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1、 图示曲线为一旋轮线，其参数图示曲线为一旋轮线，其参数R为知。图中为知。图中M点处的曲率半径点处的曲率半径为为 .答案：答案：1. v/l 2. A、B的的轨迹均迹均为旋旋轮线或称或称摆线、圆滚线 3. mv2/2l 解解题思思绪同同“杆的下落杆的下落.doc题题：在在录录音音机机或或延延续续印印刷刷机机中中，磁磁带带或或纸纸张张以以匀匀速速 v 运运动动。设设以以 r 表表示示磁磁带带盘盘纸纸筒筒的的半半径径， b 表表示示磁磁带带的的厚厚度度。试试导导出出磁带盘角加速度的表达式。磁带盘角加速度的表达式。 解解：设设初初始始时时纸纸筒筒半半径径为为r 0，在在任任一一瞬瞬时时t ,纸纸筒筒半
2、半径径为为 r ，角角速速度度为为w，纸纸筒已转过的圈数为筒已转过的圈数为n，(不一定为整数那么有不一定为整数那么有因因 v 和和 b 为常量，故有为常量，故有又因又因所以所以角加速度角加速度稳定题：一张致密光盘稳定题：一张致密光盘CD音轨区域的内半径音轨区域的内半径R1=2.2cm，外，外半径为半径为R2=5.6cm，径向音轨密度，径向音轨密度 N=650条条/mm。在。在 CD唱机内，唱机内，光盘每转一圈，激光头沿径向向外挪动一条音轨，激光束相对光盘每转一圈，激光头沿径向向外挪动一条音轨，激光束相对光盘是以光盘是以v=1.3m/s的恒定速度运动的。问：的恒定速度运动的。问：1这张光盘全部这
3、张光盘全部放音时间是多长？放音时间是多长？2激光束到达离盘心激光束到达离盘心R=5.0cm处时，光盘处时，光盘转动的角速度和角加速度是多少？转动的角速度和角加速度是多少？ 答：答：169.4 min 2题AC、BD两两杆杆各各以以匀匀角角速速度度w分分别绕间隔隔为l的的A、B轴作作定定轴转动，转向向如如图。小小圆环M套套在在 AC及及 BD杆杆上上。在在某某一一瞬瞬时a=b=60，求小，求小圆环 M在恣意瞬在恣意瞬时的速度和加速度。的速度和加速度。题AC、BD两两杆杆各各以以匀匀角角速速度度w分分别绕间隔隔为l的的A、B轴作作定定轴转动，转向向如如图。小小圆环M套套在在 AC及及 BD杆杆上上
4、。在在某某一一瞬瞬时a=b=60，求求小小圆环 M在在恣恣意意瞬瞬时的的速速度和加速度。度和加速度。向垂直于向垂直于AC方向投影：方向投影：解解1：方向：与方向：与x轴正向之正向之间的的夹角角为2a+60求得：求得：同理可求加速度。同理可求加速度。题AC、BD两两杆杆各各以以匀匀角角速速度度w分分别绕间隔隔为l的的A、B轴作作定定轴转动，转向向如如图。小小圆环M套套在在 AC及及 BD杆杆上上。在在某某一一瞬瞬时a=b=60，求求小小圆环 M在在恣恣意意瞬瞬时的的速速度度和和加速度。加速度。解解2：因：因所以所以 M点的运动轨迹为一圆周，圆心为点的运动轨迹为一圆周，圆心为O不难算出圆的半径不难
5、算出圆的半径因因AOE为空间固定直线，所以为空间固定直线，所以 例例例例 如如如如图图，两两两两辆辆汽汽汽汽车车均均均均匀匀匀匀速速速速前前前前进进。A A车车沿沿沿沿直直直直线线行行行行驶驶，B B车车沿沿沿沿圆圆周周周周行行行行驶驶。OA=x0-vAt,=tOA=x0-vAt,=t，x0=3000m, x0=3000m, vA=10m/s, vA=10m/s, =0.05rad/s,=0.05rad/s,圆圆周周周周半半半半径径径径R=1000mR=1000m，求求求求： 1 1 t=0t=0瞬瞬瞬瞬时时A A车车上上上上的的的的乘乘乘乘客客客客看看看看到到到到的的的的B B车车的的的的相
