【精品PPT课件】微分几何

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1、微分几何微分几何主讲人：周小辉主讲人：周小辉第第 一一 章章 曲曲 线线 论论1、向量函数、向量函数 向量函数的极限、连续、微商、积分向量函数的极限、连续、微商、积分2、曲线的概念、曲线的概念 曲线、光滑曲线、曲线的切线和法面、自然参数。曲线、光滑曲线、曲线的切线和法面、自然参数。3、空间曲线、空间曲线 3、1 空间曲线的密切平面空间曲线的密切平面 3、2 空间曲线的基本三棱形空间曲线的基本三棱形 3、3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式 3、4 空间曲线在一点邻近的结构空间曲线在一点邻近的结构 3、5 空间曲线的基本定理空间曲线的基本定理 3、6 一般螺线一般

2、螺线 内内 容容 提提 要要回顾向量代数回顾向量代数 一、向量的概念一、向量的概念 1、向量的定义。 2、向量的表示 3、特殊向量（自由向量、单位向量、零向量、逆向量） 4、向量的坐标。 二、向量的运算二、向量的运算 （几何意义）（几何意义） 1、加减法： 2、数乘： 3、内积： 4、外积： 5、混合积： 6、二重向量积： 7、Lagrange恒等式 8、模： 方向余弦： 四、运算规律、几个充要条件 1、 2、 3、 三、几种运算的几何意义第一节 向量函数 向量函数的概念向量函数的概念：给出一点集G ，如果对于G 中的每一个点 ，有一 个确定的向量 和它对应，则说在 G上给定了一个向量函数，记

3、作 例如 设G是实数轴上一区间 ，则得一元向量函数 设G是一平面域， ，则得二元向量函数 设G是空间一区域， ，得三元向量函数 1、定义、定义 设 是所给的一元函数， 是常向量，如果对任给的 ，都存在数 ，使得当 时,有 成立，则说当 时，向量函数 趋向于极限 ，记作 1、1 向量函数的极限向量函数的极限2、向量函数的性质、向量函数的性质命题1如果 和 是两个一元函数， 是一个实函数，并且 当 时，有 则有（1）两向量之和（差）的极限等于极限之和（差）。（2）数乘向量的极限等于极限的乘积。（3）数量积的极限等于极限的数量积。（4）向量积的极限等于极限的向量积。1、2 向量函数的连续性向量函数的

4、连续性 1、 给出一元向量函数 ，当t t0 时，若向量函数 , 则称向量函数 在 t0 点是连续的。 也有 2、如果 在闭区间t1,t2的每一点都连续，则称 在区间t1,t2上是连续的。 3、命题命题2 如果 和 是在点t0连续的向量函数，而 是点 t0连续的实函数，则向量函数 和实数 也都有在t0点连续（把命题中的点t0改为区间t,t0时，命题也成立）。 1、3 向量函数的微商向量函数的微商 1、设 是定义在区间t1,t2上的向量函数，设 ，如果极限 存在，则称 在t0点是可微分的，这个极限称为 在 t0 点的微商（或导矢）。 记为 即 如果 在某个开区间的每一点都有微商存在，则说 在此区

5、间内是可微的或简称向量函数 是可微的，它的微商记为 2、命题、命题3 设 分别是可微的向量函数， 是可微 的实函数，则 都是可微函数，并且 3、向量函数 的微商 仍为 t 的一个向量函数，如果函数 也是连续和可微的，则 的微商 称为 的二阶微商。 类似可定义三阶、四阶微商。如5、 任一向量函数 与三个实函数 一一对应，即有 证明证明 将 两边点乘 得 由于 是常向量，而 是 类的，所以x(t)是 类函数 同理， 是 类函数。 命题命题4 如果向量函数 在 上是 类函数，则向量函数所对的三个实函数 在 上是 类函数。 4、在区间 t1,t2上有直到 k 阶连续微商的函数称为这区间上的 k次可微函

