《高考数学二轮复习 专题辅导与训练 3.2 函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质教学课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学二轮复习 专题辅导与训练 3.2 函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质教学课件（94页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二讲函数y=Asin(x+)的图象与性质【主干知识主干知识】1.1.重要性质重要性质(1)(1)增减性增减性: :函数函数递增区间递增区间递减区间递减区间y=y=sinxsinx_y=y=cosxcosx_y=y=tanxtanx_无无( (kZkZ) )( (kZkZ) )-+2k,2k(kZ)-+2k,2k(kZ)2k,+2k(kZ)2k,+2k(kZ)( (kZkZ) )(2)(2)对称性对称性: :函数函数对称中心对称中心对称轴对称轴y=y=sinxsinx_y=y=cosxcosx_y=y=tanxtanx_无无(k,0)(kZ)(k,0)(kZ)x=x=k(kZk(kZ) )2.
2、2.易错提醒易错提醒(1)(1)忽视定义域忽视定义域: :求解三角函数的单调区间、最值求解三角函数的单调区间、最值( (值域值域) )以及作图象等问题时以及作图象等问题时, ,要注意函数的定义域要注意函数的定义域. .(2)(2)重视图象变换顺序重视图象变换顺序: :在图象变换过程中在图象变换过程中, ,注意分清是先相位变换注意分清是先相位变换, ,还是先周期变换还是先周期变换. .变换只是相对于其中的自变量变换只是相对于其中的自变量x x而言的而言的, ,如果如果x x的系数不是的系数不是1,1,就就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.
3、.(3)(3)忽视忽视A,A,的符号的符号: :在求在求y=y=Asin(x+Asin(x+) )的单调区间时的单调区间时, ,要特别注意要特别注意A A和和的符号的符号, ,若若0,0)- )(0)的最小正周期为的最小正周期为,则（则（ ）A.f(xA.f(x) )在在(0, )(0, )上单调递增上单调递增B.f(xB.f(x) )在在(0, )(0, )上单调递减上单调递减C.f(xC.f(x) )在在(0, )(0, )上单调递增上单调递增D.f(xD.f(x) )在在(0, )(0, )上单调递减上单调递减【解析解析】选选B.f(xB.f(x)=)=sin(xsin(x+ )+ )+
4、sin(xsin(x- )- )=2sin =2sin xcosxcos =-sin =-sin xx, ,又因为函数又因为函数f(xf(x) )的最小正周期为的最小正周期为,所以所以=2,f(x)=-sin 2x,=2,f(x)=-sin 2x,由正弦函数的单调性可知，由正弦函数的单调性可知，f(xf(x) )在在(0, )(0, )上单调递减上单调递减. .2.2.（20142014辽宁高考）将函数辽宁高考）将函数y=3sin(2x+ )y=3sin(2x+ )的图象向右平的图象向右平移移 个单位长度个单位长度, ,所得图象对应的函数所得图象对应的函数( )( )A.A.在区间在区间 上单
5、调递减上单调递减B.B.在区间在区间 上单调递增上单调递增C.C.在区间在区间 上单调递减上单调递减D.D.在区间在区间 上单调递增上单调递增【解析解析】选选. .函数函数y=3sin(2x+ )y=3sin(2x+ )的图象向右平移的图象向右平移 个单位长个单位长度度, ,所得图象对应的函数为所得图象对应的函数为y=3sin2(x- )+ y=3sin2(x- )+ y=3sin(2x- ).y=3sin(2x- ).由由2k- 2x- 2k+ (kZ)2k- 2x- 2k+ (kZ)得得k+ xk+ (kZ),k+ xk+ (kZ),3.3.（20142014浙江高考）为了得到函数浙江高考
