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1、高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七22/2828应用应用代数方法代数方法研究研究图形图形性质的数学学科。性质的数学学科。1 1 1 1、解析几何、解析几何、解析几何、解析几何变量数学的开端。变量数学的开端。变量数学的开端。变量数学的开端。 恩格斯曾指出，微积分是变量数学的最重要部分；他还说恩格斯曾指出，微积分是变量数学的最重要部分；他还说: “: “数学中数学中的转折点是的转折点是笛卡尔笛卡尔的变数。的变数。有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，了，而它们也就立刻产生；而它们也就立刻产生；”所以学习微积分，除了应当具备初等数学
2、所以学习微积分，除了应当具备初等数学的知识以外。还必须具备最初引入变数的学科的知识以外。还必须具备最初引入变数的学科解析几何的基础知识。解析几何的基础知识。由于平面解析几何在中学已学过，所以本章仅介绍空间解析几何及其所必由于平面解析几何在中学已学过，所以本章仅介绍空间解析几何及其所必须的向量代数的基本知识。须的向量代数的基本知识。 2 2 2 2、解析几何的对象和方法。、解析几何的对象和方法。、解析几何的对象和方法。、解析几何的对象和方法。曲线和方程的统一关系。曲线和方程的统一关系。3 3 3 3、笛卡尔关于解析几何的基本思想。、笛卡尔关于解析几何的基本思想。、笛卡尔关于解析几何的基本思想。、
3、笛卡尔关于解析几何的基本思想。点和数一一对应的统一关系。点和数一一对应的统一关系。4 4 4 4、空间解析几何的两个基本问题。、空间解析几何的两个基本问题。、空间解析几何的两个基本问题。、空间解析几何的两个基本问题。已知含有三个未知数的方程，研究这个方程表示曲面的几何性质。已知含有三个未知数的方程，研究这个方程表示曲面的几何性质。把已知曲面看成点的几何轨迹，建立这个曲面的方程。把已知曲面看成点的几何轨迹，建立这个曲面的方程。高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七33/28285 5 5 5、笛卡尔简介、笛卡尔简介、笛卡尔简介、笛卡尔简介(Rene Descartes 15
4、961650)(Rene Descartes 15961650)法国哲学家、数学家、物法国哲学家、数学家、物理学家，解析几何学奠基人之一。理学家，解析几何学奠基人之一。15961596年年3 3月月3131日生于图日生于图伦，伦， 1650 1650年年2 2月月1111日卒于斯德哥尔摩。他出生于一个贵族日卒于斯德哥尔摩。他出生于一个贵族家庭。早年就读于拉弗莱什公学，因孱弱多病，被允许早家庭。早年就读于拉弗莱什公学，因孱弱多病，被允许早晨在床上读书，养成了喜欢安静、善于思考的习惯。晨在床上读书，养成了喜欢安静、善于思考的习惯。 1612 1612年去普瓦捷大学攻读法学，四年后获得博士学位旋即去
5、了年去普瓦捷大学攻读法学，四年后获得博士学位旋即去了巴黎。巴黎。1618 1618 年从军，到过荷兰、丹麦、德国。年从军，到过荷兰、丹麦、德国。1621 1621 年回国，正值法国内年回国，正值法国内乱，又去荷兰、瑞士、意大利旅行。乱，又去荷兰、瑞士、意大利旅行。1625 1625 年返回巴黎。年返回巴黎。1625 1625 年移居荷兰，年移居荷兰，从事哲从事哲事哲、数学、天文学、物理学、化学和生物学等领域的研究，并通事哲、数学、天文学、物理学、化学和生物学等领域的研究，并通过数学家过数学家M M. . 梅森神父与欧洲主要学者保持密切联系。他的著作几乎全都梅森神父与欧洲主要学者保持密切联系。他
6、的著作几乎全都是在荷兰完成的。是在荷兰完成的。16281628年写出年写出 指导哲理之原则指导哲理之原则 ，16341634年完成以哥白尼年完成以哥白尼学说为基础的学说为基础的 论世界论世界 ( (因伽利略受到教会迫害而未出版因伽利略受到教会迫害而未出版) )，16371637年笛卡尔年笛卡尔用法文写成三篇论文用法文写成三篇论文 折光学折光学 、 气象学气象学 和和 几何学几何学 并为此写了一篇序并为此写了一篇序言言 科学中正确运用理性和追求真理的方法科学中正确运用理性和追求真理的方法 ，哲学史上简称，哲学史上简称 方法论方法论 ，6 6月月8 8日在莱顿匿名出版。此后又出版了日在莱顿匿名出版
7、。此后又出版了 形而上学的沉思形而上学的沉思 和和 哲学原理哲学原理(1644)(1644)等重要著作。等重要著作。 1649 1649年冬，他应邀去为瑞典女王授课，年冬，他应邀去为瑞典女王授课，16501650年初患年初患肺炎，同年肺炎，同年2 2月病逝。月病逝。高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七44/28281 1 1 1、教学内容及课时安排、教学内容及课时安排、教学内容及课时安排、教学内容及课时安排 向量及其线性运算向量及其线性运算 3 3 学时学时数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积 2 2 学时学时 曲面及其方程曲面及其方程 3 3 学时学时 空间曲线及
8、其方程空间曲线及其方程 2 2 学时学时2 2 2 2、教学重点、教学重点、教学重点、教学重点 数量积数量积 向量积；向量积；几何图形及其方程。几何图形及其方程。平面及其方程平面及其方程 3 3 学时学时 空间直线及其方程空间直线及其方程 2 2 学时学时习题课习题课 2 2 学时学时高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七55/28283 3、掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表示式。、掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表示式。1 1、理解空间直角坐标系、向量的概念及其表示。、理解空间直角坐标系、向量的概念及其表示。2 2、掌握向量的运算、掌握向量的运算( (线性、点乘、