6、数或 类函数，连续函数也称为 类函数，无限可微的函数记为 类函数。解析函数记为 类函数。1、4 向量函数的泰勒公式向量函数的泰勒公式 2、当 时，我们可以把它展成泰勒级数 3、如果 ，则上述泰勒级数是收敛的。 1、定理、定理 设向量函数 在 上是 类函数，则有泰 勒展开式其中 时 证明证明1、5 向量函数的积分向量函数的积分 1、定义、定义 如果向量函数 是可积的，则有 2、命题、命题5 如果向量函数 是区间a,b上的连续函数，则积分 存在，并且 （1）当acb时有 （2）m 是常数时有 （3）如果 是常向量，则有 （4） 3、命题、命题6 (1) 向量函数 具有固定长的充要条件是对于 t 的

7、每 一个值， 都与 垂直。 ( 2） 有固定方向的充要条件是 （3） 平行于固定平面的充要条件是 证明证明 因为x(t),y(t),z(t)为连续函数，所以在a,b上可积，由它对应 的向量函数也可积，且有 4、旋转速度、旋转速度：定义 为向量函数 对于变量 t 的 旋转速度。 命题命题7 单位向量函数 对于 t 的旋转速度 等于其微商的模 证明证明 如图 所以 第二节第二节 曲线的概念曲线的概念 2、1 曲线的概念曲线的概念 2、曲线、曲线 一个开直线段到三维欧氏空间内建立的一个一一的，双方连续的在上的映射 f （拓扑映射或同胚）下的象叫简单曲线段。 1、映射、映射 给出两个集合E ， ，法则

8、f ，如果通过 E 中每个点 （或元素）x ，有 中唯一的点 与之对应，则说 f 为从 E 到 的映射， 为象， x为原象。 一一映射（单射）：不同元素的象不同。 在上映射（满射）： 中元素都有原象。 双方连续的：一个映射以及它的逆映射都连续。 3、曲线的参数方程、曲线的参数方程 坐标式 例书中的开圆和圆柱螺线。向量式 例例1 1、 开圆弧 例例2 2、圆柱螺线或2、2 光滑曲线光滑曲线 曲线的正常曲线的正常点点 1、光滑曲线、光滑曲线 如果曲线的参数表示式中的函数是 k 阶连续可微的函数，则把这曲线称为 类类曲线曲线。 类的曲线又称为光滑曲线。光滑曲线。 2、正常点、正常点 曲线上满足一阶微

9、商不为零的点叫曲线的正常点正常点。即若t0 为曲线的正常点，则由于所以 中至少有一个不为零 例如例如 圆柱螺线 由于b不为0，由z=bt 得t=z/b，代入 x=acost , y=asint 得 x=acos(z/b) y=asin(z/b) 。 这是圆柱螺线的另一种表示法。3、正则曲线正则曲线 若曲线上任一点都是正常点，则此曲线称为正则曲线正则曲线。 由 中至少有一个不为零 不妨设 , 则在曲线的正常点的充分小的邻域里， x= x (t) 在 t0 邻近有连续可微的反函数 t = t(x) , 代入 y = y(t), z = z(t) ，即得 这是曲线的另一种表示方法。2、3 曲线的切线

10、和法面曲线的切线和法面2、切线的方程切线的方程（设曲线上的点都有是正常点） 设切线上任一点的径矢为 则 设 则 3、例例 求圆柱螺线上一点处的切线。 1、切线切线 割线的极限 切向量切向量4、法面、法面 经过切点且垂直于 切线的平面。5、法面的方程、法面的方程 设 是法面上任一点，则 或 例题例题 求圆柱螺线的法面方程2、4 曲线的弧长曲线的弧长 自然参自然参数数 给出 类曲线（C）：作分点 Pi 得折线，长为得弧长若用 表 a 到 t 的弧长，则 这里的积分上限大于下限，所得的曲线的弧长总是正值。 弧长公式为现在定义一新函数 s(t) 为： s(t) = 0 , t = a , 得 而且s(

11、t) 是 t 的单调增加函数（ ），它的反函数存在设为 t = t(s) ，代入曲线方程得到以 s 为参数的曲线方程或 x = x (s) , y = y(s) , z = z(s) , s 称为自然参数。记对 s(t) 微分得 此外还有 ，因此 为单位切向量。练习练习10 将圆柱螺线化为自然参数表示。 3、1 空间曲线的密切平面空间曲线的密切平面1、定义、定义 过空间曲线上 P 点的切线和 P 点邻近一点 Q 可作一平面 ，当 Q 点沿曲线趋于 P时，平面 的极限位置 称为曲线在 P 点的密切平面。第三节第三节 空空 间间 曲曲 线线 对于 类的曲线上任一正常点处的密切平面是最贴近于曲线的切

