《【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品（华东师大版）第19讲 直角三角形的性质与锐角三角函数（解析版讲义）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品（华东师大版）第19讲 直角三角形的性质与锐角三角函数（解析版讲义）（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第19讲 直角三角形的性质与锐角三角函数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测1.掌握直角三角形的性质，能利用直角三角形的性质定理进行有关计算与证明：2.初步了解正弦、余弦、正切的概念，正确运用正弦、余弦、正切表示直角三角形的两边比：3.熟记特殊角的三角函数值：4.能用计算器进行有关三角函数值的计算.一、直角三角形的性质直角三角形的性质：1）直角三角形两个锐角互余. 2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3）在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半.面积公式：S=12ab=12cm (其中：c为斜边上的高，m为
2、斜边长)二、锐角三角函数锐角三角函数的概念：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数（其中：0A90）正弦、余弦、正切的概念定义表达式图形正弦余弦正切锐角三角函数的关系：在RtABC中，若C为直角，则A与B互余时，有以下两种关系：1）同角三角函数的关系： ，2) 互余两角的三角函数关系：sin A = cos B, sin B = cos A, 特殊角的三角函数值三角函数3045601【补充】表中是特殊角的三角函数值.反过来，若已知一个特殊角的三角函数值，则可求出相应的锐角.锐角三角函数的性质性质前提：0A90sin A随A的增大而增大cos A随A的增大而减小tan A随A的增大而增大
3、【易错易混】1. 若锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示的，则表示它的正弦、余弦及正切时习惯省略角的符号“”,如 tan A、sin a、cos A.若锐角是用三个大写英文字母或一个数字表示的,则表示它的正弦、余弦及正切时,不能省略角的符号“”,如sinABC，cos2，tan1.2. tan A乘方时,一般写成tannA,它与tanAn含义相同(正弦、余弦相同).3. 锐角三角函数是针对直角三角形中的锐角而言的. 而且由锐角三角函数的定义可知,其本质特征是两条线段长的比.因此,锐角三角函数只有数值,没有单位，它的大小只与角的大小有关，而与它所在的三角形的边长无关.4. 根据定义求三
4、角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.【考点一】含30的直角三角形有关计算1（23-24九年级上黑龙江绥化期末）如图，在中，平分交边于点D，若，则线段的长为（）AB1C2D3【答案】C【分析】先求出，再由角平分线的定义得到，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出，即可由，得到【详解】解：在中，平分，在中，故选C【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等角对等边，三角形内角和定理等等，求出，再推出，得到是解题的关键2（23-24九年级上四川达州期末）如图，已知某菱形花坛的周长是24m，则花坛对角线的长是（
5、）A3mB6mCD【答案】B【分析】本题主要考查菱形的性质，含角的直角三角形的性质，根据题意可求出，根据，可求出，根据菱形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键【详解】解：四边形是菱形，菱形的周长为，设交于点，在中，故选：3（16-17九年级上河北秦皇岛期中）如图所示是一个中心对称图形，点为对称中心若，则的长为（）A4BCD【答案】D【分析】根据中心对称图形的特点可知：，再根据含角的直角三角形的性质以及勾股定理求出，问题随之得解【详解】根据中心对称图形的特点可知：， ， 在中，在中，解得：（负值舍去），故选：D【点睛】本题主要考查了中心对称图形的特点，含角的
6、直角三角形的性质以及勾股定理，根据中心对称图形的特点得到，是解答本题的关键4（23-24九年级上山东威海期末）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取水机械，桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，米，当点A位于最高点时，此时，点A到地面的距离为 【答案】米/【分析】本题主要考查了含直角三角形的性质；过O作，过A作于G，求出，根据含直角三角形的性质求出，然后可得答案【详解】解：过O作，过A作于G，米，米，在中，米，点A位于最高点时到地面的距离为米，故答案为：5米【考点二】利用斜边的中线等于斜边的一半求解5（20-21八年级下江苏徐州期中