9、叉乘线性、点乘、叉乘) )， 了解两个向量垂直、平行的条件。了解两个向量垂直、平行的条件。4 4、掌握平面和直线的方程及其求法，、掌握平面和直线的方程及其求法， 会利用平面和直线的关系解决有关问题。会利用平面和直线的关系解决有关问题。5 5、理解曲面方程的概念，、理解曲面方程的概念， 了解常用二次曲面的方程及其图形，了解常用二次曲面的方程及其图形， 了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴 的曲面方程。的曲面方程。7 7、了解曲线的交线在坐标平面上的投影。、了解曲线的交线在坐标平面上的投影。6 6、了解空间曲线的参数方程和一般方程。、了解
10、空间曲线的参数方程和一般方程。a一、向量概念一、向量概念一、向量概念一、向量概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算二、向量的线性运算二、向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影六、小结六、小结六、小结六、小结 思考题思考题思考题思考题高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七77/2828向量：向量： 既有大小又有方
11、向的量。既有大小又有方向的量。如位移、速度、加速度、力等。如位移、速度、加速度、力等。向量表示：向量表示：模长为模长为1 1的向量的向量. .零向量：零向量：模长为模长为0 的向量的向量. .|向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .单位向量：单位向量：或或或或或或1 1、概念、概念单位单位向量：向量：零零向量向量自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .负向量负向量： 大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .向径：向径：空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点M与原点构成
12、的向量与原点构成的向量. . 高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七88/28282 2、两非零向量的关系、两非零向量的关系相等：相等：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .平行或共线平行或共线：方向相同或相反的两个非零向量方向相同或相反的两个非零向量. .垂直垂直：方向成方向成9090夹角的两个非零向量夹角的两个非零向量. .注意注意：由于零向量的方向可以看成任意的，故可以认为由于零向量的方向可以看成任意的，故可以认为零向量与任何向量都零向量与任何向量都平行平行或或垂直垂直。共面共面：把若干个向量的起点放到一起，若它们的终点和把若干个向量的起点放到一起，
13、若它们的终点和公共起点在同一平面上，则称这些向量共面公共起点在同一平面上，则称这些向量共面. .高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七99/28281 1、向量的加减法、向量的加减法 加法：加法：（平行四边形法则）（平行四边形法则）特殊地：若特殊地：若分为同向和反向分为同向和反向（平行四边形法则有时也称为三角形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七1010/2828向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：交换律：交换律：结合律：结合律：加负律：加负律：减法减法高等数学七高等数学七高等数学七高
14、等数学七高等数学七高等数学七1111/28282 2、向量与数的乘法、向量与数的乘法 定义：定义：数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：结合律：结合律：分配律：分配律：线性运算线性运算： 向量的加法及数乘统称为向量的向量的加法及数乘统称为向量的线性运算线性运算。高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七1212/2828例例1 1 化简化简解解例例2 2试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形行四边形. .证证与与 平行且相等平行且相等, ,结论得证结论得证. .高等数学七高等数学七高等数学
15、七高等数学七高等数学七高等数学七1313/2828按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，上式表明：上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量向量同方向的单位向量. .单位向量的表示单位向量的表示注意：注意：与三个坐标轴同向的单位向量的记法与三个坐标轴同向的单位向量的记法. .高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七1414/2828两个向量的平行关系两个向量的平行关系证证 充分性显然；充分性显然；下面证明必要性下面证明必要性两式相减，得两式相减，得高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七
16、高等数学七1515/2828横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴定点定点空间直角坐标系空间直角坐标系Oxyz坐标系坐标系或或 O;i,j,k 坐标系坐标系三个坐标轴的正方向符合三个坐标轴的正方向符合右手系右手系. .1 1、坐标系的构成、坐标系的构成 坐标轴：坐标轴：横横轴、轴、纵纵轴、轴、竖竖轴轴 坐标面：坐标面：xOy面、面、 yOz面、面、zOx面面 卦限：卦限：、高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七1616/2828面面面面面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七1717/2828空间的点空间的点M
