随机事件及其概率

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1、1随机事件及其概率随机事件及其概率一、基本内容一、基本内容1.1.随机试验随机试验（1）试验在相同的条件下可重复进行；）试验在相同的条件下可重复进行；（2）试验前知道试验的所有可能结果，）试验前知道试验的所有可能结果， 并且可能的结果不止一个；并且可能的结果不止一个；（3）试验前不知道那一个结果会出现。）试验前不知道那一个结果会出现。具有下列特点的试验称为具有下列特点的试验称为随机试验随机试验 ( 试验试验 ):2.2.样本空间与样本点样本空间与样本点样本空间样本空间 随机试验的所有可能的结果所组成的集合，随机试验的所有可能的结果所组成的集合，记作记作；样本点样本点样本空间样本空间中的每个元素

2、，中的每个元素，记作记作。即试验的每一可能的结果，即试验的每一可能的结果，( ( ( (一一一一) ) ) )随机试验与样本空间随机试验与样本空间随机试验与样本空间随机试验与样本空间2( ( ( (二二二二) ) ) ) 事件及事件之间的关系与运算事件及事件之间的关系与运算事件及事件之间的关系与运算事件及事件之间的关系与运算1.1.随机事件、必然事件、不可能事件随机事件、必然事件、不可能事件2.2.事件间的关系与运算事件间的关系与运算(1)包含与相包含与相等等(2)和事件和事件:“n 个事件个事件 中至少有一个发生中至少有一个发生”“二事件二事件 A 与与 B 至少有一事件发生至少有一事件发生

3、”(3)积事件积事件:或或n 个事件的积个事件的积或或“二事件二事件 A 与与 B 都发生都发生”(4)互不相容互不相容(互斥互斥)事事件件:事件事件 A 与与 B 不能同时发生不能同时发生若若 n 个事件个事件 中任意两个事件不可能同时发生，即中任意两个事件不可能同时发生，即通常把通常把 n 个互不相容事件个互不相容事件 的和记作的和记作3(6 ) 逆事逆事件件或或(7)完备事件完备事件组组互不相容的完备事件组：互不相容的完备事件组：且且若若 满足满足(1).(2).(3).3.3.事件运算的性质事件运算的性质4( ( ( (三三三三) ) ) ) 概率的定义概率的定义概率的定义概率的定义概

4、率的定义概率的定义事件事件 A 发生的可能性大小发生的可能性大小概率的古典定义：概率的古典定义：几何概率的定义几何概率的定义:概率的统计定义概率的统计定义概率的公理化定义概率的公理化定义( ( ( (四四四四) ) ) ) 概率的有关定理及公式概率的有关定理及公式概率的有关定理及公式概率的有关定理及公式1.1.加法定理加法定理若事件若事件 构成互不相容的完备事件组，则构成互不相容的完备事件组，则52.条件概率及乘法定理条件概率及乘法定理条件概率条件概率 乘法定理乘法定理 3.全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式全概率公式全概率公式其中其中贝叶斯公式贝叶斯公式6( ( ( (五五五五)

5、) ) ) 事件的独立性与独立试验序列事件的独立性与独立试验序列事件的独立性与独立试验序列事件的独立性与独立试验序列事件的独立性事件的独立性事件事件 A 与事件与事件 B 相互独立相互独立若若 n 个事件个事件 A1,A2,An 是相互独立的，则是相互独立的，则如果在独立试验序列中事件如果在独立试验序列中事件 A 的概率为的概率为 p (0 p 1)，次试验中事件次试验中事件 A 恰好发生恰好发生 m 次的概率次的概率其中其中 。则在则在 n71.5 把把10本书任意地放在书架上本书任意地放在书架上, 求其中指定的求其中指定的3本放在一起本放在一起的的 概率。概率。解解设设A =“指定的指定的

