《【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品（华东师大版）第13讲 相似三角形的性质与判定（提高篇）（解析版讲义）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品（华东师大版）第13讲 相似三角形的性质与判定（提高篇）（解析版讲义）（70页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第13讲 相似三角形的性质与判定（提高篇） 【热考题型】【题型一】尺规作图与相似三角形综合运用1（23-24九年级上福建泉州期中）求证：三角形的重心与一边中点的连线的长是对应中线长的要求：(1)如图，在中，用尺规作出边上的中线，边上的中线，且与交于点G（不写做法，保留作图痕迹）(2)在（1）的基础上，写出已知，求证和证明过程【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，三角形的中线的性质及尺规作图（1）根据三角形的中线的定义作出图形即可；（2）根据三角形中线的性质，证明，由三角形相似的性质即可证明【详解】（1）解：如图所示，（2）解：已知：在中，、分别是、边上的中线
2、，且与交于点G求证：，证明：连接，、分别是边、的中点，2（2023山西太原模拟预测）如图，在中，(1)实践与操作：利用尺规作边上的垂直平分线，垂足为E，交于点D（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）(2)求出线段的长【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）利用基本作图作的垂直平分线即可；（2）先利用勾股定理计算出，再利用线段垂直平分线的性质得到，接着证明，然后利用相似比计算的长【详解】（1）解：如图， 为所作的边上的垂直平分线；（2）解：，在中，由勾股定理得：，垂直平分，即，解得，线段的长为【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图是解决问题的关键，也考查了线段垂直平分线
3、的性质3（22-23九年级上山西吕梁期末）如图，在平行四边形中，E是边上的一点，连接(1)利用尺规作，使，的边交于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）(2)求证：【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图，并标上字母即可；（2）根据平行四边形的性质证明，进一步得到，可得，从而可得结论【详解】（1）解：如图，即为所求；（2）在平行四边形中，又，【点睛】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是找准相似三角形，得到比例线段4（2022福建龙岩二模）已知菱形中，是边上一点(1)在的右侧求作，使得，且；（要求：尺规
4、作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若，求证：【答案】(1)见解析；(2)见解析.【分析】（1）连接AC交BD于O，在BC右侧作CEF=CBD，再在射线EF截取EF=OB，连接AE、AF，即可得AEF；（2）延长EF交AD延长线于点G，先证明四边形BEGD是平行四边形，可得EG=BD=2EF，G=CBD，【详解】（1）解：如图，连接AC交BD于O，在BC右侧作CEF=CBD，再在射线EF截取EF=OB，连接AE、AF，则AEF即为所要求作的三角形，再证，可得，最后证得结果；（2）证明：延长EF交AD延长线于点G，四边形ABCD是菱形，AD/BC，又EF/BD，EF=BD，四边
5、形BEGD是平行四边形，EG=BD=2EF，G=CBD，又在菱形ABCD中，CBD=ABC，又，；【点睛】本题考查作图-复杂作图、相似三角形的性质与判定、菱形的性质、平行四边形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型【题型二】三角板与相似三角形综合运用5（23-24九年级上河北保定期中）问题提出（1）如图，在等腰直角中，点D、E分别在边上，连接，有求证：问题探究（2）如图，将矩形沿折叠，使点D落在边的点F处，若，_；变式拓展（3）如图，如果，将三角板的直角顶点E放在矩形纸片的边上移动，的长应为_时，恰好存在两直角边所在的直线分别经过点A，D；问题解决（4）如图，菱形是一座避
6、暑山庄的平面示意图，其中米，现计划在山庄内修建一个三角形花园，点P、Q分别在线段上，根据设计要求要使，且，问能否建造出符合要求的三角形花园，若能，请直接写出的长，若不能，请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）2或8；（4）能，【分析】（1）由，可得，证明即可；（2）由矩形的性质可知，由折叠的性质可知，由勾股定理得，则，设，则，由勾股定理得，即，计算求解即可；（3）由矩形的性质可知，由题意知，证明，即，整理得，计算求出满足要求的解即可；（4）由菱形，可得，如图，在上截取，使，连接，则为等边三角形，则，证明，则，即，解得，由，可求，则，如图，作的延长线于，由勾股定理得，计算求解即可【详