17、有序数组有序数组特殊点的表示特殊点的表示: : 坐标轴上的点坐标轴上的点坐标面上的点坐标面上的点2 2、点、向量与坐标、点、向量与坐标高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七1818/2828加法加法1 1、向量的加减法与数乘、向量的加减法与数乘减法减法数乘数乘2 2、平行向量的坐标表示式、平行向量的坐标表示式高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七1919/2828解解例例3 3求解以向量为未知元的线性方程组求解以向量为未知元的线性方程组解二元一次方程组，易得解二元一次方程组，易得例例4 4 已知两点已知两点A(x1,y1,z1) 和和B (x2,y2
18、,z2) 以及实数以及实数-1-1，在直线在直线AB上求点上求点M，使，使解解 设设为直线上的点，为直线上的点，高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七2020/2828由题意知：由题意知：高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七2121/2828向量的模向量的模: :1 1、向量的模与、向量的模与两点间的距离公式两点间的距离公式: :按勾股定理可得按勾股定理可得两点间的距离公式两点间的距离公式: :高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七2222/2828解解原结论成立原结论成立. .例例6 6 已知两点已知两点A(5,3,1) 和
19、和B (1,0,5)，求与，求与解解高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七2323/2828解解设设P点坐标为点坐标为所求点为所求点为高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七2424/28282 2、方向角与方向余弦、方向角与方向余弦空间两向量的夹角的概念空间两向量的夹角的概念: :类似地类似地，可定义，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角. .特殊地，特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0 0与与 之间任意取值之间任意取值. .高等数学七高等数学七高等数学七高等数学
20、七高等数学七高等数学七2525/2828非零向量与三条坐标轴正向的夹角称为非零向量与三条坐标轴正向的夹角称为方向角方向角. .方向角方向角显然有显然有方向余弦方向余弦由图分析可知由图分析可知方向余弦通常用来表示方向余弦通常用来表示向量的方向向量的方向. .向量的向量的方向余弦方向余弦方向余弦的特征方向余弦的特征特殊地：特殊地：单位向量的方向余弦为单位向量的方向余弦为高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七2626/2828例例8 8 已知已知A(3,3,1) 和和B (1,5,1),计算计算解解解解高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七2727/282
21、8高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七2828/28283 3、向量在轴上的投影、向量在轴上的投影x轴与向量轴与向量 的关系的关系向量在向量在u轴上投影轴上投影高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七2929/2828向量在三坐标轴上的投影向量在三坐标轴上的投影向量投影的性质向量投影的性质高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七3030/2828解解高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七3131/2828一、向量概念一、向量概念一、向量概念一、向量概念1 1、概念、概念2 2、两非零向量的关系、两非零向量的关
22、系二、向量的线性运算二、向量的线性运算二、向量的线性运算二、向量的线性运算1 1、向量的加减法、向量的加减法2 2、向量与数的乘法向量与数的乘法三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系1 1、坐标系的构成、坐标系的构成2 2、点、向量与坐标、点、向量与坐标四、利用坐标作向量的线四、利用坐标作向量的线四、利用坐标作向量的线四、利用坐标作向量的线性运算性运算性运算性运算1 1、向量的加减法与数乘、向量的加减法与数乘2 2、平行向量的坐标表示式、平行向量的坐标表示式五、向量的模五、向量的模五、向量的模五、向量的模, , , ,方向角方向角方向角方向角, , , ,投影
23、投影投影投影1 1、向量的模与两点间的距离、向量的模与两点间的距离公式公式2 2、方向角与方向余弦、方向角与方向余弦3 3、向量在轴上的投影、向量在轴上的投影六、小结六、小结六、小结六、小结思考题思考题思考题思考题作业：作业：第第300301300301页页 3 3； 5 5 ；1313；1515；1818。在空间直角坐标系中，指在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？出下列各点在哪个卦限？1 1、向量的加减法与数乘、向量的加减法与数乘2 2、方向角与方向余弦、方向角与方向余弦高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七3232/2828A:;B:;C:;D:;高等数学七高