6、3本放在一起本放在一起”，基本事件的总数：基本事件的总数：则则A所包含的基本事件的数：所包含的基本事件的数：二、例题选讲二、例题选讲1.6 为减少比赛场次，把为减少比赛场次，把20个球队任意分成两组（每组个球队任意分成两组（每组10队）进队）进行比赛，求最强的两队分在不同组内的概率。行比赛，求最强的两队分在不同组内的概率。解解设事件设事件A 表示最强的两队分在不同组内，表示最强的两队分在不同组内，基本事件的总数：基本事件的总数：8则则A所包含的基本事件的数：所包含的基本事件的数：另解：另解：1.7 解解:北家的北家的 13 张牌中可以是张牌中可以是 52 张牌中的任意张牌中的任意13 张，张，

7、则则基本事件总数为：基本事件总数为：用用 A 表示表示中所述事件，中所述事件， 基本事件数为：基本事件数为：用用 B 表示表示中所述事件，中所述事件， 基本事件数为：基本事件数为：9（1）1.8 3个球随机的投入个球随机的投入4个盒子中，求下列事件的概率：个盒子中，求下列事件的概率： （1）A是任意是任意3个盒子中各有个盒子中各有1个球；个球； （2）B是任意是任意1个盒子中有个盒子中有3个球；个球； （3）C是任意是任意1个盒子中有个盒子中有2个球，其它任意个球，其它任意1个盒子中有个盒子中有1个球。个球。解解：（2）（3）10乙 1.9 解解:样本空间样本点的个数为：样本空间样本点的个数为

8、： A含样本点的个数为：含样本点的个数为：B含样本点的个数为：含样本点的个数为：C含样本点的个数为：含样本点的个数为：甲 丙 丁 11222211D含样本点的个数为：含样本点的个数为：E含样本点的个数为：含样本点的个数为：111.13 某工厂生产的某工厂生产的100个产品中，有个产品中，有5个次品，从这批产品中任个次品，从这批产品中任 取一半来检查，设取一半来检查，设A表示发现次品不多于表示发现次品不多于1个，求个，求A的概率。的概率。解：解：设设“有有i 件次品件次品”，则则1.15 解解:52 张牌中，定约人及同伴有张牌中，定约人及同伴有 9 张黑桃，张黑桃， 其余其余 4 张黑桃张黑桃在

9、防守方，在防守方，则基本事件总数为：则基本事件总数为：（1）设设 A 表示防守方黑桃表示防守方黑桃“22”分配，分配， A 中基本事件数为：中基本事件数为：12（2） B中基本事件数为：中基本事件数为：设设 B 表示防守方黑桃表示防守方黑桃“13” 或或“31”分配，分配，则则（3） C 中基本事件数为：中基本事件数为：设设 C 表示防守方黑桃表示防守方黑桃“04” 或或“40”分配，分配，则则13（1）1.16 20件产品中，一等品件产品中，一等品9件，二等品件，二等品7件，三等品件，三等品4件，从中任件，从中任 取取3件，求下列事件的概率：件，求下列事件的概率： （1）A是任取的是任取的3

10、件产品中恰有件产品中恰有2件等级相同的产品；件等级相同的产品； （2）B是任取的是任取的3件产品至少有件产品至少有2件等级相同的产品。件等级相同的产品。解解：（2）或或141.19. 11.19. 1100100个共个共100100个数中任取一个数，求这个数能被个数中任取一个数，求这个数能被2 2或或3 3 或或5 5整除的概率。整除的概率。解解:“被被2整除整除”设设A=B=“被被3整除整除”C=“被被5整除整除”所以所求事件的概率为所以所求事件的概率为151.20 解解:北家的北家的 13 张牌可以是张牌可以是 52 张牌的任何张牌的任何13 张，张，则基本事件总数为：则基本事件总数为：（

11、1）设）设 A 表示事件表示事件“至少缺一种花色至少缺一种花色”，表示事件表示事件“缺红桃缺红桃”，表示事件表示事件“缺方块缺方块”，表示事件表示事件“缺黑桃缺黑桃”，表示事件表示事件“缺草花缺草花”， A=()=-0=（2） 表示事件表示事件“四种花色都有四种花色都有”，则则16 解解:设设 Ai 表示表示“第第 i 次取得白球次取得白球”，i =1，2； Bi 表示表示“第第 i 次取得黑球次取得黑球”，i =1，2。设设 C 表示表示“第二次取出的球与第一次相同第二次取出的球与第一次相同”，则则1.21 袋中有袋中有a 个白球和个白球和b 个黑球，每次从袋中任取一个，取后个黑球，每次从袋

