《【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品（华东师大版）第16讲 三角形中位线与位似图形（解析版讲义）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品（华东师大版）第16讲 三角形中位线与位似图形（解析版讲义）（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第16讲 三角形中位线与位似图形 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测1.掌握三角形中位线的性质定理，并能利用它解决简单问题；2.会用位似法把一个多边形按比例放大或缩小：3.理解位似法画相似图形的原理，能正确选择位似中心画位似图形.一、三角形的中位线的概念及定理1.概念：连接三角形两边中点的线段叫作三角形中位线.如图所示，在ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则DE是ABC的一条中位线.2.三角形的中位线与三角形的中线是不一样的，三角形中位线是两条边中点的连线，而三角形中线是顶点与对边中点的连线.3.三角形的中位线定理
2、：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.二、位似图形位似图形的定义: 如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点,对应线段相互平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,位似图形对应点连线的交点是位似中心.常见的位似图形：画位似图形的方法：两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.）判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心.位似图形的性质：1) 位似
3、图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点；2）位似图形的对应边互相平行或者共线.3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.4) 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或k.画位似图形的步骤：1）确定位似中心,找原图形的关键点.2）确定位似比.3）以位似中心为端点向各关键点作射线.4）顺次连结各截取点，即可得到要求的新图形.【考点一】与三角形中位线有关的求解问题1（2023山西吕梁三模）如图，在中，点是的中点，对角线，相交于点，连接，若的周长是，则的周长为（）A3B5C6D7【答案】B【分析】本题考查了平行四边形的性质和三
4、角形中位线定理，熟练掌握知识点是解题的关键先根据平行四边形的性质得出，再根据点是的中点，三角形中位线定理得出，继而求解即可【详解】解：四边形是平行四边形，点是的中点，的周长是，即的周长，故选：B2（22-23九年级上河南南阳期中）如图，是的中位线，平分交于点D，若，则边的长为（）A7B8C9D10【答案】B【分析】本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型由三角形的中位线定理得到，利用等腰三角形的判定结合平行线的性质和角平分线的定义求出，可得，即可求出的长【详解】解：是的中位线，平分，故选：B3（2023云南昆明模拟预测）如
5、图，在中，点D，E，F分别是边的中点若，则四边形的周长为 【答案】14【分析】本题考查了三角形的中位线定理，根据中位线定理和中点的定义分别得到，再利用整体思想即可求解【详解】解：点D，E，F分别是边的中点，分别是的中位线，四边形的周长故答案为：144（2023吉林白城模拟预测）如图，在中，点，分别是、的中点，连接、，则四边形的周长为 【答案】9【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键根据三角形中位线定理分别求出、，根据线段中点的概念分别求出、，计算即可【详解】解：点，分别是、的中点，、是的中位线，四边形的周长为：，故答案为：9【考点二】三角形中位线与三
6、角形面积问题1（2023贵州贵阳模拟预测）如图，在中，点，分别是，的中点，若，则 【答案】3【分析】本题考查了中位线的判定及性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键先根据中点得出是的中位线，再根据中位线的性质得出，进一步证明，然后根据相似三角形的性质即可得出答案【详解】解：点，分别是，的中点，是的中位线，故答案为：2（21-22八年级下贵州安顺期末）如图，在中，D、E分别是边的中点，若，则（）A1B2C4D6【答案】D【分析】根据中位线定理得出DE：2，根据面积比等于相似比的平方得出的面积即可得出四边形的面积【详解】解：点D、E分别是线段AB、AC的中点，是的中位线，DE：2