12、平面。 2、密切平面的方程、密切平面的方程 给出 类的曲线（C）：因为向量 和 都在平面 上，所以它们的线性组合 也在平面 上。两边取极限得 在极限平面上，即 P 点的密切平面上，因此只要 这个向量就可以作为密切平面的一个法向量。密切平面方程为 用 表示 P 点的密切平面上任一点的向径， 则上式表示为如果曲线用自然参数 s 表示，则将上式中的撇改成点。 例题 求圆柱螺线上任一点的密切平面。平面曲线的密切平面就是曲线所在的平面。1、给出 类曲线 得一单位向量 ，称为曲线（C）上 P 点的单位切向量单位切向量。 （ 注意到 ） 称 为曲线在 P 点的主法向量主法向量,它垂直于单位切向量。称 为曲线

13、在 P 点的副法向量副法向量。把两两正交的单位向量 称为曲线在 P 点的伏雷内（Frenet)标架。 3、2 空间曲线的基本三棱形空间曲线的基本三棱形2、由任意两个基本向量所确定的平面分别叫做密切平面、法平面、从切平面。而由三个基本向量和上面三个平面所构成的图形叫做曲线的基本三棱形。3、对于曲线（C）的一般参数表示 有4、例题例题 P34密切平面从切平面法平面密切平面：法平面：从切平面：3、3 空间曲线的曲率，挠率和伏雷内公式空间曲线的曲率，挠率和伏雷内公式2、曲率的几何意义曲率的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度。曲率越大，曲线的弯曲程度就越大，因此它反映了曲线的弯曲程度。 设空间曲线

14、（C）为 的，且以 s 为参数。 1 1、曲率曲率 定义（C）在 P 为的曲率为 有 （一个单位向量微商的模等于它对于变量的旋转速度）3、挠率挠率 与曲率类似有 定义定义 曲线（C）在 P 点的挠率为挠率的绝对值是曲线的副法向量对于弧长的旋转速度。 4、由定义可得 又 于是有 这个公式称为空间曲线的伏雷内（伏雷内（Frenet)公式公式。它的系 数组成一反称方阵5、曲率和挠率的一般参数表示式、曲率和挠率的一般参数表示式给出 类的曲线（C）：所以因此由此得到曲率的一般参数的表示式 由可得挠率公式为6、密切圆（曲率圆）密切圆（曲率圆） 过曲线（C）上一点 P 的主法线的正侧取线段 PC，使 PC

15、的长为1/k。以C 为圆心，以1/k为半径在密切平面上确定一个圆，这个圆称为曲线在 P 点的密切圆或曲率圆，圆的中心叫曲率中心，圆的半径叫曲率半径。 7、几个例题几个例题例1 圆柱螺线的曲率和挠率都是常数。例2 曲率恒为零的曲线是直线。例3 挠率恒为零的曲线是平面曲线。例4 求曲率为 4 ，挠 率为 5 的曲线方程。解解 由题意，可设曲线为园柱螺线 因此得所求园柱螺线为3、4 空间曲线在邻近一点的结构空间曲线在邻近一点的结构给定给定 类曲线类曲线 及其上一点及其上一点 有有 取取 为新坐标系，并取为新坐标系，并取 为计算弧长的始点，为计算弧长的始点， 则有则有 。设。设 为曲线上点为曲线上点

16、的邻近点的新坐的邻近点的新坐标，则有标，则有近似曲线在三个平面上的投影分别为近似曲线在三个平面上的投影分别为 通过画出以上三个投影的立体图形就可以看出空间曲线通过画出以上三个投影的立体图形就可以看出空间曲线在一点邻近的近似形状：在一点邻近的近似形状：1、曲线穿过法平面与密切平面，但不穿过从切平面。、曲线穿过法平面与密切平面，但不穿过从切平面。2、主法向量总是指向曲线凹入的方向，这是主法向量正向的、主法向量总是指向曲线凹入的方向，这是主法向量正向的几何意义。几何意义。3、挠率的符号对曲线的影响见表。、挠率的符号对曲线的影响见表。 3、5 空间曲线论的基本定理空间曲线论的基本定理 曲线上每一点都有

