《【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品（沪科版）专题06特殊平行四边形（解析版讲义）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品（沪科版）专题06特殊平行四边形（解析版讲义）（111页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题06 特殊平行四边形知识点1：菱形的性质（1）菱形的性质菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线（2）菱形的面积计算利用平行四边形的面积公式菱形面积ab（a、b是两条对角线的长度）知识点2：菱形的判定菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等菱形）；四条边都相等的四边形是菱形几何语言：ABBCCDDA四边形ABCD是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）几何语言：ACBD，四边形ABCD是平行四边形平行
2、四边形ABCD是菱形知识点3：菱形的判定与性质（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形）（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形知识点4：矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是
3、矩形（2）矩形的性质：平行四边形的性质矩形都具有；角：矩形的四个角都是直角；边：邻边垂直；对角线：矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形，又是中心对称图形它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点（3）直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知识点5：矩形的判定（1）矩形的判定：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（2）方法：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等题设中出现多个直角
4、或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形知识点6：矩形的判定与性质（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等同时平行四边形的性质矩形也都具有在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题（2）下面的结论对于证题也是有用的：OAB、OBC都是等腰三角形；OABOBA，OCBOBC；点O到三个顶点的距离都相等知识点7：正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（2）正方形的性质：正方形的四条边
5、都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴知识点8：正方形的判定先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定知识点8：正方形的判定与性质（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质（2）正方形的判定正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定题型归纳【题型1 矩形性质理解】
6、 满分技法(1)矩形必须满足两个条件:是平行四边形,有一个角是直角，二者缺一不可.(2)矩形的定义既是矩形的性质，又是矩形的基本判定方法. 1（23-24八年级下安徽芜湖期中）下列四边形：正方形，矩形，菱形，平行四边形对角线一定相等的是（）ABCD【答案】C【分析】本题考查了特殊四边形的性质根据菱形，正方形，矩形，平行四边形的性质对各图形分析判断即可得解【详解】解：正方形对角线一定相等，正确；矩形对角线一定相等，正确；菱形对角线不一定相等，不正确；平行四边形对角线不一定相等，不正确；综上所述，对角线一定相等有故选：C2（22-23八年级下安徽芜湖期中）已知：如图，矩形中，对角线、相交于点，点是
7、线段上任意一点，且于点，于点，则等于（）A6B5CD【答案】C【分析】连接，利用矩形的性质和勾股定理求出的长，然后由求得答案【详解】解：连接，矩形中， ，即：，故选：C【点睛】此题考查了矩形的性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用3（22-23八年级下安徽淮南期中）如图，已知以的三边在的同一侧分别作三个等边三角形，即、试判断下列结论：四边形是平行四边形；若四边形是矩形，则；若四边形是菱形，则；当时，四边形不存在其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个【答案】D【分析】由等边三角形的性质结合和证明，进而可得，可证得四边形是平行四边形，可判断，利用矩形和菱形的性质结
8、合等边三角形的性质，可判断，由，结合等边三角形的性质可得，可知，三点在同一直线上，可判断，进而可得正确的结论个数【详解】解：、是等边三角形，则，同理可证：，四边形是平行四边形，故正确；若四边形是矩形，则，、是等边三角形，故正确；若四边形是菱形，则，又，故正确；当时，、是等边三角形，则，即，三点在同一直线上，四边形不存在，故正确；综上，正确的结论有4个，故选：D【点睛】本题考查等边三角形的性质，平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的性质，掌握相关图形的性质及判定方法是解决问题的关键4（23-24八年级下安徽淮南期中）如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点若，则线段的长为 【答案】5【分析】本题考查
9、三角形中位线定理，矩形的性质，利用勾股定理解三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答根据题意，利用三角形中位线定理可以得到，然后根据勾股定理可以得到的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到的长【详解】解：在矩形中，O是矩形的对角线的中点，E是边的中点，为的中位线，AD=2OE=6，点O为的中点，故答案为：【题型2 利用矩形的性质求角度】 满分技法利用矩形的性质求角度，既要会灵活运用平行四边形的性质和矩形的特殊性质，也要结合题目实际情况运用多边形的内外角和、角平分线、平行线的性质等底.5（22-23八年级下安徽马鞍山期末）如图，若正五边形和
10、矩形按如图方式叠放在一起，则的度数为（）ABCD【答案】B【分析】先求出正五边形的内角和，可得出每个内角的度数，根据矩形的每个内角为，即可求解【详解】解：正五边形内角和为：，故选：B【点睛】本题考查多边形的内角和，矩形的性质，正确理解题意是解题的关键6（22-23八年级下安徽滁州阶段练习）如图，在矩形中，相交于点，平分，交于点，若，求的度数【答案】【分析】根据四边形是矩形及平分，可得，从而得出又由可得，最后得出【详解】解：四边形是矩形，平分，又，故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键7（22-23八年级下安徽芜湖期末）如图，、是矩形
11、边上的两点，(1)若，则_；(2)求证：【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）根据四边形是矩形得，根据得，根据平行线的性质即可得；（2）根据四边形是矩形得，根据可证明，得，即可得【详解】（1）解：四边形是矩形，（2）证明：四边形是矩形，在和中，【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握这些知识点【题型3 根据矩形的性质求线段长】 满分技法矩形中求线段长度的锦囊妙计(1)把所要求解的线段放在直角三角形中，使其成为某条边，利用勾股定理或含特殊角(30,45)的直角三角形的三边关系求解.(2)利用矩形的性质(四个角都是直角,对角线相等且互相平分)寻找所需条
12、件.另外，还可借助全等三角形、线段的和差倍分关系等求矩形中线段的长度.8（23-24八年级下安徽池州阶段练习）如图，在矩形中，是边上一动点，是对角线上一动点，且，则的最小值为（）A2BC4D【答案】D【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键依据题意，延长到，使，连接，由四边形是矩形，从而，先证，进而，故，所以当点、共线时，最小，最小值为，最后利用勾股定理进行计算可以得解【详解】解：延长到，使，连接，四边形是矩形，当点、共线时，最小，最小值为最小值为，在中，最小值为9（23-24八年级下安徽安庆阶段练习）如图，在矩形中，对角线与相交
13、于点，垂足为，则的长为（）ABCD【答案】D【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，证明是等边三角形是本题的关键由矩形的性质得出，得出，由已知条件得出，由线段垂直平分线的性质得出，得出为等边三角形，因此，由三角形的外角性质得出，由含角的直角三角形的性质即可得出的长【详解】解：四边形是矩形，是等边三角形，故选：D10（23-24八年级下安徽阜阳阶段练习）如图，将两张长为，宽为的矩形纸条交叉叠放，使一组对角的顶点重合，其重叠部分是四边形(1)证明：四边形是菱形：(2)求菱形的面积【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据矩形的性质得四边形是平行四边形，用可证，即可得，即可得；（2）设，则，在中，根据勾股定理得，进行计算即可得，即可得答案【详解】（1）证明：四边形，四边形都是矩形，四边形是平行四边形，在和中，四边形是菱形（2）解：设，则，在中，答：四边形的面积为【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，全等三角形的