6、）为了得到函数y=sin 3x+cos 3xy=sin 3x+cos 3x的图的图象，可以将函数象，可以将函数y= y= coscos 3x 3x的图象（的图象（ ）A.A.向右平移向右平移 个单位个单位 B.B.向右平移向右平移 个单位个单位C.C.向左平移向左平移 个单位个单位 D.D.向左平移向左平移 个单位个单位【解析解析】选选A.A.因为因为y=sin 3x+cos 3x= cos(3xy=sin 3x+cos 3x= cos(3x ) )，故只，故只需将需将y= y= coscos 3x 3x的图象向右平移的图象向右平移 个单位即可个单位即可. .4.4.（20142014江苏高考
7、）已知函数江苏高考）已知函数y=y=coscos x x与与y=sin(2x+y=sin(2x+) )(0(0),),它们的图象有一个横坐标为它们的图象有一个横坐标为 的交点的交点, ,则则的的值是值是_._.【解析解析】由题意得由题意得sin( +sin( +)= =coscos = = ，又由又由000,0,0,0,| | )|0b0时，由时，由2k- 2x+ 2k+ (kZ),2k- 2x+ 2k+ (kZ),解得解得kk- - xkxk+ (kZ)+ (kZ)，故，故错误错误. .综上可知，综上可知，正确正确. .答案：答案：(2)(2)由已知由已知2sin2sin即即因为因为0 0所
8、以所以f(xf(x)=2sin )=2sin xcos(xxcos(x- )- )=2sin =2sin x(cosx(cos xcosxcos +sin +sin xsinxsin ) )= sin 2x+ (1-cos 2x)= sin 2x+ (1-cos 2x)=sin(2x- )+ =sin(2x- )+ ，由由2k- 2x- 2k+ (kZ)2k- 2x- 2k+ (kZ)，得得k- xk+ (kZ)k- xk+ (kZ)，故函数故函数f(xf(x) )的单调递增区间为的单调递增区间为 kk- ,- ,kk+ (kZ).+ (kZ).【互动探究互动探究】在（在（2 2）的条件下，求
9、函数）的条件下，求函数f(xf(x) )的最小正周期和的最小正周期和对称轴方程对称轴方程. .【解析解析】由题（由题（2 2）知）知f(xf(x)=sin)=sin所以最小正周期所以最小正周期T= =.T= =.由由2x- =k+ (kZ)2x- =k+ (kZ)，得得x= (kZ)x= (kZ)，所以所以f(xf(x)= )= 的对称轴方程为的对称轴方程为x= x= （kZkZ）. .【规律方法规律方法】求解三角函数性质常用结论与技巧求解三角函数性质常用结论与技巧（1 1）运用整体换元法求解单调区间与对称性：）运用整体换元法求解单调区间与对称性：类比类比y=sin xy=sin x的性质，只
10、需将的性质，只需将y=y=Asin(x+Asin(x+) )中的中的“x+x+”看成看成y=sin xy=sin x中的中的“x x”，采用整体代入求解，采用整体代入求解. .令令xxkk （kZkZ），可求得对称轴方程；），可求得对称轴方程；令令xxk(kZk(kZ) )，可求得对称中心的横坐标；，可求得对称中心的横坐标；将将xx看作整体，可求得看作整体，可求得y yAsin(xAsin(x) )的单调区间，的单调区间，注意注意的符号的符号. .(2)(2)奇偶性奇偶性: :函数函数y=y=Asin(x+Asin(x+),xR),xR是奇函数是奇函数= =k(kZk(kZ););函数函数y=
11、y=Asin(x+Asin(x+),xR),xR是偶函数是偶函数= =kk+ (+ (kZkZ););函数函数y=y=Acos(x+Acos(x+),xR),xR是奇函数是奇函数= =kk+ (+ (kZkZ););函数函数y=y=Acos(x+Acos(x+),xR),xR是偶函数是偶函数= =k(kZk(kZ););函数函数y=y=Atan(x+Atan(x+),xR),xR是奇函数是奇函数= (= (kZkZ).).(3)(3)周期性周期性: :函数函数y=y=Asin(x+Asin(x+)()(或或y=y=Acos(x+Acos(x+)的最小正周期的最小正周期T=T=注意注意y=|y=