17、确定的曲率和挠率，它们与参数有关，曲线上每一点都有确定的曲率和挠率，它们与参数有关，但与刚体运动和坐标变换无关。我们把但与刚体运动和坐标变换无关。我们把 称称为空间曲线的自然方程。为空间曲线的自然方程。空间曲线论基本定理空间曲线论基本定理 给出闭区间给出闭区间s0,s1上的两个连续函数上的两个连续函数 ,则除则除了空间的位置差别外，唯一存在一条空间曲线，使得参数了空间的位置差别外，唯一存在一条空间曲线，使得参数 s 是是曲线的自然参数，并且曲线的自然参数，并且 和和 分别为曲线的曲率和挠率，分别为曲线的曲率和挠率，即曲线的自然方程为即曲线的自然方程为3、6 一般螺线一般螺线 1、定义：切线和固

18、定方向作固定角的曲线称为一般螺线。定义：切线和固定方向作固定角的曲线称为一般螺线。 2、性质：性质： （1）主法线与一个固定方向垂直。）主法线与一个固定方向垂直。 （2）、副法线与一个固定方向作固定角。）、副法线与一个固定方向作固定角。 证明：设证明：设 是固定方向上的一个单位向量。它与切向量作固是固定方向上的一个单位向量。它与切向量作固 定角定角 ，有，有 微商微商 （3）曲率与挠率之比为一个常数。）曲率与挠率之比为一个常数。 可以证明，上面的结论也是充分的。可以证明，上面的结论也是充分的。 3、一般螺线的一种标准方程、一般螺线的一种标准方程 设柱面的母线平行于设柱面的母线平行于 z 轴，则

19、可令轴，则可令 再设一般螺线的方再设一般螺线的方程为程为 若令若令 z=0 , s=0 , 则则 于是一般螺线的方程为于是一般螺线的方程为广义螺线若一质点的运动轨迹的参数方程是其中为椭圆中常数, 的常数, 为自转速率.则该轨线为椭圆螺螺线. 若一质点的运动轨迹的参数方程是其中为双曲线中常数, 的常数, 为自转速率.则该轨线为双曲螺双曲螺线. 若一质点的运动轨迹的参数方程是其中为抛物线中常数, 为自转速率.则该轨线为抛物螺抛物螺线. 第二章第二章 曲面论曲面论 内内 容容 提提 要要1 1、曲面的概念、曲面的概念（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线）（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线）2 2、曲面

20、的第一基本形式、曲面的第一基本形式( (第一基本形式、曲线的弧长、第一基本形式、曲线的弧长、 正交轨线、曲面域的面积、等距变换、保角变换）正交轨线、曲面域的面积、等距变换、保角变换）3 3、曲面的第二基本形式、曲面的第二基本形式( (第二基本形式、曲面曲线的第二基本形式、曲面曲线的 曲率、杜邦指标线、渐近线、曲率线等）曲率、杜邦指标线、渐近线、曲率线等）4 4、直纹面和可展曲面、直纹面和可展曲面（直纹面、可展曲面）（直纹面、可展曲面）5 5、曲面论的基本定理、曲面论的基本定理（基本方程、基本定理）（基本方程、基本定理）6 6、曲面上的测地线、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯（测地曲率、测

21、地线、高斯波涅波涅 公式、曲面上向量的平行移动）公式、曲面上向量的平行移动）7 7、常高斯曲率曲面、常高斯曲率曲面（常高斯曲率的曲面、伪球面、罗（常高斯曲率的曲面、伪球面、罗 氏几何）氏几何）第一节第一节 曲面的概念曲面的概念 1、1 简单曲面及其参数表示 一、初等区域一、初等区域 平面上的不自交的闭曲线称为约当曲线约当曲线。约当曲线将平面分成两部分，并且每一部分都以它为边界，它们中有一个是有限的，另一个是无限的，有限的区域称为初等区域。约当曲线的内部称为初等区域初等区域。如矩形的内部、圆的内部等。 如果平面上的初等区域到三维欧氏空间的对应是一一的、在上的、双方连续的映射（拓扑映射），则把三维

