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1、专题06 圆中的相关证明及计算 目 录一、考情分析二、知识建构考点一 圆的基本性质证明与计算题型01 圆中的角度和线段计算问题题型02 垂径定理的实际应用题型03 与圆有关的弧长、扇形面积计算题型04 求弓形面积或不规则图形面积题型05 正多边形与圆的相关计算【核心提炼查漏补缺】【好题必刷强化落实】考点二 与圆有关的位置关系题型01 与圆有关的位置关系题型02 切线的判定题型03 三角形内切圆、外接圆的相关计算题型04 四点共圆题型05 相交弦定理题型06 切割线定理题型07 割线定理题型08 圆与相似综合题型09 圆与三角函数综合【好题必刷强化落实】考点要求命题预测圆的基本性质证明与计算 中
2、考数学中，圆的基本性质、与圆有关的位置关系一直都是必考的考点，难度从基础到综合都有通常选择填空题会出圆的基本性质，如弧长、弦长、半径、圆周角等的关系,基本都是基础应用，难度不大,个别会出选择题的压轴题，难度稍大.简答题部分，一般会把切线的问题和相似三角形、锐角三角函数等结合考察，这是一般都是中等难度的问题.还有一些城市会把圆的基本性质等与其他动点问题综合考察,此时一般都是压轴题，难度很大，这时候就需要考生综合思考的点比较多.与圆有关的位置关系考点一 圆的基本性质证明与计算题型01 圆中的角度和线段计算问题圆的基础定理: 垂径定理、圆周角定理、切线长定理的内容和常考题型要熟悉，也要结合几何图形各
3、自的特征，综合应用起来解决相关问题.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.推论：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角= 12 圆心角）推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角垂径定理模型（知二得三）如图，可得AB过圆心 ABCD CE=DE AC=AD BC=BD【总结】垂
4、径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分的弦不是直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt，用勾股，求长度；2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.【利用圆周角定理解题思路】1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，在同圆中可以利用圆周角定理进行角的转化.2）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”.3）当已知圆的直径时，常构造直径所
5、对的圆周角4）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等1（2023广东广州中考真题）如图，的内切圆与，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，则的值和的大小分别为（）A2r，B0，C2r，D0，【答案】D【分析】如图，连接利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可【详解】解：如图，连接的内切圆与，分别相切于点D，E，F，故选：D【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型2（2023湖南中考真题）如图，点A，B
6、，C在半径为2的上，垂足为E，交于点D，连接，则的长度为 【答案】1【分析】连接，利用圆周角定理及垂径定理易得，则，结合已知条件，利用直角三角形中角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案【详解】解：如图，连接，故答案为：1【点睛】本题考查圆与直角三角形性质的综合应用，结合已知条件求得是解题的关键3（2023江苏中考真题）如图，是的直径，是的内接三角形若，则的直径 【答案】【分析】连接，根据在同圆中直径所对的圆周角是可得，根据圆周角定理可得，根据圆心角，弦，弧之间的关系可得，根据勾股定理即可求解【详解】解：连接，如图：是的直径，又，在中，故答案为：【点睛】本题考查了在同圆中直径所对的圆周角是，圆周
7、角定理，圆心角，弦，弧之间的关系，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键4（2023湖北中考真题）如图，在中，的内切圆与分别相切于点，连接的延长线交于点，则 【答案】/度【分析】如图所示，连接，设交于H，由内切圆的定义结合三角形内角和定理求出，再由切线长定理得到，进而推出是的垂直平分线，即，则【详解】解：如图所示，连接，设交于H，是的内切圆，分别是的角平分线，与分别相切于点，又，是的垂直平分线，即，故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形内切圆，切线长定理，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定，三角形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键题型02 垂径定理的实际应用1（2023山东东营中考真题
8、）九章算术是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷勾股中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 寸【答案】26【分析】证明E为的中点，可得，设，则，由勾股定理得：，可得，再解方程可得答案【详解】解：弦，为的直径，E为的中点，又（寸），（寸），设（寸），则（寸），寸，由勾股定理得：，即，解得，（寸），故答案为：26【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练的利用垂径定理解决问题是关键2（2022湖北荆州中考真题）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高A
9、B20cm，底面直径BC12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为 cm（玻璃瓶厚度忽略不计）【答案】7.5【分析】如详解中图所示，将题中主视图做出来，用垂径定理、勾股定理计算即可.【详解】如下图所示，设球的半径为rcm，则OG=EG-r=EF-GF-r=EF-AB-r=32-20-r=（12-r）cm，EG过圆心，且垂直于AD，G为AD的中点，则AG=0.5AD=0.512=6cm，在中，由勾股定理可得，即，解方程得r=7.5，则球的半径为7.5cm【点睛】本题考查了主视图、垂径定理和勾股定理的运用，准确做出立体图形的主视图是解题的关键3（2023湖南中考真题）问题情境：筒车
10、是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的如图，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处（参考数据，）问题解决：(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数；(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离（结果精确到米）【答案】(1)；(2)该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为米【分析】（1）先求得该盛水筒的运动速度，再利用周角的定
11、义即可求解；（2）作于点C，在中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得的长，在中，利用勾股定理求得的长，据此即可求解【详解】（1）解：旋转一周用时120秒，每秒旋转，当经过95秒后该盛水筒运动到点B处时，；（2）解：作于点C，设与水平面交于点D，则，在中，在中，(米)，答：该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为米【点睛】本题考查了圆的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件题型03 与圆有关的弧长、扇形面积计算设O 的半径为R，n圆心角所对弧长为l，n为弧所对的圆心角的度数，则扇形弧长公式l=nR180 （弧长的长度和圆心角大
12、小和半径的取值有关，且n表示1的圆心角的倍数，n和180都不要带单位）扇形面积公式S扇形= nR2 360 = 12lR 圆锥侧面积公式S圆锥侧=rl （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）圆锥全面积公式S圆锥全=rl+r2 （圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积）圆锥的高h，圆锥的底面半径rr2+2=l21） 利用弧长公式计算弧长时，应先确定弧所对的圆心角的度和半径，再利用公式求得结果在弧长公式l=nR180 中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量2）在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，然后直接代入公式S扇形= nR2 3
13、60或 S扇形 = 12lR中求解即可3）扇形面积公式S扇形= 12lR 与三角形面积公式十分类似为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲边三角形、把弧长l看成底，R看成底边上的高即可.4）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量5）在解决有关圆锥及其侧面展开图的计算题时，常借助圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，即2r=nR180，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n之间的关系，有时也根据圆锥的侧面积计算公式来解决问题6）求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆
14、锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长注意不要混淆圆锥的底面半径和圆锥展开后的扇形半径两个概念1（2023江苏中考真题）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（）ABCD【答案】B【分析】根据题意可得这个几何体为圆锥，然后求出圆锥的母线长为，再根据圆锥的侧面（扇形）面积公式，即可求解【详解】解：根据题意得：这个几何体为圆锥，如图，过点作于点，根据题意得：，即圆锥的母线长为，这个几何体的侧面积是故选：B【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，求圆锥的侧面积，根据题意得到这个几何体为圆锥是解题的关键2（2023湖南中考真题）如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（）ABCD【答案】C【分析】根据底面