12、|Asin(x+Asin(x+)|)|的周期的周期T= T= (4)(4)最值最值( (或值域或值域):):求最值求最值( (或值域或值域) )时时, ,一般要确定一般要确定u=u=x+x+的范围的范围, ,然后结合函数然后结合函数y=y=sinusinu或或y=y=cosucosu的性质可得函数的最值的性质可得函数的最值( (值域值域).).【变式训练变式训练】1.(20141.(2014北京高考北京高考) )设函数设函数f(xf(x)=)=Asin(xAsin(x+ +)(A,)(A,是常数，是常数，A0,0).A0,0).若若f(xf(x) )在区间在区间 上具有上具有单调性，且单调性，
13、且 则则f(xf(x) )的最小正周期为的最小正周期为_._.【解析解析】由由 可知，图象关于可知，图象关于 对称，由对称，由 知，图象关于知，图象关于 对称对称. .又因为又因为f(xf(x) )在区间在区间 上上具有单调性，所以最小正周期为具有单调性，所以最小正周期为答案：答案：2.2.（20142014保定模拟）已知函数保定模拟）已知函数f(xf(x)=)=coscos( +( +x)x)coscos( -( -x)-sin x)-sin xcosxcos x+ . x+ .(1)(1)求函数求函数f(xf(x) )的最小正周期和最大值的最小正周期和最大值. .(2)(2)求函数求函数f
14、(xf(x) )在在0,0,上的单调递减区间上的单调递减区间. .【解析解析】（1 1）因为）因为f(xf(x)=)=coscos( +( +x)cosx)cos( -x)- ( -x)- （2 2）由）由2k2x+ 2k+,kZ,2k2x+ 2k+,kZ,得得kk- - xkxk+ ,kZ,+ ,kZ,函数函数f(xf(x) )的单调递减区间为的单调递减区间为 kk- ,- ,kk+ ,+ ,kZkZ. .又因为又因为xx0,0, ,则则f(xf(x) )在在0,0,上的单调递减区间为上的单调递减区间为【加固训练加固训练】1.(20141.(2014苏州模拟苏州模拟) )已知函数已知函数f(
15、xf(x)=)=2sin(2x- )2sin(2x- )（00）的最大值与最小正周期相同，）的最大值与最小正周期相同，则函数则函数f(xf(x) )在在-1,1-1,1上的单调增区间为上的单调增区间为_._.【解析解析】由题意可知，函数由题意可知，函数f(xf(x)=2sin(x- ),)=2sin(x- ),令令- +2kx- +2k,kZ- +2kx- +2k,kZ，解得解得- +2kx +2k,kZ,- +2kx +2k,kZ,又又xx-1,1-1,1, ,得得- x ,- x ,所以函数所以函数f(xf(x) )在在-1,1-1,1上的单调增区间为上的单调增区间为答案：答案：2.2.已
16、知函数已知函数f(xf(x) )4cos 4cos x xsin(xsin(x+ )+ )a a的最大值为的最大值为2.2.(1)(1)求求a a的值及的值及f(xf(x) )的最小正周期的最小正周期. .(2)(2)求求f(xf(x) )的单调递增区间的单调递增区间. .【解析解析】(1)f(x)(1)f(x)4cos 4cos x xsin(xsin(x+ )+ )a a4cos x4cos x( sin x+ cos x)( sin x+ cos x)a a2 sin xcos x2 sin xcos x2cos2cos2 2x x1 11 1a a sin 2x sin 2xcos 2
17、xcos 2x1 1a a2sin(2x+ )2sin(2x+ )1 1a.a.所以当所以当sin(2x+ )sin(2x+ )1 1时，时，f(xf(x) )取得最大值取得最大值2 21 1a a3 3a a，又又f(xf(x) )的最大值为的最大值为2 2，所以所以3 3a a2 2，即，即a a1.1.f(xf(x) )的最小正周期的最小正周期T T .(2)(2)由由(1)(1)得，得，f(xf(x) )2sin(2x+ )2sin(2x+ )，所以所以 2k2x2k2x 2k2k，kZkZ，得得 2k2x 2k2x 2k2k，kZkZ. .所以所以 kxkx kk，kZkZ. .所以
18、所以f(xf(x) )的单调递增区间为的单调递增区间为- +- +kk, +k, +k（kZkZ）. .热点考向二热点考向二 三角函数的图象三角函数的图象 【考情快报考情快报】高频考向高频考向多维探究多维探究难度难度: :中档题中档题命题指数命题指数:题型题型: :以选择题、填空题为主以选择题、填空题为主考查方式考查方式: :主要考查由解析式作函数的图象或由图象特点求解主要考查由解析式作函数的图象或由图象特点求解析式及函数析式及函数y=y=Asin(x+Asin(x+) )的图象变换的图象变换, ,体现数形结合思想的体现数形结合思想的应用应用命题角度一命题角度一 由图象特点求解析式由图象特点求