24、等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七3333/2828 1 1、下列各点所在象限分别是：、下列各点所在象限分别是：一、填空题一、填空题高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七3434/2828高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七3535/2828高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七3636/2828高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七3737/2828一、解析几何的产生一、解析几何的产生十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家
25、开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作方法论，这本书的后面有三篇附录，一篇叫折光学，一篇叫流星学，一篇叫几何学。当时的这个“几何学”实际上指的是数学，就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。笛卡尔的几何学共分三卷，第一卷讨论尺规作图；第二卷是曲线的性质；第三卷是立体和“超立体”的作图，但他实际是代数问题，探讨方程的根的性质。后世的数学家和数学史
26、学家都把笛卡尔的几何学作为解析几何的起点。从笛卡尔的几何学中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来。他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式。为了实现上述的设想，笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对(x,y)的对应关系。x,y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。这就是解析几何的基本思想。具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个
27、代数方程来表示了。从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来。高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七3838/2828解析几何的产生并不是偶然的。在笛卡尔写几何学以前，就有许多学者研究过用两条相交直线作为一种坐标系；也有人在研究天文、地理的时候，提出了一点位置可由两个“坐标”（经度和纬度）来确定。这些都对解析几何的创建产生了很大的影响。在数学史上，一般认为和笛卡尔同时代的法国业余数学家费尔马也是解析几何的创建者之一，应该分享这门学科创建的荣誉。费尔马是一个业余从事数学研究的学者，对数论、解析几何、概率
28、论三个方面都有重要贡献。他性情谦和，好静成癖，对自己所写的“书”无意发表。但从他的通信中知道，他早在笛卡尔发表几何学以前，就已写了关于解析几何的小文，就已经有了解析几何的思想。只是直到1679年，费尔马死后，他的思想和著述才从给友人的通信中公开发表。笛卡尔的几何学，作为一本解析几何的书来看，是不完整的，但重要的是引入了新的思想，为开辟数学新园地做出了贡献。二、解析几何的基本内容二、解析几何的基本内容在解析几何中，首先是建立坐标系。如上图，取定两条相互垂直的、具有一定方向和度量单位的直线，叫做平面上的一个直角坐标系oxy。利用坐标系可以把平面内的点和一对实数(x,y)建立起一一对应的关系。除了直
29、角坐标系外，还有斜坐标系、极坐标系、空间直角坐标系等等。在空间坐标系中还有球坐标和柱面坐标。坐标系将几何对象和数、几何关系和函数之间建立了密切的联系，这样就可以对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究了。用这种方法研究几何学，通常就叫做解析法。这种解析法不但对于解析几何是重要的，就是对于几何学的各个分支的研究也是十分重要的。高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七3939/2828解析几何的创立，引入了一系列新的数学概念，特别是将变量引入数学，使数学进入了一个新的发展时期，这就是变量数学的时期。解析几何在数学发展中起了推动作用。恩格斯对此曾经作过评价“数学中
30、的转折点是笛卡尔的变数，有了变书，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，”三、解析几何的应用三、解析几何的应用解析几何又分作平面解析几何和空间解析几何。在平面解析几何中，除了研究直线的有关直线的性质外，主要是研究圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质。在空间解析几何中，除了研究平面、直线有关性质外，主要研究柱面、锥面、旋转曲面。椭圆、双曲线、抛物线的有些性质，在生产或生活中被广泛应用。比如电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门在另一个焦点上；探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的。总的来说，解析几何运用坐标法可以解决两类基本问题：一类是满足给定条件点的轨迹，通过坐标系建立它的方程；另一类是通过方程的讨论，研究方程所表示的曲线性质。运用坐标法解决问题的步骤是：首先在平面上建立坐标系，把已知点的轨迹的几何条件“翻译”成代数方程；然后运用代数工具对方程进行研究；最后把代数方程的性质用几何语言叙述，从而得到原先几何问题的答案。坐标法的思想促使人们运用各种代数的方法解决几何问题。先前被看作几何学中的难题，一旦运用代数方法后就变得平淡无奇了。坐标法对近代数学的机械化证明也提供了有力的工具。