7、解】（1）证明：，即，；（2）解：由矩形的性质可知，由折叠的性质可知，由勾股定理得，设，则，由勾股定理得，即，解得，故答案为：；（3）解：由矩形的性质可知，由题意知，即，即，整理得，解得，或，故答案为：2或8；（4）解：能，；菱形，如图，在上截取，使，连接，则为等边三角形，即，解得，解得，如图，作的延长线于，由勾股定理得，能，【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，含的直角三角形等知识熟练掌握一线三等角证明三角形相似是解题的关键6（23-24九年级上山西临汾期中）综合与探究问题解决如图1，中，
8、过点C作于点D，小明把一个三角板的直角顶点放置在点D处，两条直角边分别交线段于点 E ，交线段于点 F，在三角板绕着点D旋转的过程中，若点E是的中点，则点F也是的中点吗？（注：可以用知识：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）“阳光”小组的解答是：若点E是的中点，则点F也是 的中点理由如下： 于点 D，点 E 是的中点，是等边三角形，又，即若点E是的中点，则点F也是的中点反思交流（1）“群星”小组认为在这个题中，可以去掉条件“”，其他条件不变（如图2），若点E是的中点，则点F也是 的中点请你根据条件证明这个结论；拓广探索（2）去掉条件“”，其他条件不变旋转过程中，若（如图3），那么等式成立吗？
9、请说明理由；（3）去掉条件“”，其他条件不变若点 E 是上任意一点（如图4），（2）中的结论还成立吗？请说明理由【答案】（1）若点E是 的中点，则点F也是 的中点，理由见解；（2）成立，理由见解；（3）若点E是上任意一点，（2）中的结论仍然成立，理由见解【分析】（1）由题意得，根据直角三角的性质和等腰三角形的性质即可得出结论；（2）证明四边形是矩形，根据矩形的性质即可得出结论；（3）由题意证明，由相似三角形的性质即可得出结论【详解】解：（1）于点D，点E是的中点，又，即点F是的中点；（2）旋转过程中，若，那么等式成立理由如下：，四边形是矩形，；（3）若点E是上任意一点（如图4），（2）中的结论
10、仍然成立理由如下：，同理证得，则，同理证得，则，即【点睛】本题是相似形的综合题，考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键7（22-23九年级下河北衡水期中）将一副三角板(和，按如图所示摆放，点，在一条直线上，且是的中点，(1)如图1，与交于点，连接，求证：；(2)如图2，将绕点以每秒的速度进行顺时针旋转，旋转时间为，在旋转过程中，当点在内部包括边界时，求旋转的时长；如图3，在旋转过程中，当经过点时，将沿方向平移得到，若恰好经过中的点，请直接写出的长度；如图2，在旋转过程中，当与边交于点，与边
11、交于点时，分别过点，作直线的垂线，垂足为，若，用含的式子表示的长度【答案】(1)见解析(2)；【分析】（1）根据证明，即可得证；（2）当时，即旋转的最大角度为当经过点时，证明是等边三角形，进而根据旋转的性质得出当经过点时，即可求解；由可得，若经过点，则点与点重合，此时；设的长度为证明得出，由已知可得，根据正切的定义可得，得出，代入比例式即可求解【详解】（1）解：证明：是的中点，又，；（2）当时，即旋转的最大角度为当经过点时，在中，是的中点，又，是等边三角形，此时旋转了过点作于点， 在中，即旋转时，点在上当经过点时，即旋转角为，即当点在内部包括边界时，旋转的时长为；的长度为；如图，由可得，若经过
12、点，则点与点重合，此时设的长度为 ， ，又，【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，正切的定义，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键8（23-24九年级上山东济南期中）【问题背景】中，P为上的动点，小熙拿含角的透明三角板，使角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转【用数学的眼光观察】（1）如图1，当三角板的两边分别交、于点E、F时，以下结论正确的是：_；.【用数学的思维思考】（2）将三角板绕点P旋转到图2情形时，三角板的两边分别交的延长线、边于点E、F与相似吗？请说明理由；【用数学的语言表达】（3）在（2）的条件下，动点P运动到什么位置时，？说明理由【答案】（1）；（
13、2）与相似，理由见解析；（3）动点P运动到中点位置时，与相似，理由见解析【分析】（1）找出与的对应角，其中，得出，从而解决问题；（2）利用（1）小题证明方法可证：；（3）动点P运动到中点位置时，与相似，同（1），可证，得，而，因此 ，进而求出，与相似【详解】（1）解：，又，又，故正确；，故正确；，故正确；故答案为： （2）解：；理由：在中，又，又，（3）解：动点P运动到中点位置时，与相似， 证明：同（1），可证，得， 而，因此 又，【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定它以每位学生都有的三角板在图形上的运动为背景，既考查了学生图形旋转变换的思想，静中思动，动中求静的思维方法，又考查了学生动手实践、自主探究的能力【题型三】裁剪与相似三角形综合运用9（23-24九年级上河南南阳期中）对于初中数学“几何与图形”这一部分的学习，通过对矩形纸片的剪拼，旋转等“