19、解析式【典题【典题2 2】（1 1）（）（20132013四川高考）函数四川高考）函数f(xf(x)=2sin(x+)=2sin(x+)(0,)(0, )0, 0, ）的部分图象，其中）的部分图象，其中A A，B B两点之间的距两点之间的距离为离为5,5,那么那么f(-1)=f(-1)=（ ）A. B.- C.2 D.-2A. B.- C.2 D.-2【信息联想信息联想】（1 1）看到）看到 想到想到_;_;看到看到 想到想到_._.(2)(2)看到看到A A，B B两点间距离为两点间距离为5 5，想到，想到_；看到过看到过(0,1)(0,1)点，想到点，想到_._.半个周期为半个周期为3 3
20、2sin 2sin =1=1【规范解答规范解答】（1 1）选）选A.A.根据图象知根据图象知所以所以T=,T=,可得可得=2,=2,又图象过又图象过( ,2)( ,2)点，点，所以有所以有: :(2)(2)选选C.C.由图象知由图象知f(0)=1f(0)=1，即，即2sin 2sin =1,=1,所以所以sin sin = =又又 , ,故故= =而而A A，B B两点间距离为两点间距离为5,5,所以所以T=6,=T=6,=所以所以f(xf(x)=)=f(-1)=2sin =f(-1)=2sin =2sin2sin =2. =2.命题角度二命题角度二 三角函数图象变换三角函数图象变换【典题典题
21、3 3】（1 1）（）（20142014安徽高考）若将函数安徽高考）若将函数f(xf(x)=sin 2x)=sin 2x+cos 2x+cos 2x的图象向右平移的图象向右平移个单位，所得图象关于个单位，所得图象关于y y轴对称，轴对称，则则的最小正值是（的最小正值是（ ）(2)(2014(2)(2014长沙模拟长沙模拟) )将函数将函数f(xf(x)= )= 的图象向左平移的图象向左平移(0(0)0)(0)倍，纵坐标不变，得到函数倍，纵坐标不变，得到函数y=y=g(xg(x) )的图象，已知的图象，已知函数函数y=y=g(xg(x) )是周期为是周期为的偶函数，则的偶函数，则,的值分别为（的
22、值分别为（ ）【信息联想信息联想】（1 1）看到平移变换，想到）看到平移变换，想到_._.(2)(2)看到平移、缩短变换，想到看到平移、缩短变换，想到_._.三角函数三角函数y=y=Asin(x+Asin(x+) )的图象变换的图象变换三角函数三角函数y=y=Asin(x+Asin(x+) )的图象变换的图象变换【规范解答规范解答】（1 1）选）选C.C.将函数将函数f(xf(x)=sin 2x+cos 2x=)=sin 2x+cos 2x= sin(2x+ ) sin(2x+ )的图象向右平移的图象向右平移个单位，个单位，所得函数为所得函数为y= sin2(xy= sin2(x)+ )+ =
23、 sin2x+( -2= sin2x+( -2)，其图象关于，其图象关于y y轴对称，轴对称，所以所以 -2-2= +k(kZ)= +k(kZ)，所以，所以的最小正值是的最小正值是【规律方法规律方法】1.1.函数表达式函数表达式y=y=Asin(x+Asin(x+)+B)+B的确定方法的确定方法字母字母确定途径确定途径说明说明A A由最值确定由最值确定B B由最值确定由最值确定字母字母确定途径确定途径说明说明由函数的周期由函数的周期确定确定相邻的最高点与最低点的横坐标之差相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点的绝对值为半个周期，最高点( (或最低或最低点点) )的横坐标与相
24、邻零点差的绝对值为的横坐标与相邻零点差的绝对值为 个周期个周期 由图象上的特由图象上的特殊点确定殊点确定可通过认定特殊点是五点中的第几个关可通过认定特殊点是五点中的第几个关键点键点, ,然后列方程确定然后列方程确定; ;也可通过解简单也可通过解简单三角方程确定三角方程确定【变式训练变式训练】1.(20141.(2014台州模拟台州模拟) )函数函数f(xf(x) )的图象如图的图象如图, ,则则f(xf(x) )的解析式可能是的解析式可能是( () )A.f(x)=cos2xA.f(x)=cos2xB.f(x)=-sinB.f(x)=-sinC.f(x)=cosC.f(x)=cosD.f(x)
