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1、专题04 三角形的证明目录【考点1 等腰三角形中求角度、边长】3【考点2 等腰三角形的判定和性质】7【考点3 等边三角形中求角度、边长】11【考点4 等边三角形的判定和性质】16【考点5 全等的性质和HL综合】21【考点6 与等腰三角形，直角三角形有关的多解题】26【考点7 利用线段的垂直平分线的性质求解】32【考点8 利用角平分线的性质求解】34【考点9 线段的垂直平分线的判定和性质】37【考点10 角平分线的判定和性质】41【过关检测】461.等腰三角形的性质（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形性质2：文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中
2、线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一）图形：如下所示；符号：在中，ABAC， 2.等腰三角形的判定（1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2） 等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边)3.等边三角形的性质（1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等；（2） 等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于；（3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.4.等边三角形的判定（1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形；（2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个
3、内角都相等的三角形是等边三角形；（3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形.5.直角三角形全等的判定图形定理符号如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：H.L）在中，6.直角三角形的性质定理及推论定理1直角三角形的两个锐角互余；定理2直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半；推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于.7.勾股定理图形名称定理符号表示边的定理在直角三角形中，斜边大于直角边.在中，勾股定理直角三
4、角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方.在中，勾股定理逆定理如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.在中， 8.线段的垂直平分线9.角的平分线 考点剖析【考点1 等腰三角形中求角度、边长】 1 例题1：（22-23八年级上浙江台州期末）已知在中，点、分别在边和上，且，若，则的度数是 【答案】【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，等边对等角，等角对等边；正确确定相等关系列出方程是解题的关键设，根据，即可列出方程，从而求解【详解】解：设，又，则，又，解得，的度数是故答案为：例题2：（23-24八年级上山东济宁期末）如图，在等腰中，D为上一点，且，若，则的
5、长是 【答案】14【分析】此题考查了含度的直角三角形的性质，等腰三角形的性质过点作于，根据含度的直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质即可求解【详解】解：过点作于，在等腰中，故答案为：【变式训练】1（22-23七年级下辽宁沈阳期末）在中，在直线上取一点，使，连接，则的度数为 【答案】或【分析】根据等腰三角形的性质可以得到各内角的关系，然后根据题意，画出图形，利用分类讨论的方法求出的度数即可本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解答本题的关键是正确画出图形，利用分类讨论的方法解答【详解】解：如图所示，当点在点的左侧时，；当点在点的右侧时，；由上可得，的度数是或，故答案
6、为：或2.（23-24七年级上山东威海期末）如图，点在边上，. 若，则的度数为 【答案】【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、三角形的外角性质、平行线的性质，根据平行线的性质得，再根据三角形的外角的性质得，再利用可得，进而可得，进而可得，再根据即可求解，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键【详解】解：，且，在和中， ，故答案为：3（23-24八年级上安徽合肥期末）如图，已知为，点在边上，点、在边上，若为，则为 【答案】【分析】本题主要考查的是含30度直角三角形的性质、等腰三角形的性质；过作，交于点，先说明，再根据含30度直角三角形的性质可得的长；由，利用等腰三角形三线
7、合一可得为中点，再根据求出的长，最后根据即可解答【详解】解：如图：过作交于点，在中， ，故答案为：4（23-24八年级上湖北荆州期末）如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点、，若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为 【答案】【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，等腰三角形三线合一的性质；连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论【详解】解：连接，是等腰三角形，点是边的中点，解得，是线段的垂直平分线，点关于直线的对称点为点，的长为的最
8、小值，的周长最短故答案为：【考点2 等腰三角形的判定和性质】例题：（23-24八年级上广东汕头期末）如图，在中，以为边作等边，以为边作等边，连并延长交于点(1)求证：；(2)判断的形状，并说明理由【答案】(1)见解析(2)是等腰三角形【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定、等边三角形的性质：（1）根据等边三角形的性质得，进而可得，再利用可证得，进而可求证结论；（2）由（1）得：，进而可得，进而可得，进而可求解；熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键【详解】（1）证明： 和都是等边三角形，即，在和中，（2）由（1）得：，是直角三角形，且，是等腰三角形【变式训练】1（22-23八
9、年级上北京密云期末）如图，在中，与的角平分线、分别交、边于点D和点E(1)求证：是等腰三角形；(2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）利用三角形内角和，角平分线的定义得出，进而得出，即可得出结论；（2）延长至，使，连接，利用等边对等角和三角形的外角得出，再证明，根据全等三角形的性质得出，再根据线段的和差即可得出【详解】（1）解：证明：在中，平分，是等腰三角形（2），证明：延长至，使，连接，平分，即【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键2（22-23八年级上广东汕头期末）如图，已知点O在等边的
10、内部，以为边作等边，连接(1)求证：；(2)当时，试判断的形状，并说明理由；【答案】(1)证明见解析(2)等腰直角三角形，理由见解析【分析】（1）证明，即可得证；（2）根据，得到，进而得到，利用，求出，推出，即可得出结论【详解】（1）证明：，为等边三角形，在和中：，；（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：，是等腰直角三角形【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键【考点3 等边三角形中求角度、边长】 例题1：（23-24七年级上山东青岛期末）如图，是等边三角形的中线，则 【答案】/75度【分析】本题考查等边三
11、角形的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，根据等边三角形任意一边的三线合一得到。结合等腰三角形两底角相等即可得到答案；【详解】解：三角形是等边三角形，是等边三角形的中线，故答案为：例题2：（22-23八年级下贵州六盘水期末）如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点作于点，为延长线上一点，取，连接，交于，则的长为 【答案】【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质是解题的关键根据题意，作，可证是等边三角形，由此可得，即可求解【详解】解：如图所示，过点作，交于点，是等边三角形，是等边三角形，即，是
12、的角平分线，是的中线，在中，故答案为：【变式训练】1（23-24八年级上山东滨州期末）如图，等边中，点分别在边上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点如果测得，那么 【答案】【分析】本题考查了翻折变换问题，三角形内角和，解题的关键是由等边三角形可得，由折叠的性质可得，根据三角形内角和结合对顶角相等可得，再利用三角形内角和求出结果【详解】解：是等边三角形，由翻折可得，故答案为：2（23-24八年级上福建南平期末）如图，和都是等边三角形，点E，F分别在边和上，且，若的周长最小时，则的大小是 【答案】/30度【分析】本题考查了等边三角形的性质以及垂线段最短，全等三角形的性质与判定：先通过等边三角
13、形的性质证明，得，因为，所以是等边三角形，则当时，的周长最小，此时，即可作答【详解】解：和都是等边三角形，且，则，是等边三角形，则的周长，当时，有最小值，等边三角形的三线合一，故答案为：3（22-23七年级下四川成都期末）如图，等边边长为， 点 D， E 分别在边边上， 以为边往下作等边， 连接， 当且的周长最小时，的长为 【答案】/【分析】本题考查等边三角形的性质，两点之间线段最短，直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半作点F关于对对称点，连接，当共线，且点E为中点时，的周长最小，由等边三角形的性质得到，根据即可求解【详解】解：如图，作点F关于对对称点，连接，则，为等边三角形，的周长为，当共线，且点E为中点时，的周长最小，为等边三角
