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1、浙江理工大学浙江理工大学 2007Ch6IIR数字滤波器的设计方法1滤波的目的滤波的目的为了抑制输入信号的某些频率成分，从而改变信号频谱中各频率分量的相对比例； 6.1 6.1 引引引引 言言言言数字滤波器数字滤波器具有某种特定频率特性的线性时不变系统；广义上，任何线性时不变离散系统都是一个数字滤波器。设计数字滤波器的任务设计数字滤波器的任务寻求一个因果稳定的线性时不变系统，使其系统函数H(z)具有指定的频率特性。 由前面我们已经知道，滤波器输出响应y(n)为 将上式两边经过傅里叶变换，可得 数字滤波器的滤波原理数字滤波器的滤波原理 6.1 6.1 引引引引 言言言言 可以看出，输入序列的频谱
2、X(ej)经过滤波后，变为X(ej)H(ej)。如果|H(ej)|的值在某些频率上是比较小的，则输入信号中的这些频率分量在输出信号中将被抑制掉。因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择H(ej)，使得滤波后的X(ej)H(ej)符合人们的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性 数字滤波器的传递函数都以 为周期：滤波器的低通频带处于整数倍处，高频频带处于的奇数倍附近。从功能上分类：从功能上分类：低通、高通、带通、带阻滤波器低通、高通、带通、带阻滤波器 6.1 6.1 引引引引 言言言言实用滤波器：实用滤波器：通带：通带：不一定完全水平；阻带：
3、阻带：不一定绝对衰减到零；过渡带：过渡带：通带、阻带之间设置一定宽度的过渡带。 6.1 6.1 引引引引 言言言言低通滤波器频率响应幅度特性的容限图 一般来说，滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的允许误差来表征。以低通滤波器为例，如图（称容限图）所示， 频率响应有通带、 过渡带及阻带三个范围。图中1为通带的容限， 2为阻带的容限。 复习复习复习复习11-12如将|H(ej0)|归一化为1，上式可表示成： 虽然给出了通带的容限1及阻带的容限 2，但是，在具体技术指标中往往使用通带允许的最大衰减（波纹）p和阻带应达到的最小衰减 s描述， p及 s的定义分别为： 6.1 6.1 引引引引 言言
4、言言（）（） IIR滤波器设计方法滤波器设计方法借助模拟滤波器设计方法：直接设计法：直接在频域或时域设计（需计算机辅助设计）3、数字滤波器设计方法概述、数字滤波器设计方法概述 6.1 6.1 引引引引 言言言言IIR滤波器滤波器 FIR滤波器滤波器 利用模拟滤波器来设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器传递函数Ha(s)设计数字滤波器的系统函数H(z)。因此，它归根结底是一个由S平面映射到Z平面的变换，这个变换通常是复变函数的映射变换，为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，这个映射变换必须满足以下两条基本要求： 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。即S平面的左半平面Re
5、s0必须映射到Z平面单位圆的内部|z|1。 数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射z平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。 6.4 6.4 用模拟滤波器设计用模拟滤波器设计用模拟滤波器设计用模拟滤波器设计IIRIIR数字滤波器数字滤波器数字滤波器数字滤波器从S平面映射到Z平面两种常用的方法：1、冲激响应不变法：、冲激响应不变法：从时域的角度出发进行映射；2、双线性不变法：、双线性不变法：从频域角度出发进行映射。通过对连续函数 等间隔采样得到离散序列 使 ，T为采样间隔。它是一种时域上的转换方法。转换步骤：1、转换原理、转换原理 6.5 6.5 冲激响应不变法冲激响应不变法
6、冲激响应不变法冲激响应不变法设模拟滤波器的传输函数为Ha(s)，相应的单位冲激响应是ha(t) 设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示： 将Ha(s)进行逆拉氏变换得到ha(t)：u(t)是单位阶跃函数si为Ha(s)的单阶极点 6.5 6.5 冲激响应不变法冲激响应不变法冲激响应不变法冲激响应不变法对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到： 对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)： 因此，从s平面到z 平面变换： 6.5 6.5 冲激响应不变法冲激响应不变法冲激响应不变法冲激响应不变法n系数相同：系数相同：n极
7、点：极点：s 平面平面 z 平面平面n稳定性不变：稳定性不变：S域稳定，即极点位于域稳定，即极点位于s平面平面左半平面，故在左半平面，故在 s 平面平面 ： z 平面平面当当T 很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正令：令： 上式表明将模拟信号ha(t)的拉氏变换在s平面上沿虚轴按照周期s=2/T延拓后，再按照 式映射关系，映射到z平面上，就得到H(z)。下面进一步分析这种映射关系。则因此得到：设 6.5 6.5 冲激响应不变法冲激响应不变法冲激响应不变法冲激响应不变法2.5节（2-53）式：那么 =0, r=1 0, r0, r1z=esT, s