25、=sinD.f(x)=sin【解析解析】选选D.D.对于对于A A，当，当x=0x=0时，由图象知时，由图象知y=f(0)(-1,0),y=f(0)(-1,0),而而f(0)=f(0)=coscos 0=1 0=1(-1,0)(-1,0)，故可排除，故可排除A A；对于；对于B B，设，设f(xf(x)=)=sin(x+sin(x+),),由图知，函数的周期由图知，函数的周期 即即解得解得 ，可排除，可排除B B；对于；对于C C，当，当x= x= 时，时，= =coscos =-10, =-10,即即f(xf(x)=)=coscos 不经过（不经过（ ,0,0），故可），故可排除排除C C；
26、对于；对于D D，由以上分析知，由以上分析知，=sin =0=sin =0，满足题意，故，满足题意，故D D正确正确. .2.2.（20142014北京高考）函数北京高考）函数f(xf(x)=3sin)=3sin（2x+ 2x+ ）的部分图象如）的部分图象如图所示图所示. .（1 1）写出）写出f(xf(x) )的最小正周期及图中的最小正周期及图中x x0 0,y,y0 0的值的值. .（2 2）求）求f(xf(x) )在区间在区间 上的最大值和最小值上的最大值和最小值. .【解题提示解题提示】(1)(1)由图象及解析式可求由图象及解析式可求. .(2)(2)先求出整体先求出整体2x+ 2x+
27、 的范围的范围, ,再求再求f(xf(x) )的最值的最值. .【解析解析】(1)f(x)(1)f(x)的最小正周期为的最小正周期为,x,x0 0= ,y= ,y0 0=3.=3.(2)(2)因为因为x ,x ,所以所以2x+ - ,0,2x+ - ,0,于是当于是当2x+ =0,2x+ =0,即即x=- x=- 时时, ,f(xf(x) )取得最大值取得最大值0;0;当当2x+ =- ,2x+ =- ,即即x=- x=- 时时, ,f(xf(x) )取得最小值取得最小值-3.-3.【加固训练加固训练】1.1.如图是函数如图是函数y=y=Asin(x+Asin(x+)(xR)(xR) )在区间
28、在区间 上的图象上的图象. .为了得到这个函数的图象，只要将为了得到这个函数的图象，只要将y=y=sin sin x(xRx(xR) )的图象上所有的点（的图象上所有的点（ ）A.A.向左平移向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的来的 倍，纵坐标不变倍，纵坐标不变B.B.向左平移向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的来的2 2倍，纵坐标不变倍，纵坐标不变C.C.向左平移向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的来的 倍，纵坐标不变倍
29、，纵坐标不变D.D.向左平移向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的的2 2倍，纵坐标不变倍，纵坐标不变【解析解析】选选A.A.由图象可知函数的周期为由图象可知函数的周期为,振幅为振幅为1 1，所以函数的表达式可以是所以函数的表达式可以是y=sin(2x+y=sin(2x+).).代入代入(- ,0)(- ,0)可得可得的一个值为的一个值为 , ,故图象对应函数的一个表达式是故图象对应函数的一个表达式是y=sin(2x+ ),y=sin(2x+ ),所以只需将所以只需将y=sin y=sin x(xRx(xR) )的图象上所有的点向左平移
30、的图象上所有的点向左平移 个单个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不倍，纵坐标不变变. .2.2.如图是函数如图是函数f(xf(x)=)=Asin(x+Asin(x+)+B(A)+B(A0,0,|0,0,| | ) )图象图象的一部分，则的一部分，则f(xf(x) )的解析式为的解析式为_._.【解析解析】由图可知由图可知又函数又函数f(xf(x)=2sin(x+)=2sin(x+)+1)+1过点过点(-(-，-1)-1)及及(0(0，2)2)，所以所以由图象知由图象知22T T44，所以，所以 1 1，所以，所以=所以函数的解析式是