12、中任取一个，取后 不放回，求第二次取出的球与第一次取出的的球颜色相同不放回，求第二次取出的球与第一次取出的的球颜色相同 的概率。的概率。17 1.22 袋中有袋中有3个白球与个白球与7个黑球个黑球,甲乙二人轮流从袋中取球甲乙二人轮流从袋中取球,第一次第一次 甲取甲取,第二次乙取第二次乙取,.,每次取每次取1个球个球,取出的黑球不再放回取出的黑球不再放回,直直 到取出到取出1个白球为止个白球为止,求各人先取出白球的概率求各人先取出白球的概率.解解A表示甲先取到白球表示甲先取到白球, Ai 表示甲第表示甲第i次取到白球次取到白球(i=1,3,5,7)，B表示乙先取到白球表示乙先取到白球, Bj 表

13、示乙第表示乙第j 次取到白球次取到白球(j=2,4,6,8)，则则1819 则则 1.23 猎人在距离猎人在距离100米处射击一动物，击中的概率为米处射击一动物，击中的概率为0.6，如，如 果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而 使距离变为使距离变为150米，如果第二次又未击中，这时距离变为米，如果第二次又未击中，这时距离变为 200米，假设击中的概率与距离成反比，求猎人击中动物米，假设击中的概率与距离成反比，求猎人击中动物 的概率。的概率。解解:因击中的概率与距离成反比因击中的概率与距离成反比设第设第 次击中的概率为次击中的概率为

14、 距离为距离为A表示击中，表示击中，Ai 表示第表示第i 次击中次击中(i =1,2,3)，则则20211.25 1.25 两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.030.03， 第二台出现废品的概率为第二台出现废品的概率为0.020.02，已知第一台加工的零件比，已知第一台加工的零件比 第二台加工的零件多一倍，加工出来的零件放在一起，求：第二台加工的零件多一倍，加工出来的零件放在一起，求： 任意取出的零件是合格品任意取出的零件是合格品( (A A) )的概率。的概率。解解:“取出的零件由第取出的零件由第 i 台加工台加工”设设Bi=22

15、1.26 1.26 袋中有袋中有1212个乒乓球，其中个乒乓球，其中9 9个新的。第一次比赛从中任取个新的。第一次比赛从中任取3 3 个，比赛后仍放回袋中，第二次比赛再从袋中任取个，比赛后仍放回袋中，第二次比赛再从袋中任取3 3个，求个，求 第二次取出的球都是新球的概率。第二次取出的球都是新球的概率。 解解:“第一次取出的第一次取出的3 3个球中有个球中有i个个新球新球”设设Bi=则则设设 A 表示事件表示事件“第二次取到的都是新球第二次取到的都是新球”,231.27 试卷中有一道选择题，共有试卷中有一道选择题，共有4个答案，其中只有一个正确，个答案，其中只有一个正确， 考生若会这道题，则一定

16、能选出正确答案，若不会这道题，考生若会这道题，则一定能选出正确答案，若不会这道题， 则任选一个答案。设考生会解这道题的概率为则任选一个答案。设考生会解这道题的概率为0.8，求，求 考生选出正确答案的概率；考生选出正确答案的概率；解解:24，则，则A与与B是独立的。是独立的。1.30. 证明证明: 若若证证: A与与B是独立的。是独立的。另证另证: A与与B是独立的。是独立的。251.31 一工人看管三台机床，在一小时内机床不需要工人照管的一工人看管三台机床，在一小时内机床不需要工人照管的 概率：第一台为概率：第一台为0.9，第二台为，第二台为0.8，第三台为，第三台为0.7。求在一。求在一 小

