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1、专题04 三角形的性质与判定目 录题型01 三角形的三边关系题型02 与三角形有关线段的综合问题题型03 三角形内角和定理与外角和定理综合问题题型04 三角形内角和与外角和定理的实际应用题型05 线段垂直平分线和角平分线综合题型06 特殊三角形的性质与判定题型07 勾股定理、勾股定理逆定理与网格问题题型08 与三角形有关的折叠问题题型09 赵爽弦图题型10 利用勾股定理解决实际问题题型11 求最短距离题型12 勾股定理逆定理的拓展问题题型13 判断图形中与已知两点构成等腰三角形的点的位置题型14 判断图形中与已知两点构成直角三角形的点的位置（时间：60分钟）题型01 三角形的三边关系1（202
2、3广东广州广州市越秀区明德实验学校校考模拟预测）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x210x+k=0的两个根，则k的值为（）A21B25C21或25D20或24【答案】B【分析】结合根与系数的关系，分已知边长3是底边和腰两种情况讨论【详解】解：设关于x的方程x210x+k0的两个实数根分别为a、b方程x210x+k0有两个实数根，则1004k0，得k25当底边长为3时，另两边相等时，则a+b10，另两边的长都是为5，kab25；当腰长为3时，另两边中至少有一个是3，则3一定是方程x210x+k0的根，则32103+k0解得k21解方程x210x210解得另一根为：x73+37，不
3、能构成三角形k的值为25故选：B【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根的判别式b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质2（2021甘肃兰州模拟预测）如图，在ABC中，AB4，AC2，点D为BC的中点，则AD的长可能是（）A1B2C3D4【答案】B【分析】延长AD到E，使DEAD，连接BE证ADCEDB（SAS），可得BEAC2，再利用三角形的三边关系求出AE的范围即可解决问题【详解】解：延长AD到E，使DEAD，连接BE，在ADC和EDB中，AD=EDADC=EDBCD=BD
4、，ADCEDB（SAS），BEAC2，在ABE中，ABBEAEAB+BE，即22AD6，解得1AD3，故选：B【点睛】本题考查了三角形的全等判定和性质，三角形三边关系定理，熟练证明三角形的全等是解题的关键3（2023河北统考模拟预测）已知一个三角形的第一条边长为3a+b，第二条边长为2ab(1)求第三条边长m的取值范围；（用含a，b的式子表示）(2)若a，b满足a5+b22=0，第三条边长m为整数，求这个三角形周长的最大值【答案】(1)a+2bm5a(2)49【分析】（1）根据三角形三边关系定理即可得出结论；（1）根据绝对值和平方的非负性可确定a，b的值，从而得出m的最大值，即可得出结论【详解
5、】（1）解：三角形的第一条边长为3a+b，第二条边长为2ab，第三条边长m的取值范围是3a+b2abm3a+b+2ab，即a+2bm5a，第三条边长m的取值范围是a+2bm5a；（2）a，b满足a5+b22=0，第三条边长m为整数，a5=0b2=0，a=5b=2，5+22m55，即9m25，则三角形的周长为：3a+b+2ab+m=5a+m=25+m，m为整数，m可取最大值为24，此时这个三角形周长的最大值为25+24=49，这个三角形周长的最大值为49【点睛】本题考查三角形三边关系定理，绝对值和平方的非负性，不等式组的整数解，三角形的周长掌握三角形三边关系定理是解题的关键4（2023广东江门二
6、模）已知关于x的方程x2+3k2x6k=0(1)求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形ABC的一边a=6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求ABC的周长【答案】(1)见解析(2)14【分析】（1）计算方程的根的判别式，若=b24ac0，则方程总是有实数根；（2）已知a=6，则a可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b、c的值后，再求出ABC的周长，注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验【详解】（1）证明： =b24ac=3k2246k=9k212k+4+24k=9k2+12k+4=3k+220，无论k取何值，方程总有实数根；（2）解：若a=6为底边，则b，c为腰长
7、，b=c，=0，3k+22=0，解得：k=23，此时原方程化为x24x+4=0，x1=x2=2，即b=c=2，此时ABC三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去；若a=6为腰，则b，c中一边为腰，把x=6代入方程，62+63k26k=0，k=5，则原方程化为x28x+12=0，x2x6=0，x1=2，x2=6，此时ABC三边为6，6，2能构成三角形，综上所述：ABC三边为6，6，2，周长为6+6+2=14【点睛】本题主要考查了根的判别式及三角形的三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验题型02 与三角形有关线段的综合问题1（2023浙江杭州统考二模）如图，在RtABC中，ABC