6、相相相对对速度；速度；速度；速度； 2 2t=0t=0瞬瞬瞬瞬时时B B车车上的乘客看到的上的乘客看到的上的乘客看到的上的乘客看到的A A车车的相的相的相的相对对速度。速度。速度。速度。ARBOARBO 例例例例5 5 OA=x0-vAt,=tOA=x0-vAt,=t，x0=3000m, x0=3000m, vA=10m/s, vA=10m/s, =0.05rad/s, =0.05rad/s, R=1000mR=1000m，求求求求： t=0t=0瞬瞬瞬瞬时时：(1) (1) A A车车上的乘客看到的上的乘客看到的上的乘客看到的上的乘客看到的B B车车的相的相的相的相对对速度；速度；速度；速度
7、；(2)B(2)B车车上的乘客看到的上的乘客看到的上的乘客看到的上的乘客看到的A A车车的相的相的相的相对对速度。速度。速度。速度。 解：解：解：解： 1 1 求求求求t=0t=0瞬瞬瞬瞬时时时时B B车车车车上的乘客看到的上的乘客看到的上的乘客看到的上的乘客看到的A A车车车车的相的相的相的相对对对对速度速度速度速度1 1、选择动选择动选择动选择动点与点与点与点与动动动动系系系系2 2、分析三种运、分析三种运、分析三种运、分析三种运动动动动和速度和速度和速度和速度4 4、求解未知量、求解未知量、求解未知量、求解未知量3 3、作速度平行四、作速度平行四、作速度平行四、作速度平行四边边边边形，如
8、形，如形，如形，如图图图图。动动点点点点A A车车；动动系固系固系固系固结结于于于于B B车车上；上；上；上； 绝对绝对绝对绝对运运运运动动动动沿沿沿沿OAOA的直的直的直的直线线线线运运运运动动动动 相相相相对对对对运运运运动动动动规规规规律未知律未知律未知律未知牵连牵连运运运运动动车车B B绕绕O O的定的定的定的定轴转动轴转动RABO 例例例例5 5 OA=x0-vAt,=tOA=x0-vAt,=t，x0=3000m, x0=3000m, vA=10m/s, vA=10m/s, =0. =0. 05rad/s, 05rad/s, R=1000mR=1000m，求求求求： t=0t=0瞬瞬
9、瞬瞬时时：(1) (1) A A车车上的乘客看到的上的乘客看到的上的乘客看到的上的乘客看到的B B车车的相的相的相的相对对速度；速度；速度；速度；(2)B(2)B车车上的乘客看到的上的乘客看到的上的乘客看到的上的乘客看到的A A车车的相的相的相的相对对速度。速度。速度。速度。 解：解：解：解： 2 2 求求求求t=0t=0瞬瞬瞬瞬时时时时A A车车车车上的乘客看到的上的乘客看到的上的乘客看到的上的乘客看到的B B车车车车的相的相的相的相对对对对速度速度速度速度1 1、选择动选择动选择动选择动点与点与点与点与动动动动系系系系2 2、分析三种运、分析三种运、分析三种运、分析三种运动动动动和速度和速
10、度和速度和速度4 4、求解未知量、求解未知量、求解未知量、求解未知量3 3、作速度平行四、作速度平行四、作速度平行四、作速度平行四边边边边形，如形，如形，如形，如图图图图。动动点点点点B B车车；动动系固系固系固系固结结于于于于A A车车上；上；上；上； 绝对绝对绝对绝对运运运运动动动动以以以以R R为为为为半径的半径的半径的半径的圆圆圆圆周运周运周运周运动动动动 相相相相对对对对运运运运动动动动规规规规律未知律未知律未知律未知牵连牵连运运运运动动车车B B的直的直的直的直线线平平平平动动RABO例例例例5 5 OA=x0-vAt,=tOA=x0-vAt,=t，x0=3000m, x0=300