31、所以函数的解析式是f(xf(x)=)=答案答案：f(x)=f(x)=命题角度三命题角度三 函数函数y=y=Asin(x+Asin(x+) )的图象和性质的综合问题的图象和性质的综合问题难度难度: :中档题中档题命题指数命题指数:题型题型: :以解答题为主以解答题为主考查方式考查方式: :主要考查函数主要考查函数y=y=Asin(x+Asin(x+) )的图象、性质的图象、性质, ,常与三角变换、平面向量交汇命题常与三角变换、平面向量交汇命题【典题典题4 4】（20142014成都模拟）已知向量成都模拟）已知向量a=(sin x,2cos x),=(sin x,2cos x),b=(2sin =
32、(2sin x,sinx,sin x) x)，设函数，设函数f(xf(x)=)=ab. .(1)(1)求求f(xf(x) )的单调递增区间的单调递增区间. .(2)(2)若将若将f(xf(x) )的图象向左平移的图象向左平移 个单位，得到函数个单位，得到函数g(xg(x) )的图的图象，求函数象，求函数g(xg(x) )在区间在区间 上的最大值和最小值上的最大值和最小值. .【现场答案现场答案】【纠错析因纠错析因】找出以上现场答案的错误之处找出以上现场答案的错误之处, ,分析错因分析错因, ,并给出并给出正确答案正确答案. .提示提示: :以上解题过程中出错之处有三以上解题过程中出错之处有三:
33、 :第一处第一处, ,f(xf(x) )的解析式化简错误的解析式化简错误, ,原因是化简原因是化简sinsin2 2x x时用错公式时用错公式, ,第二处第二处, ,求出的增区间求出的增区间, ,没有注明没有注明kZkZ, ,造成失分造成失分, ,第三处第三处, ,g(xg(x) )的解析式求错的解析式求错, ,原因与第一处错误有关原因与第一处错误有关, ,但主要还但主要还是将平移的增加量搞错是将平移的增加量搞错, ,致误致误. .【规范解答规范解答】（1 1）f(xf(x)=)=ab=2sin=2sin2 2x+2sin x+2sin xcosxcos x x=2=2由由- +2k2x- +
34、2k,kZ,- +2k2x- +2k,kZ,得得- +- +kxkx +k,kZ. +k,kZ.所以所以f(xf(x) )的递增区间是的递增区间是- +- +kk, +k(kZ)., +k(kZ).(2)(2)由题意由题意g(xg(x)= sin2(x+ )= sin2(x+ ）- +1- +1即即g(xg(x) )的最大值为的最大值为 +1,g(x)+1,g(x)的最小值为的最小值为0.0.【规律方法规律方法】1.1.解解y=y=Asin(x+Asin(x+) )的图象和性质的综合问题的思路的图象和性质的综合问题的思路先正确运用相应的三角公式，通过准确的三角恒等变换，将所先正确运用相应的三角
35、公式，通过准确的三角恒等变换，将所给函数给函数f(xf(x) )化为化为y=y=Asin(x+Asin(x+) )的形式，再确定与应用其图象的形式，再确定与应用其图象和性质和性质. .2.2.图象与性质的几个对应关系图象与性质的几个对应关系对对y=y=Asin(x+Asin(x+),y),y= =Acos(x+Acos(x+)(A,)(A,是常数，且是常数，且A0,0)A0,0)结合函数图象可观察出如下几点：结合函数图象可观察出如下几点：函数图象的对称轴都经过函数的最值点，对称中心的横坐标函数图象的对称轴都经过函数的最值点，对称中心的横坐标都是函数的零点都是函数的零点; ;相邻两对称轴（对称中
36、心）间的距离都是半个周期相邻两对称轴（对称中心）间的距离都是半个周期; ;图象上相邻两个最大（小）值点之间的距离恰好等于一个周图象上相邻两个最大（小）值点之间的距离恰好等于一个周期期. .3.3.指定闭区间上三角函数图象的作法指定闭区间上三角函数图象的作法（1 1）确定关键点：区间端点、最高（低）点、与坐标轴的交）确定关键点：区间端点、最高（低）点、与坐标轴的交点点. .（2 2）建立直角坐标系：标出需要的单位）建立直角坐标系：标出需要的单位. .（3 3）描点绘图：描出关键点，用平滑曲线连接）描点绘图：描出关键点，用平滑曲线连接. .【变式训练变式训练】1.1.（20142014南昌模拟）函