8、平面与平面与z平面之间的映射关系平面之间的映射关系 6.5 6.5 冲激响应不变法冲激响应不变法冲激响应不变法冲激响应不变法 由采样定理知，只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且频率带小于采样频率一半，才不会发生混迭现象。此时，|设模拟滤波器的系统函数为 试利用冲激响应不变法将Ha(s)转换成IIR数字滤波器的系统函数H(z)。 则数字滤波器的系统函数为 例例 解：解： 首先将Ha(s)写成部分分式： 6.5 6.5 冲激响应不变法冲激响应不变法冲激响应不变法冲激响应不变法模拟滤波器的频率响应Ha(j)以及数字滤波器的频率响应H(ej)分别为: 由图可看出，由于Ha(j)不是充分限带的，所以H
9、(ej)产生了频谱混叠失真。 幅频特性幅频特性 6.5 6.5 冲激响应不变法冲激响应不变法冲激响应不变法冲激响应不变法优优点点： 冲激响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是时域逼近良好，而且模拟频率和数字频率之间呈线性关系=T。 因而，一个线性相位的模拟滤波器（例如贝塞尔滤波器）通过冲激响应不变法得到的仍然是一个线性相位的数字滤波器。4、优缺点、优缺点 6.5 6.5 冲激响应不变法冲激响应不变法冲激响应不变法冲激响应不变法缺点：缺点： 有频率响应的混叠效应。有频率响应的混叠效应。 所以， 冲激响应不变法只适用于限带的模拟滤波器(例如， 衰减特性很好的
10、低通或带通滤波器)，而且高频衰减越快，混叠效应越小。 如果要对高通和带阻滤波器采用冲激响应不变法， 就必须先对高通和带阻滤波器加一保护滤波器，滤掉高于频率一半以上的频率，然后再使用冲激响应不变法转换为数字滤波器。 但这样会进一步增加设计复杂性和滤波器的阶数。 6.5 6.5 冲激响应不变法冲激响应不变法冲激响应不变法冲激响应不变法1、转换原理、转换原理脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。这是因为从S平面到平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以采用非非线线性性频频率率压压缩缩方方法法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-/T/T之间，再用z=esT转换到Z平面上。也就是说
11、，第一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的-/T/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=es1T将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系， 消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图所示。 6.7 6.7 双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法线性变换的映射关系线性变换的映射关系 6.7 6.7 双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法将此关系解析延拓到整个S平面和S1平面，令j=s，j1=s1， 则得再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z平面： z=es1T 从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为： 上面两个式子是S平面
12、与Z平面之间的单值映射关系，这种变换称为双线性变换双线性变换。 6.7 6.7 双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换符合前面提出的映射变换应满足的两点要求。 即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。 2、逼近的情况、逼近的情况（1）首先, 把z=ej代入上式，可得 6.7 6.7 双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法（2） 其次，将s=+j代入变换式，得 因此 6.7 6.7 双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法 由此看出，当0时， |z|0时，|z|1。也就是说， S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外，S平面
13、的虚轴映射到Z平面的单位圆上。 因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。 6.7 6.7 双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法3、优缺点、优缺点优点：1.避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象s 平面与平面与 z 平面为单值变换平面为单值变换2.简单的代数映射简单的代数映射q 缺点：除了零频率附近，缺点：除了零频率附近，W W与与w w之间严重非线性之间严重非线性2 2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生畸变然会产生畸变1 1）线性相位模拟滤波器）线性相位模拟滤波器 非线性相位数字滤波器非