7、，四边形BCED的面积是，故选：D【点睛】本题主要考查中位线定理和相似三角形的性质，根据面积比等于相似比的平方得出三角形的面积是解题的关键3（2023吉林延边一模）如图，、是的两条中线，则 【答案】【分析】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质、三角形的面积计算根据三角形中位线定理得到，根据相似三角形的性质得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案【详解】解：、是的两条中线，是的中线，故答案为：4（22-23八年级下广西钦州阶段练习）如图所示，已知的面积为，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第个三角形的面积为（）ABCD【答案】
8、D【分析】根据三角形中位线定理求出第二个三角形的面积，同理第三个三角形的面积，总结规律，根据规律解答即可【详解】解：如图：过点A作于G，交于H，则，、E、F分别为、的中点，、分别为的中位线，同理：第三个三角形的面积=，第四个三角形的面积第三个三角形面积，第2013个三角形的面积为，故选：D【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理，找出规律是解题的关键5（2022江苏南京一模）如图，在菱形中，、分别是、的中点(1)求证；(2)若菱形的面积为8，则的面积为_【答案】(1)见解析(2)3【分析】(1) 由四边形ABCD是菱形，即可求得ABAD，BD，又由、分别是、的中点可证得BEDF，根据SAS，即可
9、证ABEADF得AEAF，从而得证(2) 连接AC、BD，交于点O，AC交EF于点G，根据菱形性质可得菱形面积公式，然后根据三角形中位线定理得EF与BD关系，最后根据三角形面积公式代入计算可得答案【详解】（1）证明：四边形ABCD是菱形，ABAD，BCDC，BD，、分别是、的中点,，BEDF，在ABE和ADF中 ，ABEADF（SAS）；AEAF，AEFAFE（2）连接AC、BD，交于点O，AC交EF于点G，四边形ABCD是菱形，AOOC，菱形ABCD的面积为：，点E、F分别是边BC、CD的中点，EFBD，EFBD，ACEF，AG3CG，设ACa，BDb，即ab16，故答案为：3【点睛】此题考
10、查的是菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，能够利用三角形面积公式得到答案是解决此题关键【考点三】与三角形中位线有关的证明问题1（2023贵州遵义模拟预测）如图，已知中，、为、边上的中线，M、N是、的中点(1)四边形为平行四边形吗？为什么？(2)连接，当线段与线段有怎样的关系时，四边形是菱形？为什么？【答案】(1)是，理由见解析(2)当时，四边形是菱形，理由见解析【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定及菱形的判定，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线；（1）由已知中给出的中线与中点的条件，可以证明为的中位线，为的中位线，然后由中位线定理可以得到
11、且，根据平行四边形判定定理，可以得到四边形为平行四边形；（2）由中位线定理可得到是的中位线，而为的中位线，所以可以得到当时，四边形是菱形【详解】（1）四边形为平行四边形，理由如下：的边、上的中线、相交于点O， 为的中位线，且，M、N分别是、的中点，为的中位线，且，且，四边形是平行四边形（2）当时，四边形是菱形，理由如下：连接，点E、M分别是、的中点，是的中位线，当时，由（1）知，又由（1）知，四边形是平行四边形，四边形是菱形，当时，四边形是菱形2（2023山东青岛模拟预测）如图，在 中，点分别为的中点，连接并延长至点，使 ，过点作的平行线，交的延长线于点，连接，(1)求证：四边形是平行四边形(
12、2)若，四边形是何特殊平行四边形? 请说明理由【答案】(1)见解析(2)四边形是矩形，理由见解析【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键（1）证明得出，结合即可得证；（2）由三角形中位线定理可得，从而得出，求出，即可得证【详解】（1）证明：，又，四边形是平行四边形（2）解：四边形是矩形，理由如下：分别为的中点，是的中位线，又四边形是平行四边形，平行四边形是矩形3（2023广西三模）知识回顾例如，在证明三角形中位线定理时，就采用了如图的倍长中线方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决实践操作如图，在梯形中，是腰的中点，请你
13、延长交延长线于点，我们易证（自行补充图形）数学发现如图，在梯形中，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系？ （用字母及符号表示） 证明猜想请结合“实践操作”完成猜想的证明已知：求证：证明：实际应用如图，在中，是边的中点，是内一点，且 连接并延长，交于点，若，求的长【答案】数学发现：，证明见解析；实际应用：【分析】数学发现：连接并延长，交的延长线于点，证明 ，得到，在中，利用三角形的中位线可得，进而可得结论；实际应用：由题意可知是梯形的中位线，根据梯形的中位线定理可得，求出，再根据平行四边形的性质得，最后根据线段的和差即可求解【详解】数学发现：已知：如图，、分别是两腰、的中点，连接求证：和证明：如图，连接并延长，交的延长线于点，是的中点，点是的中点，又点是的中点，是的中位线，；实际应用：是边的中点，且，中，是边的中点， 是的中点，是梯形的中位线， ，又，【点睛】本题考查了三角形的中位线，梯形的性质，全等三角形的