37、数南昌模拟）函数的图象如图所示，则函数的图象如图所示，则函数y=y=cos(kx+cos(kx+) )，xRxR的图象纵坐标的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的不变，横坐标缩短到原来的 ，再向左平移，再向左平移 个单位后，得到个单位后，得到y=y=g(xg(x) )的图象，则函数的图象，则函数y=y=g(xg(x) )在在(0, )(0, )上（上（ ）A.A.是减函数是减函数 B.B.是增函数是增函数C.C.先增后减函数先增后减函数 D.D.先减后增函数先减后增函数【解析解析】选选A.A.由图象可知由图象可知故故 =4,=4,解得解得=又当又当x=0x=0时，时，2sin 2sin =1,=
38、1,故可取故可取= =又直线又直线y=kx+1y=kx+1过过(-3,0),(0,1)(-3,0),(0,1)，因此因此k=k=平移后的图象的解析式为平移后的图象的解析式为y=y=2.2.（20142014山东高考）已知向量山东高考）已知向量a=(=(m,cosm,cos 2x) 2x)，b=(sin 2x,=(sin 2x,n)n)，函数，函数f(xf(x)=)=ab，且，且y=y=f(xf(x) )的图象过点的图象过点（1 1）求）求m,nm,n的值的值. .（2 2）将）将y=y=f(xf(x) )的图象向左平移的图象向左平移（000)(m0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则，若所得图
39、象对应的函数为偶函数，则m m的的最小值是（最小值是（ ）【解析解析】选选A.f(xA.f(x)= sin )= sin x-cosx-cos x=2sin(x- ), x=2sin(x- ),图象向左图象向左平移平移m m个单位得个单位得y=2sin(x+m- ),y=2sin(x+m- ),将各选项代入验证，知选将各选项代入验证，知选A.A.2.2.设函数设函数f(xf(x) )(sin (sin xxcoscos x) x)2 22cos2cos2 2x(x(0)0)的的最小正周期为最小正周期为(1)(1)求求的值的值. .(2)(2)若函数若函数y yg(xg(x) )的图象是由的图象
40、是由y yf(xf(x) )的图象向右平移的图象向右平移个单位长度得到的，求个单位长度得到的，求y yg(xg(x) )的单调增区间的单调增区间. .【解析解析】(1)f(x)(1)f(x)sinsin2 2xxcoscos2 2xx2sin 2sin xcosxcos xx1 1coscos 2x 2xsin 2xsin 2xcoscos 2x 2x2 2依题意得依题意得 (2)(2)依题意得依题意得g(xg(x) )由由2k2k (kZ)(kZ)解得：解得：【备选考向备选考向】三角函数模型在实际问题中的应用三角函数模型在实际问题中的应用【典题典题】如图，某市拟在长为如图，某市拟在长为8 k
41、m8 km的的道路道路OPOP的一侧修建一条运动赛道，赛的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段道的前一部分为曲线段OSMOSM，该曲线段，该曲线段为函数为函数y=y=AsinAsin x(Ax(A0, 0) x0, 0) x0,40,4的图象，且图象的图象，且图象的最高点为的最高点为S(3S(3，2 )2 )；赛道的后一部分为折线段；赛道的后一部分为折线段MNPMNP，为保，为保证参赛运动员的安全，限定证参赛运动员的安全，限定MNP=120MNP=120. .（1 1）求）求A, A, 的值和的值和M M，P P两点间的距离两点间的距离. .（2 2）应如何设计，才能使折线段赛道）应如
42、何设计，才能使折线段赛道MNPMNP最长？最长？【解析解析】（1 1）依题意，有）依题意，有又又P(8,0),P(8,0),所以所以MP=MP=（2 2）在）在MNPMNP中，中，MNP=120MNP=120，MP=5MP=5，设，设PMN=PMN=，则则0 06060, ,由正弦定理得由正弦定理得因为因为0 06060，所以当，所以当=30=30时，时，折线段赛道折线段赛道MNPMNP最长最长, ,即将即将PMNPMN设计为设计为3030时，折线段赛道时，折线段赛道MNPMNP最长最长. .【规律方法规律方法】与三角函数图象有关的实际问题的解题思路与三角函数图象有关的实际问题的解题思路(1)