14、线性相位数字滤波器分段常数型模拟滤波器分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数经变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界型数字滤波器，但临界频率点产生畸变频率点产生畸变双线性变换的由来双线性变换的由来1、低频附近程线性2、分段常数的幅频特性要求预畸变预畸变给定数字滤波器的截止频率给定数字滤波器的截止频率 w w1，则，则按按W W1设计模拟滤设计模拟滤波器，经双线性波器，经双线性变换后，即可得变换后，即可得到到w w1为截止频率为截止频率的数字滤波器的数字滤波器比较比较。设计流程设计流程设计一个一阶数字低通滤波器，3 dB截止频率为c=0.25，将双线性变换应用于模拟巴特沃思滤波器。 数字低通滤
15、波器的截止频率为c=0.25，相应的巴特沃思模拟滤波器的 3 dB截止频率是c，就有 模拟滤波器的系统函数为 例例 解：解： 6.7 6.7 双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法将双线性变换应用于模拟滤波器，有 6.7 6.7 双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法6.8 常用常用模拟低通滤波器特性模拟低通滤波器特性模拟滤波器研究较早，理论已经十分成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Ellipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和
16、图表供设计人员使用，利用这些现有技术来解决数字滤波器的设计问题；采用这种方法时，先要设计一个合适的模拟滤波器，然后将它转换成满足给定指标的数字滤波器；这种方法适合于设计幅频特性比较规则的滤波器，例如低通、高通、带通、带阻等。模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数|Ha(j)|2来表示，即 由于滤波器冲激响应ha(t)是实函数，因而Ha(j)满足 所以 式中，Ha(s)是模拟滤波器的系统函数，它是s的有理函数； Ha(j)是滤波器的频率响应特性； |Ha(j)|是滤波器的幅度特性。 1、由幅度平方函数来确定系统函数、由幅度平方函数来确定系统函数一、模拟滤波器设计思路与步骤一、模拟滤波器设计思路与步骤
17、6.8 常用常用模拟低通滤波器特性模拟低通滤波器特性Ha(s)Ha(-s)的极点、零点分布是成象限对称的，如图所示。 jWso 我们知道，任何实际可实现的滤波器都是稳定的，因此, 其系统函数Ha(s)的极点一定落在s的左半平面，所以左半平面的极点一定属于Ha(s)，则右半平面的极点必属于Ha(-s)。 Ha(s)Ha(-s) 取一半的零点构成Ha(s)的零点 。6.8 常用常用模拟低通滤波器特性模拟低通滤波器特性例：例：解：解：极点：极点：零点：零点： （二阶）（二阶）零点：零点：的极点：的极点：设增益常数为设增益常数为K K0 0寻找一个恰当的近似函数来逼近理想特性所谓逼近问题。最常用的具有
18、优良性能的滤波器：巴特沃思巴特沃思(Butterworth)滤波器滤波器切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)滤波器滤波器椭圆椭圆(elliptic)函数或考尔（函数或考尔（Cauer）滤波器）滤波器实现线性相位的贝塞尔滤波器实现线性相位的贝塞尔滤波器6.8 常用常用模拟低通滤波器特性模拟低通滤波器特性(1) 巴特沃思低通滤波器的幅度平方函数巴特沃思低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2用下式表示：用下式表示：巴特沃思幅度特性和N的关系二、巴特沃思低通滤波器的设计方法二、巴特沃思低通滤波器的设计方法6.8 常用常用模拟低通滤波器特性模拟低通滤波器特性6.8 常用常用模拟低通滤波器特性模拟低通
19、滤波器特性将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的函数： 求极点sk，可用下式表示：(2) 幅度平方函数极点分布及幅度平方函数极点分布及Ha(s)的构成的构成6.8 常用常用模拟低通滤波器特性模拟低通滤波器特性6.8 常用常用模拟低通滤波器特性模拟低通滤波器特性为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)。 Ha (s)的表示式为三阶巴特沃斯滤波器极点分布三阶巴特沃斯滤波器极点分布设N=3，极点有6个，它们分别取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)： 6.8 常用常用模拟低通滤波器特性模拟低通滤波器特性由于各滤波器