17、时内最多有一台需要工人照管的概率。小时内最多有一台需要工人照管的概率。解解:“第第 i 台机床需要工人照管台机床需要工人照管”设设Ai=“在一小时内最多有一台需要工人照管在一小时内最多有一台需要工人照管”A=则则是独立的，是独立的，261.32 电路由电池电路由电池 a 与两个并联的电池与两个并联的电池 b 及及 c 串联而成串联而成,求电路发生间断的概率求电路发生间断的概率.设电池设电池 a , b , c 损坏的概率分别为损坏的概率分别为 0. 3, 0. 2, 0. 2 , 解解:设设 A ,B ,C 分别表示电池分别表示电池 a , b, c 损坏损坏,D 表示电路间断表示电路间断,

18、则则271.33“第第i个元件正常工作个元件正常工作”“系统系统1正常工作正常工作”123456“系统系统2正常工作正常工作”123456281.34 甲乙丙三人向同一飞机射击，设击中飞机的概率分别为甲乙丙三人向同一飞机射击，设击中飞机的概率分别为 0.4、0.5、0.7，如果只有一人击中，则飞机被击落的概率为，如果只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2，如果有两人击中，则飞机被击落的概率为，如果有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6。如果三。如果三 人都击中，则飞机一定被击落。求飞机被击落的概率。人都击中，则飞机一定被击落。求飞机被击落的概率。解解:29 解解:设设 Ai 表示表示“甲第甲

19、第 i 次击中目标次击中目标”， Bi 表示表示“乙第乙第 i 次击中目标次击中目标”，设设 C 表示表示“甲先击中目标甲先击中目标” ，则则 表示表示“乙先击中目标乙先击中目标”。1.35 甲乙两人轮流向同一目标射击，第一次甲射击，第二次乙甲乙两人轮流向同一目标射击，第一次甲射击，第二次乙 射击，射击， ，设每次射击甲击中目标的概率为，设每次射击甲击中目标的概率为p1，乙击中目乙击中目 标的概率为标的概率为p2 ，求各人先击中目标的概率。求各人先击中目标的概率。301.36 灯泡使用时数在灯泡使用时数在1000小时以上的概率为小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在，求三个灯泡在 使用使用100

20、0小时以后最多只有一个坏了的概率小时以后最多只有一个坏了的概率 。解解:所求概率为所求概率为311.37 甲乙两篮球运动员投篮命中率分别为甲乙两篮球运动员投篮命中率分别为0.7和和0.6，每人投，每人投3次，次， 求求甲乙进球数相等的概率甲乙进球数相等的概率；甲比乙进球多的概率甲比乙进球多的概率 。解解:设事件设事件Ai 表示甲在表示甲在3次投篮中投进次投篮中投进i 个球，个球，又设事件又设事件Bi表示乙在表示乙在3次投篮中投进次投篮中投进i 个球，个球，321.38 一次射击最多击中一次射击最多击中10环。某运动员在一次射击中得环。某运动员在一次射击中得10环的概率环的概率 为为0.4，得，

21、得9环的概率为环的概率为0.3，得，得8环的概率为环的概率为0.2，求该运动员在，求该运动员在 五次独立射击中不少于五次独立射击中不少于48环的概率。环的概率。解解:设事件设事件A表示在五次独立射击中不少于表示在五次独立射击中不少于48环，环，则则A1=“5次均击中次均击中10环环”A2=“有有4次击中次击中10环，环，1次击中次击中8环环”A3=“有有4次击中次击中10环，环，1次击中次击中9环环”互不相容，互不相容，显然显然A4=“有有3次击中次击中10环，环，2次击中次击中9环环”331.40 解解:设设 A 表示事件表示事件“一批产品被认为是合格的一批产品被认为是合格的”1.39 解解:发现一盒火柴用完前已取发现一盒火柴用完前已取 2n - - r 次火柴，次火柴，每次取火柴，每次取火柴，每盒火柴被取到的概率为每盒火柴被取到的概率为设所求事件为设所求事件为 C， 则则