8、=90(1)若C=32，求A的度数(2)画ABC的平分线BD交AC于点D，过点D作DEAB于点E若AB=3，BC=4，求DE的长（画图工具不限）【答案】(1)A=58(2)作图见解析；DE=127【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余求出A的度数即可；（2）根据题意作图，过点D作DFBC于点F，根据角平分线的性质得出DE=DF，根据SABC=SABD+SCBD得出12AB+BCDE=6，求出DE即可【详解】（1）解：RtABC中，ABC=90，C=32，A=90C=9032=58；（2）解：如图，BD为所求作的角平分线，DE为所求作的垂线；过点D作DFBC于点F，BD平分ABC，DEAB，DF
9、BC，DE=DF，SABC=12ABBC=1234=6，又SABC=SABD+SCBD=12ABDE+12BCDF=12AB+BCDE，12AB+BCDE=6，即123+4DE=6，DE=127【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的性质，三角形面积的计算，解题的关键是理解题意，作出辅助线，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等2（2023陕西西安一模）（1）请在图中过点A画一条直线，将ABC分成面积相等的两部分；（2）如图，在平行四边形ABCD中，请过顶点A画两条直线将平行四边形ABCD的面积三等分，并说明理由；（3）如图，农博园有一块四边形ABCD空地，其中AB=60m，B
10、C=80m，CD=100m，AD=120m，B=90，点P为边AD的中点春天到了，百花齐放，农博园设计部门想在这片空地上种三种不同的花卉，要求三种花卉的种植面积相等，现规划，从入口P处修两条笔直的小路（小路的面积忽略不计）方便游客赏花，两条小路将这块地的面积三等分，请通过计算、画图说明设计部门能否实现规划，若能，请确定小路尽头的位置；若不能，请说明理由【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）能实现点Q在BC上 ，当CQ=62.5米时，PQ，PC将四边形ABCD的面积三等分，即小路为PQ、PC【分析】（1）取BC的中点D，作直线AD即可；（2）分别取BC、DC边上的两个三等分点D、E，且CD=
11、13BC，CE=13CD，作直线AD，AE即可；（3）连接PC，PB，PB交AC于点J，过点P作PHCB于点H点Q在BC上，连接PQ，设CQ=x米首先证明SACB=SAPC=SCDP，再利用面积法求出CQ，可得结论【详解】解：（1）如图，取BC的中点D，作直线AD，则直线AD即为所求（2）如图，分别取BC、DC边上的两个三等分点D、E，且CD=13BC，CE=13CD，作直线AD，AE，则直线AD、AE即为所求理由：连接AC四边形ABCD是平行四边形，SABC=SACD=12SABCDCD=13BC，CE=13CD，SABD=23SABC=13SABCD，SADE=23SADC=13SABCD
12、S四边形ADCE=SABCDSABDSADE=13SABCD，SABD=SADE=S四边形ADCE（3）能实现理由如下：能，理由如下：如图中，连接PC，PB，PB交AC于点J，过点P作PHCB于点H点Q在BC上，连接PQ，设CQ=x米AB=60米，BC=80米，ABC=90，AC=AB2+BC2=602+802=100米，CD=100米，CA=CD，AP=PD=60米，CPAD，CP=AC2AD2=1002602=80米，AB=AP，CB=CP，在ABC和APC中，AB=APBC=PCAC=AC，ABCAPC(SSS)，SACB=SAPC=SCDP，AB=AP，CB=CP，ACBP，BJ=PJ
13、， 12ABBC=12ACBJ，BJ=6080100=48米，PB=2BJ=96米，PHBC，PHC=ABC=90，ABPH，ABJ=BPH，cosABJ=cosBPH， BJAB=PHPB， 4860=PH96，PH=76.8米，当SPCQ=SACB时，12x76.8=126080，x=62.5，当CQ=62.5米时，PQ，PC将四边形ABCD的面积三等分，即小路为PQ、PC【点睛】本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积，三角形的面积，全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型3（2023湖北武汉校考一模）如图，已知ABC，M为边AC上一动点，AM=mMC，D为边BC上一动点，BD=nDC，BM交AD于点N(1)【问题提出】三角形的三条中线会相交于一点，这一点就叫做三角形的重心，重心有很多美妙的性质，请大家探究以下问题若m=n=1，则BNMN=_（直接写出结果）(2)【问题探究】若m=1，猜想BNMN与n存在怎样的数量关系？并证明你的结论(3)【问题拓展】若m=1，n=2，则SANMS四边形CDNM=_（直接写出结果）【答案】(1)2(2)BNMN=2n(3)37【分析】（1）连接DM，根据m=n=1，AM=mMC，BD=nDC，可得MD是ABC的中位线，从而可证NDMNAB，即可得到BNMN=