20、的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率c归一化，归一化后的Ha(s)表示为 式中，s/c=j/c。 (3) 频率归一化频率归一化6.8 常用常用模拟低通滤波器特性模拟低通滤波器特性令=/c，称为归一化频率；令p=j，p称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为式中，pk为归一化极点，用下式表示：归一化的传输函数系数Ha (p) 的系数以及极点可以由下表得到。6.8 常用常用模拟低通滤波器特性模拟低通滤波器特性将极点表示式代入系统函数式，得到的Ha(p)的分母是p的N阶多项式，用下式表示： 巴特沃思归一化低通滤波器参数巴特沃思归一化低通滤波器参数 6.8
21、 常用常用模拟低通滤波器特性模拟低通滤波器特性表表6-66.8 常用常用模拟低通滤波器特性模拟低通滤波器特性表表6-46.8 常用常用模拟低通滤波器特性模拟低通滤波器特性 阶数N的大小主要影响幅度特性下降的速度，它应该由技术指标确定。将代入幅度平方函数 中，再将幅度平方函数式代入 得：将=s代入 式中，再将|Ha(js)|2代入式中得(4) 阶数阶数N的确定的确定6.8 常用常用模拟低通滤波器特性模拟低通滤波器特性令，则N由下式表示： 6.8 常用常用模拟低通滤波器特性模拟低通滤波器特性 用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。关于3dB截止频率c，如果技术指标中没有给出，可以
22、按照 求出6.8 常用常用模拟低通滤波器特性模拟低通滤波器特性低通巴特沃思滤波器的设计步骤如下：低通巴特沃思滤波器的设计步骤如下：1、根据技术指标p,p,s和s，用 求出滤波器的阶数N；2、按照 ，求出归一化极点pk，将pk代入 式，得到归一化传输函数Ha(p)；3、将Ha(p)去归一化。将p=s/c代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。 6.8 常用常用模拟低通滤波器特性模拟低通滤波器特性例例1 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减30dB，按照以上技术指标设计巴特沃思低通滤波器。解：解：6.8 常用常用模拟低通滤波器特
23、性模拟低通滤波器特性 (1) 确定阶数N (2) 求极点归一化传输函数为：6.8 常用常用模拟低通滤波器特性模拟低通滤波器特性上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。也可直接查表，由N=5，查表得到： 极点：-0.3090j0.9511，-0.8090j0.5878；-1.0000式中： b0=1.0000，b1=3.2361，b2=5.2361，b3=5.2361，b4=3.23616.8 常用常用模拟低通滤波器特性模拟低通滤波器特性(3) 为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率c。将p=s/c代入Ha(p)中得到：6.8 常用常用模拟低通滤波器特性模拟
24、低通滤波器特性2） 切贝雪夫滤波器（切贝雪夫滤波器（ Chebyshev ）N：滤波器的阶数Wc ：截止频率，不一定为3dB带宽0e1，表示通带波纹大小，e越大，波纹越大CN(x) ：N阶Chebyshev多项式Type I ChebyshevN为偶数N为奇数 通带内：在1和 间等波纹起伏 通带外：迅速单调下降趋向0Chebyshev滤波器的三个参量：滤波器的三个参量：Wc ：通带截止频率，给定 e ：表征通带内波纹大小N：滤波器阶数，等于通带内最大最小值的总数由通带衰减决定由通带衰减决定阻带衰减越大阻带衰减越大所需阶数越高所需阶数越高W Ws为阻带截止频率为阻带截止频率3）幅度平方特性的极点
25、分布：）幅度平方特性的极点分布：4）滤波器的系统函数：）滤波器的系统函数：其中：例：用双线性变换法设计Chebyshev数字低通滤波器，要求在频率低于0.2p rad的通带内幅度特性下降小于1dB。在频率0.3p到p之间的阻带内，衰减大于15dB。1）由数字滤波器的技术指标：2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：a）确定参数3）设计Chebyshev模拟低通滤波器b) 求左半平面极点求左半平面极点c) 构造系统函数构造系统函数c) 去归一化b) 由N=4， 直接查表得或者：4）将 变换成Chebyshev数字滤波器：设计的四阶设计的四阶Chebyshev滤波器滤波器本本 章章 作作 业业P3
26、30/1(1)，3，8，11，17，26题型说明题型说明1.填空题（20分）2.判断体（10分，只判断是对还是错）3.选择题（10分）4.计算题和应用题（60分），课后作业题和讲解过的习题。题型举例填空题题型举例填空题两个有限长序列x1(n)，0n33和x2(n)，0n36，做线性卷积后结果的长度是 ，若对这两个序列做64点圆周卷积，则圆周卷积结果中n= 至 为线性卷积结果。 某序列的表达式为 ，由此可以看出，该序列时域的长度为 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 。题型举例题型举例3. 请写出两种常用低通原型模拟滤波器 、 。1. 相同的Z变换表达式一定对应相同的时间序列。（ ） 2. Chirp-Z变换的频率采样点数M可以不等于时域采样点数N。（ ）3. y(n)=cosx(n)所代表的系统是线性系统。（）