43、(1)模型构建模型构建: :根据题目中的条件信息和图象信息构建三角函数根据题目中的条件信息和图象信息构建三角函数模型模型, ,然后找出特殊的点求出函数的解析式然后找出特殊的点求出函数的解析式. .(2)(2)充分利用正弦定理、余弦定理、成本与利润的关系充分利用正弦定理、余弦定理、成本与利润的关系, ,并结合并结合三角公式进行恒等变换三角公式进行恒等变换, ,从而获解从而获解. .【加固训练加固训练】在股票市场上在股票市场上, ,投资者常参考股价投资者常参考股价( (每一股的价每一股的价格格) )的某条平滑均线的某条平滑均线( (记作记作MA)MA)的变化情况来决定买入或卖出股的变化情况来决定买
44、入或卖出股票票. .股民老张在研究股票的走势图时股民老张在研究股票的走势图时, ,发现一股票的发现一股票的MAMA均线近均线近期走得很有特点期走得很有特点: :如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系xOyxOy, ,则股价则股价y(y(元元) )和时间和时间x x的关系在的关系在ABCABC段可近似地用解析式段可近似地用解析式y=asin(x+y=asin(x+)+b(0)+b(0)0)0)的的周期为周期为.(1)(1)在给定的平面直角坐标系中作出该函数在在给定的平面直角坐标系中作出该函数在xx0,0,的图的图象象. .(2)(2)当当x0, x0, 时，
45、求时，求f(xf(x) )的值域的值域. .(3)(3)当当xx0,0,时，根据实数时，根据实数m m的不同取值，讨论函数的不同取值，讨论函数g(xg(x)=)=f(x)-mf(x)-m的零点个数的零点个数. .【思想联想思想联想】(1)(1)看到作函数在看到作函数在xx0,0,的图象，联想到的图象，联想到数形结合思想，通过解析式求关键点数形结合思想，通过解析式求关键点“以数辅形以数辅形”. .(2)(2)涉及求涉及求f(xf(x) )在在0, 0, 上的值域，联想到数形结合思想上的值域，联想到数形结合思想, ,结合结合f(xf(x) )在在0, 0, 上的图象求解上的图象求解. .(3)(3
46、)看到讨论看到讨论g(xg(x) )零点个数，联想到数形结合思想，结合（零点个数，联想到数形结合思想，结合（1 1）中图象求解中图象求解“以形助数以形助数”. . 【规范解答规范解答】【能力迁移能力迁移】(2014(2014漳州模拟漳州模拟) )设函数设函数f(xf(x)=)=AcosAcos x(Ax(A0,0)0,0)的部分的部分图象如图所示，其中图象如图所示，其中PQRPQR为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，PQR=PQR=PR=1PR=1，求：，求：（1 1）函数）函数f(xf(x) )的解析式的解析式. .（2 2）函数）函数y=y=f(xf(x)- )- 在在xx0,100,10
47、时的所有零点之和时的所有零点之和. .【思想联想思想联想】(1)(1)已知图象求解析式已知图象求解析式, ,联想到数形结合思想联想到数形结合思想“以以形助数形助数”, ,由图象借助等腰直角由图象借助等腰直角PQRPQR求求A,A,. .(2)(2)看到函数在看到函数在0,100,10上的零点上的零点, ,联想到数形结合联想到数形结合, ,将零点问题将零点问题转化为方程根的问题转化为方程根的问题, ,进一步解决进一步解决. .【解析解析】（1 1）由已知）由已知PR=1PR=1，所以所以T=2= ,T=2= ,所以所以=.=.因为因为PQRPQR为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，所以所以Q Q到到x x轴的距离即为轴的距离即为A= A= ，所以，所以f(xf(x)= )= coscos xx. .(2)(2)由由f(xf(x)- =0,)- =0,得得coscos xx= ,= ,故故x=2k+ x=2k+ 或或x=2k+ (kZ),x=2k+ (kZ),所以当所以当xx0,100,10时的所有零点之和为时的所有零点之和为
