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1、第四节 复合函数微分法一、 链式法则二、 全微分形式不变性 四、 小结三、方向导数三、方向导数一、链式法则一、链式法则证证上定理的结论可推广到中间变量多于两上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况个的情况.如如以上公式中的导数以上公式中的导数 称为全导数称为全导数.定理定理 2,链式法则如图示链式法则如图示即即令令特殊地特殊地其中其中两者的区别两者的区别 为了避免记号出错，引进另外一种为了避免记号出错，引进另外一种表示方法。表示方法。设设，记，记用用表示对第一个位置的变量求偏导。表示对第一个位置的变量求偏导。用用表示对第二个位置的变量求偏导。表示对第二个位置的变量求偏导。即即用用表示对第三个
2、位置的变量求偏导。表示对第三个位置的变量求偏导。即即则则可写成可写成依次类推依次类推等等。等等。解解解解例例3(000305) 设设 其中其中 均可微均可微, 则则解解:例例4(020410) 设设 , 其中其中 具有连续二阶具有连续二阶偏导数偏导数, 求求 .解解:二阶偏导连续二阶偏导连续二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性全微分形式不变形的实质：全微分形式不变形的实质： 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变的函数或中间变量量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的. .例例5 设设且且连续偏导数，求连续偏导数，求根据全微分形式不变性知：根据全微分形式不变性知
3、：解解 令令而而所以所以具有具有故故注注:对函数关系简单的符合函数对函数关系简单的符合函数,使用全微使用全微分形式不变性分形式不变性, 并不能简化求导计算并不能简化求导计算;但对但对于函数关系比较复杂的情况于函数关系比较复杂的情况,利用微分不变利用微分不变性比较方便性比较方便.例例 6 设设具有连续偏导数，求具有连续偏导数，求分析：分析：解解 法法1法法2 利用微分不变性利用微分不变性所以所以例例 7 设设 其中其中具有二阶连续具有二阶连续偏导数偏导数 ，求，求解解 三、方向导数与梯度三、方向导数与梯度（一）方向导数的定义（一）方向导数的定义定义定义 设函数设函数 在点在点 的某个邻的某个邻域
4、域中有定义中有定义,是单位向量是单位向量,如果如果的函数的函数 在在 处可导处可导,即即存在存在,则称此极限值为函数则称此极限值为函数 在点在点 的的沿方向沿方向 的方向导数的方向导数.记为记为 或或例例1 求二元函数求二元函数 在点在点 处的处的沿沿 的方向导数的方向导数.将向量将向量 单位化单位化,解解所以所以推论：如果函数推论：如果函数 在点在点 对对 和和的的因此因此,偏导数是特殊的方向导数偏导数是特殊的方向导数.方向导数与偏导数的关系方向导数与偏导数的关系点沿任意方向的方向导数点沿任意方向的方向导数都存在，但推不出偏导数存在。都存在，但推不出偏导数存在。反之，偏导数存在也推不出沿任意
5、方向的反之，偏导数存在也推不出沿任意方向的方向导数存在。方向导数存在。函数在某点连续推不出方向导数存在，函数在某点连续推不出方向导数存在，反之亦然。反之亦然。函数连续与方向导数存在的关系函数连续与方向导数存在的关系例例在在(0,0)点连续但方向导数不存在。点连续但方向导数不存在。证明证明可知在可知在(0,0)点连续。点连续。取取此极限不存在此极限不存在.所以方向导数不存在所以方向导数不存在.例例函数在（函数在（0，0）点沿任意方向的方向导数都）点沿任意方向的方向导数都存在，但不连续。存在，但不连续。证明证明可知可知不连续。不连续。方向导数什么时候存在？方向导数什么时候存在？其中其中 为为 轴到
6、方向轴到方向L的转角的转角 证明证明由于函数可微，则函数值增量可表示为由于函数可微，则函数值增量可表示为两边同除以两边同除以得到得到故有方向导数故有方向导数此定理不仅告诉了我们一个函数在某点此定理不仅告诉了我们一个函数在某点可微，则该函数在此点沿任意方向的方可微，则该函数在此点沿任意方向的方向导数都存在，而且还告诉了我们求方向导数都存在，而且还告诉了我们求方向导数的方法。向导数的方法。解解可微可微方向导数方向导数（任意方向）（任意方向）连续连续偏导数偏导数综上可得下图：综上可得下图：方向导数与可微、可导、连续之间的关系方向导数与可微、可导、连续之间的关系(二二) 梯度的概念梯度的概念解解由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知故故结论结论等高线的画法等高线的画法等高线上任意一点等高线上任意一点处法线的斜率为处法线的斜率为梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数解解由梯度计算公式得由梯度计算公式得故故1、链式法则（分三种情况）、链式法则（分三种情况）2、全微分形式不变性、全微分形式不变性（特别要注意课中所讲的特殊情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）（理解其实质）（理解其实质）三、小结三、小结思考题思考题思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案