11、0m, vA=10m/s, vA=10m/s, =0. =0. 05rad/s, 05rad/s, R=1000mR=1000m，求求求求： t=0t=0瞬瞬瞬瞬时时：(1) (1) A A车车上的乘客看到的上的乘客看到的上的乘客看到的上的乘客看到的B B车车的相的相的相的相对对速度；速度；速度；速度；(2)B(2)B车车上的乘客看到的上的乘客看到的上的乘客看到的上的乘客看到的A A车车的相的相的相的相对对速度。速度。速度。速度。 讨论讨论讨论讨论：RABO1 1由由由由计计算算算算结结果：果：果：果：可知：可知：可知：可知：在不同在不同在不同在不同车车上察看到的相上察看到的相上察看到的相上察
12、看到的相对对速度截然不同。速度截然不同。速度截然不同。速度截然不同。 讨论讨论讨论讨论：AB2 2更更更更进进一步，可一步，可一步，可一步，可编编程作出两程作出两程作出两程作出两车车乘客所察看到的相乘客所察看到的相乘客所察看到的相乘客所察看到的相对对运运运运动轨动轨迹。迹。迹。迹。ROxy动点为动点为A，动系固结在，动系固结在B车时：车时： 讨论讨论讨论讨论：ABROxy动点为动点为B，动系固结在，动系固结在A车时，相对运动车时，相对运动轨迹为：轨迹为：题：设Oxy是是固固定定坐坐标系系。系系统由由三三根根不不计半半径径的的细杆杆构构成成，初初始始时辰辰CD杆杆沿沿z轴；OB杆杆长为a，沿沿x
13、轴正正方方向向；AB杆杆长为l，开开场时先先与与z轴平平行行，绕x轴负方方向向转动角角后后，把把这三三根根杆杆件件焊成成一一个个整整体体，如如下下图。 假假设在在yz平平面面内内有有一一张纸存存在在，为了了能能让系系统继续地地绕z轴以以匀匀角角速速度度转动，需需求求在在纸上上挖挖出出某某种种外外形形的的空空隙隙让AB杆杆经过这里只思索里只思索AB杆。杆。 1假假设a=0，求求空空隙隙的的函函数数表表达达式式0，并并画出表示画出表示图。 2假假设a0，求求空空隙隙的的函函数数表表达达式式a，并并画出表示画出表示图。0与与a有何关系？有何关系？ 3当当a0时，设P是是AB杆杆与与yz平平面面的的交
14、交点点，当当点点P位位于于AB杆杆中中点点且且yP0时，假假设要要求求P点点的的速速度度和和加加速速度度，他他如如何何思思索索？取取 a=1m， l=4m， =/6， =1rad/s，速度和加速度是多少？速度和加速度是多少？ 初始时辰的系统位置初始时辰的系统位置P P点点轨轨迹是双曲迹是双曲线线 的一部分的一部分 ，3设P是是AB杆杆与与yz平平面面的的交交点点，当当点点P位位于于AB杆杆中中点点且且yP0时，求求P点点的的速速度度和和加加速速度度？取？取a=1m，l=4m，=/6，=1rad/s 3求求P点的加速度？取点的加速度？取a=1m，l=4m，=/6，=1rad/s 分别变量积分，易
15、得：分别变量积分，易得：轨迹为对数螺线轨迹为对数螺线题题. 三三名名舞舞蹈蹈演演员员在在舞舞台台上上视视作作平平面面上上三三点点组组成成一一正正三三角角形形。音音乐乐一一开开场场，每每一一演演员员即即朝朝向向右右侧侧的的另另一一演演员员以以常常速速率率 v 缓缓慢慢前前进进。问演员走过的轨迹是什么曲线？求某点处的曲率半径。问演员走过的轨迹是什么曲线？求某点处的曲率半径。解解: 设三名演员初始时位于设三名演员初始时位于A0、 B0、 C0 ，他们之间的间隔为，他们之间的间隔为a 恣意瞬时他们的位置如图。知，三角形恣意瞬时他们的位置如图。知，三角形ABC仍是正三角形仍是正三角形动系：绕动系：绕O做
