《【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品（沪科版）第12讲解直角三角形及其应用（解析版讲义）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品（沪科版）第12讲解直角三角形及其应用（解析版讲义）（59页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第12讲 解直角三角形及其应用模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测1.理解解直角三角形的含义，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形；2.能通过作高线构造直角三角形解非直角三角形；3.会用解直角三角形中的有关知识建立数学模型,解决某些简单的实际问题. 知识点一 解直角三角形1.解直角三角形的概念一般地,直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.(1) 在直角三角形中,除直角外的五个元素中,已知其中的两个元素(至少有
2、一个是边),可求出其余的三个未知元素(知二求三)(2) 一个直角三角形可解，则其面积和周长可求.但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积和周长2.直角三角形中五个元素（除直角外的）之间的关系如图，在RtABC中，已知C90，（1） 三边之间的关系：.（勾股定理）（2） AB90（3） 边角之间的关系： ;.3.解直角三角形的类型和解法 条件解法步骤图示两边两直角边由，求；;斜边,一直角边（如）由，求；;一边一角一直角边和一锐角锐角,邻边如（）；锐角,对边如（）；斜边,锐角如（）；提示在直角三角形中,计算边时可用以下口诀:有斜求对乘正弦,有斜求邻乘余弦,有邻求对乘正切“有斜求对乘
3、正弦”的意思是在直角三角形中,对一个锐角而言,如果已知斜边长，要求出该锐角的对边，那么就用斜边长乘该锐角的正弦值，其他语句的意思可类推. 【例1】 在【例1】RtABC中，C90，a6，b63解这个三角形【答案】c=12，A=30，B=60.【分析】先用勾股定理求出c，再根据边的比得到角的度数.【详解】在RtABC中，C90，a6，b63，c=a2+b2=62+(63)2=12，sinA=ac=612=12， sinB=bc=6312=32，A=30，B=60.【点睛】此题考查解直角三角形，即求出三角形未知的边和角，用三角函数求角度时能熟记各角的三角函数值是解题的关键.知识点二 解直角三角形在
4、实际问题中的应用1. 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤(1)将实际问题抽象为数学问题;(2)根据问题中的条件选用合适的锐角三角函数解直角三角形;(3)得到数学问题的答案;(4)得到实际问题的答案.2.实际问题中，常见的基本图形及相应的关系式图形关系式图形关系式特别提醒：(1)根据问题找到要求解的直角三角形，当没有现成的直角三角形时,适当添加辅助线构造(或分割)直角三角形(2)有些问题中有两个(或两个以上)直角三角形,当其中一个直角三角形不能求解时,可考虑在其他直角三角形中找出含有相同的未知元素的关系式，列方程求解.3.解直角三角形的常见类型(1)仰角和俯角在测量中,我们把在视线与水
5、平线所成的角中,视线在水平线上方的叫做仰角.视线在水平线下方的叫俯角.如图所示，PQ 为水平线,视线为PA时，则APQ为仰角;视线为PB时,则BPQ为俯角.【例2】沈钰琴同学住在第三小学对面的金惠大厦，教学楼与金惠大厦的水平距离为50m，某日她在自己房间窗口P测得教学楼顶部A的俯角为45，教学楼底部B的俯角为60，则教学楼的高度为（）mA50B50350C502D503【答案】B【分析】过点A向上作垂线，垂足为E，根据题意可求PQ=QBtan60=503m，PE=AE=50m，即可求解【详解】解：过点A向上作垂线，垂足为E，如图，由题意得：EPA=45，EPB=60，QB=50m，PBQ=60
6、，PE=QB=50m，PQ=QBtan60=503m，PE=AE=50m，BE=PQ=503m，教学楼的高度为：BEAE=(50350)m，故选：B【点睛】本题属于解直角三角形的问题，需将实际问题转化为数学问题分析解答【变式2-1】“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为45，看底部C的俯角为60，无人机A到该建筑物BC的水平距离AD为10米，求该建筑物BC的高度（结果精确到0.1米；参考数据：21.41，31.73）【答案】该建筑物BC的高度约为27.3米【分析】由题意可知，BAD=45，CAD=60，ADBC，
7、根据三角形内角和定理和等角对等边的性质，得到BD=AD=10米，再利用锐角三角函数，求出CD=103米，即可得到该建筑物BC的高度【详解】解：由题意可知，BAD=45，CAD=60，ADBC，ADB=90，ABD=180ADBBAD=45=BAD，BD=AD=10米，在RtACD中，CD=ADtanCAD=ADtan60=103米，BC=BD+CD=10+10327.3米，答：该建筑物BC的高度约为27.3米【点睛】本题考查的是解直角三角形仰俯角问题，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数，熟练掌握直角三角形的特征关键知识点三 方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的角,叫