7、）如图，在中，点D、E分别是、的中点，点F是上一点连接，若，则的长度为（）A18B16C14D12【答案】D【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，进而求出，再根据三角形的中位线定理即可求出【详解】解：，点E是的中点，点D、E分别是、的中点，故选：D6（23-24九年级上广东佛山阶段练习）某生态公园的人工湖周边修葺了条湖畔小径，如图小径，恰好互相垂直，小径的中点刚好在湖与小径相交处若测得的长为，的长为，则，两点间的距离为（）ABCD【答案】A【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解答
8、本题的关键由题意知，点是的中点，根据直角三角形的性质，得到，再根据勾股定理求出的长，由此求出，两点间的距离【详解】解：由题意得：，点是的中点，故选：7（23-24九年级上四川宜宾期末）如图，在中，是的中线，E是的中点，连接若，则的度数为 【答案】/30度【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键根据垂直定义可得，从而在中，利用直角三角形斜边上的中线性质可得，再在中，利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得度数【详解】解：，点是的中点，是的中点，是等边三角形
9、，故答案为：8（23-24九年级上湖南邵阳期末）在中，且关于的方程有两个相等的实数根，则边上的中线长为 【答案】5【分析】本题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线性质；证明是直角三角形是解决问题的关键由根的判别式求出a，由勾股定理的逆定理证出是直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论，【详解】关于的方程有两个相等的实数根，解得：，是直角三角形，是斜边，边上的中线长；故答案为5【考点三】正弦、余弦、正切的概念辨析9（20-21九年级上甘肃白银期末）如图，梯子（长度不变）与地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法中，正确的是（）A的
10、值越大，梯子越陡B的值越大，梯子越陡C的值越小，梯子越陡D陡缓程度与的函数值无关【答案】A【分析】本题主要考查了锐角三角形，根据三角函数定义与性质，值越大越大；值越小越大；值越大越大，从而判断出答案【详解】解：A、的值越大，则越大，则梯子越陡，原说法正确，符合题意；B、的值越大越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意；C、的值越小越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意；D、陡缓程度与的函数值有关，原说法错误，不符合题意；故选：A10（22-23九年级上湖南邵阳期末）在中，设，所对的边分别是a，b，c，则下列各等式中一定成立的是（）ABCD【答案】A【分析】根据锐角三角函数的定义进行判断即可【
11、详解】解：由题意可得：，故A选项成立，B，C，D不成立，故选A【点睛】本题考查锐角三角函数，理解锐角三角函数的定义是正确解答的关键11（2020黑龙江哈尔滨一模）已知中，为的对边，为的对边，若与已知，则下列各式正确的是（）ABCD【答案】C【分析】利用锐角三角函数的定义列出算式，然后变形计算即可【详解】解：如图所示：tanA=，则a=btanA故选：C【点睛】此题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键12（20-21九年级上黑龙江哈尔滨期末）如图，在中，设，所对的边分别为，则下面四个等式一定成立的是（）ABCD【答案】B【分析】根据B的正弦、余弦、正切的定义列式，根据等式的
12、性质变形，判断即可【详解】解：在ABC中，C=90，sinB=，c=，A选项等式不成立；cosB=，a=ccosB，B选项等式成立；tanB=，a=，C选项等式不成立；tanB=，b=atanB，D选项等式不成立；故选：B【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角是三个三角函数的定义是解题的关键【考点四】根据定义直接求角的正弦、余弦、正切值13（22-23九年级上湖南益阳期末）如图，在平面直角坐标系中，点，与轴正半轴的夹角为，则的值为（）ABCD【答案】A【分析】过P作轴于N，轴于M，根据点P的坐标求出和，解直角三角形求出即可【详解】解：过P作轴于N，轴于M，则，点，故选：A【点睛】本题考
13、查了点的坐标和解直角三角形，能求出和的长是解此题的关键14（22-23九年级上江苏徐州期末）如图，已知大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，那么 【答案】/【分析】根据已知可得大正方形的边长是5，小正方形的边长是1，然后设三角形的长直角边为a，短直角边为b，从而可得，进而可得，最后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答【详解】解：大正方形的面积是25，小正方形的面积是1， 大正方形的边长是5，小正方形的边长是1， 设三角形的长直角边为a，短直角边为b， 由题意得： ， 解得：， （负根舍去）， 故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，数学常识，勾股定理的证明，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及勾股定理是解题的关键15（23-24九年级上河北石家庄期末）如图，在中，点E，F分别在边上，将沿折叠，使点B恰好落在边上的点D处（1）的值为 ；（2）若与相似，则的长为