16、定轴转动，角速度与人所在的三角形的角速度一样做定轴转动，角速度与人所在的三角形的角速度一样动点：动点：A绝对运动：未知曲线，但绝对运动：未知曲线，但va的大小和方向均知的大小和方向均知牵连运动：定轴转动牵连运动：定轴转动相对运动：直线运动相对运动：直线运动动系：绕动系：绕O做定轴转动，角速度与人所在的三角形的角速度一样做定轴转动，角速度与人所在的三角形的角速度一样动点：动点：A？0？0式式*向向x轴投影投影题题. 绕铅直轴以等角速度绕铅直轴以等角速度w缓慢旋转的封锁圆舱中，站在舱底缓慢旋转的封锁圆舱中，站在舱底盘的实验者感不到本人的运动，但抛出的小球的运动却不服从盘的实验者感不到本人的运动，但
17、抛出的小球的运动却不服从牛顿运动定律。设实验者站立处牛顿运动定律。设实验者站立处A距底盘旋转中心距底盘旋转中心O的间隔为的间隔为 r ，请他替他设计一个抛球的初速度大小，请他替他设计一个抛球的初速度大小vO，方向与，方向与OA的夹的夹角为角为a ，使得球抛出后能前往来打到实验者身上。试写出，使得球抛出后能前往来打到实验者身上。试写出vO ， a应满足的条件，画出小球相对轨迹表示图不思索小球在应满足的条件，画出小球相对轨迹表示图不思索小球在铅垂方向的运动，例如，以为小球在光滑的舱底盘上运动。铅垂方向的运动，例如，以为小球在光滑的舱底盘上运动。 解解: (1) 在定坐标系中思索问题。小在定坐标系中
18、思索问题。小球以绝对速度球以绝对速度 v 沿直线沿直线 A B运动，假运动，假设小球到达设小球到达 B时，实验者也随底盘沿时，实验者也随底盘沿着着 弧线到达弧线到达B，那么小球打在实，那么小球打在实验者身上。验者身上。 解解: (2) 条件为条件为 给定给定 q ，即可求出，即可求出v ，即问题有多，即问题有多解。当给定解。当给定v, q时，可用速度合成定理时，可用速度合成定理求相对速度求相对速度vO及方向及方向a 。(3)小球相对轨迹表示如图小球相对轨迹表示如图. 题：如图题：如图,AB杆的杆的A端沿圆槽端沿圆槽O运动运动,B端与轮轴铰接。轮轴沿直端与轮轴铰接。轮轴沿直线轨道只滚不滑。圆槽线
19、轨道只滚不滑。圆槽O半径为半径为R，轮轴内外半径分别为，轮轴内外半径分别为R1、 R2 。AB长为长为L。图示瞬时，知。图示瞬时，知A点速度点速度vA，AB杆中点杆中点M的切向的切向加速度为零。那么此瞬时：加速度为零。那么此瞬时： l P 点的速度点的速度vP大小为大小为 。 2M 点的加速度大小为点的加速度大小为 。题题. 在在运运动动学学中中，轨轨迹迹是是个个重重要要概概念念，但但简简单单机机构构也也能能够够有有复复杂杂的的轨轨迹迹曲曲线线。如如图图，小小齿齿轮轮O1在在大大齿齿轮轮O内内作作纯纯滚滚动动。其其中中大大齿齿轮轮半半径径为为R，小小齿齿轮轮半半径径为为r,E是是小小齿齿轮轮上
20、上的的偏偏心心点点，偏偏心心距距为为e。求求小小齿齿轮上偏心点轮上偏心点E的轨迹。并讨论轨迹的特点。的轨迹。并讨论轨迹的特点。解：解： 讨论：a假设x为无理数，那么轨迹曲线不封锁；b假设x为有理数，那么轨迹曲线封锁。进一步，设 ，m，n为不可约自然数，那么曲线的周期为2n p 。或小齿轮转n 圈后曲线重合。并且曲线有m个尖点或花瓣；ch= 1时曲线有尖点。 h 1时尖点变为圆凸， h l时曲线的尖点变为花瓣。 h = 0时曲线为圆；d x =2， h =1时曲线退化为直线。 x =1，曲线退化为一个点。 运动学反问题：运动学反问题：1、设计一个机构，使其能画出一条直线可参考上例讨论、设计一个机构，使其能画出一条直线可参考上例讨论d2、设计一个机构，使其能画出一个椭圆、设计一个机构，使其能画出一个椭圆 哈工大实际力学第哈工大实际力学第7版例版例5-13、设计一个机构，使其能画四叶玫瑰线以下图：、设计一个机构，使其能画四叶玫瑰线以下图： 可参考上例讨论可参考上例讨论b