8、方向角.如图所示，目标方向线OA，OB，OC形成的方向角分别可以表示为北偏东30、南偏东45、北偏西30，其中南偏东45习惯上又叫做东南方向,北偏东 45习惯上又叫做东北方向，北偏西45习惯上又叫做西北方向,南偏西45习惯上又叫做西南方向.注意：平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解.【例3】钓鱼岛及其附属岛屿是我国的固有领土，台湾保岛人士组团前往钓鱼岛，宣示主权当巡逻船航行至海面B处时（如图），测得钓鱼岛位于正北方向20海里的C处，为了防止日本海巡警干扰，就请求我A处的海监船前往C处护航已知C处位于A处的北偏东45的方向上，A位于B的北偏西30的方向上求：A、C之间的距离
9、？（结果精确到0.1海里，参考数据：21.41，31.73）【答案】10.3海里【分析】作ADBC，垂足为D，设CD=x，利用解直角三角形的知识，可得出AD，继而可得出BD，结合题意BC=CD+BD=20海里可得出方程，解出x的值后即可得出答案【详解】解：如图，作ADBC，垂足为D，由题意得，ACD=45，ABD=30设CD=x，在RtACD中，可得AD=x,在RtABD中，可得BD=3x又BC=20，即x+3x=20，解得：x=10310，AC=2x10.3（海里）答：A、C之间的距离为10.3海里【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题意构造直角三角形，将实际问题转化为
10、数学模型进行求解，难度一般【变式3-1】一艘轮船自南向北航行，在A处测得北偏东23方向有一座小岛C，继续向北航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的北偏东53方向上在小岛C周围35海里有暗礁，若轮船继续向北航行，是否有触确的危险？（参考数据：sin230.4，tan230.4，sin530.8，tan531.3）【答案】轮船继续向北航行，有触确的危险，理由见解析【分析】如图，过C作CDAB于D，由题意可得：BAC=23，DBC=53，设BD=x海里，而AB=60海里，AD=60+x海里，再表示CD=1.3x（海里），利用tanDBC=tan23=CDAD0.4，再建立方程求解即可【详解】解
11、：如图，过C作CDAB于D，由题意可得：BAC=23，DBC=53，设BD=x海里，而AB=60海里，AD=60+x海里，tanDBC=tan53=CDBD1.3，CD=1.3x（海里），tanDBC=tan23=CDAD0.4，1.3xx+60=0.4，解得：x=803，经检验符合题意，80335，轮船继续向北航行，有触确的危险【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练的借助方位角与三角函数解决触礁问题是解本题的关键知识点四 坡度与坡角（1）坡角:坡面与水平面所成的夹角.如图中的（2）坡度:我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度.坡度也可写成的形式,在实际应用中常表示成的形式（
12、3）坡度与坡角的关系：.坡度是坡角的正切值,坡角越大，坡度也就越大【例4】已知一斜坡的坡度i=1:2.4，高度为5米，那么这一斜坡的坡长为 米【答案】13【分析】设斜坡的水平宽度为x米，根据坡度的定义可求出x，再根据勾股定理求解即可【详解】解：设斜坡的水平宽度为x米，则5：x=1：2.4，解得：x=12，这一斜坡的坡长为52+122=13（米）故答案为：13【点睛】本题考查了坡度的定义与相关计算，掌握坡度等于垂直距离与水平宽度的比，是解题的根据【变式4-1】如图，某小区车库顶部BC是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯AB已知平台斜坡CD的坡度i=1:3，坡长为6米在坡底D处测得灯的顶端A
13、的仰角为45，在坡顶C处测得灯的顶端A的仰角为60，求灯的顶端A与地面DE的距离（结果保留根号）【答案】(3+33)米【分析】过点B作BFDE于点F，过点C作CGDE于点G，由坡度的定义及斜坡CD的坡长为6米，可得DG=33米，CG=BF=3米，设BC=FG=x米，则DF=(x+33)米，在RtABC中，tan60=ABBC=ABx=3，解得AB=3x，则AF=(3+3x)米，在RtADF中，ADF=45，可得AF=DF，即3+3x=x+33，求出x的值，进而可得答案【详解】解：过点B作BFDE于点F，过点C作CGDE于点G，由题意得，CD=6米，ADF=45，ACB=60，CG=BF，BC=
14、FG，斜坡CD的坡度i=1:3， CGDG=13，即DG=3CG，在RtCDG中，由勾股定理得CG2+(3CG)2=62，解得CG=3，DG=33米，BF=3米，设BC=FG=x米，则DF=(x+33)米，在RtABC中，tan60=ABBC=ABx=3，解得AB=3x，AF=(3+3x)米，在RtADF中，ADF=45，AF=DF，即3+3x=x+33，解得x=3，AF=(3+33)米灯的顶端A与地面DE的距离为(3+33)米【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键考点一：解非直角三角形 例1（23-24九年级上安徽六安阶段练习）如图，在中，(1)求的值(2)求的面积（结果保留根号）【答案】(1)(2)的
