骤地地完完成成解解数数值值问问题题的的过过程程，数数值值方方法法是是它它的的前前提提和基础，它是数值方法的具体化。具备以下四个特性：和基础，它是数值方法的具体化。具备以下四个特性：(1) (1) 目目的的性性：给给出出输输入入数数据据和和输输出出数数据据的的明明确确的的规规定定与与要要求。求。(2) (2) 确确定定性性：必必须须精精确确地地给给出出每每一一步步的的操操作作定定义义，不不允允许许有歧义。有歧义。(3) (3) 可执行性：每个操作都是可以执行的。可执行性：每个操作都是可以执行的。(4) (4) 有穷性：必须在有限步内能够结束。有穷性：必须在有限步内能够结束。5. 算法设计的目的(1) (1) 寻寻找找能能达达到到“数数值值问问题题”要要求求的的计计算算精精度度的的数数值值方方法法可靠性可靠性(2) (2) 提高计算速度和减少存储空间提高计算速度和减少存储空间计算复杂性好计算复杂性好(3) (3) 为程序设计做好准备为程序设计做好准备