22、空间中的象称为简单曲面。 今后我们所用的都是简单曲面或曲面。 如：一矩形纸片（初等区域）可以卷成有裂缝的圆柱面。如果它是橡皮膜，还可变成圆环面。二、简单曲面二、简单曲面三、曲面的方程三、曲面的方程 初等区域G中的点的的笛氏坐标为(u,v)，它的拓扑象为曲面S，其上的点的笛氏坐标为(x,y,z)，故有 x = f1(u,v) , y = f2(u,v) , z = f3(u,v) , (u,v)G称为曲面S的参数表示或参数方程，u和v称为曲面S的参数或曲纹坐标。习惯上写作 x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v) , (u,v)G例：圆柱面；球面；旋转面。四、坐标

23、曲线；曲纹坐标网四、坐标曲线；曲纹坐标网。 曲面上一点 P 的直角坐标为（x , y ,z），它的曲纹坐标为（u ,v）。现在取v = 常数而 u 变化时的曲线叫 u -曲线 ( u线）u = 常数而 v 变化时的曲线叫 v -曲线（v线）面上构成坐标网，称为曲面上的曲纹坐标网。对于曲面上任一点 P ，两族曲线中各有一条经过它。其中为相应抛物线中常数, 向量函数形式： 抛物螺面抛物螺面抛物螺线抛物螺线其中为相应抛物线中常数, 向量函数形式： 1 1、2 2 光滑曲面、曲面的切平面和法线光滑曲面、曲面的切平面和法线 一、光滑曲面、正常点、正规坐标网一、光滑曲面、正常点、正规坐标网 1、若曲面 x

24、 = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v) 或 r = r (u,v) 中的函数 有直到 k 阶的连续微商，则称为 k 阶正则曲面阶正则曲面或 类曲面类曲面。 类的曲面又称为光滑曲面光滑曲面。 2、过曲面上一点( u0 ,v0 ) 有一条u-曲线： r = r (u,v0) 和一条v曲线： r = r (u0 ,v) ,该点处这两条坐标曲线的切向量 为 如果它们不平行，即 ru rv在该点不为零，则称该点为曲面 的正常点。 3、正规坐标网正规坐标网 由ru， rv 的连续性，若 ru rv在( u0 ,v0 )点不为零，则总存在该点的一 个邻域U，使在这个邻域内有r

25、u rv不为零，于是在这片曲面上，有一族 u 线和一族 v 线，它们不相切，构成一正规坐标网正规坐标网。 4、曲面在正常点的邻域中总可用显函数的形式表示曲面在正常点的邻域中总可用显函数的形式表示， 即有 z = z ( x , y ), 事实上，由3 ，ru rv在( u0 ,v0 )点不为零，则总存在该点的一 个邻域U，使在这个邻域内有ru rv不为零，故的坐标中的三个二级子式中至少有一个不为0，不妨设第一个不为0，即 由隐函数定理， x = x (u ,v) , y = y (u ,v) 在 U 中存在唯一的单值连续可微函数 u = u (x , y ), v = v( x , y) ,

26、代入得 z = z u( x, y),v(x,y) = z(x,y)。 二、曲面的切平面二、曲面的切平面 设曲面曲线为 (c)： u = u (t) , v = v (t) , 或 r = r u (t) ,v (t) = r (t)，这条曲线在曲面上( u0 ,v0 )处的切方向称为曲面在该点的切方曲面在该点的切方向向或方向，它平行于其中 分别是在( u0 ,v0 )点处的两条坐标曲线的切向量。 以下切方向几种表示通用：du : dv , (d) 和 。 1、切平面的定义 可以看出，切向量 与 共面，但过( u0 ,v0 )点 有无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数切方向，且有 命题命题2：

27、曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标 曲线的切向量 所确定的平面上。 这个平面我们称作曲面在该点的切平面。3 3、切平面的方程、切平面的方程 设面上一点为 P0( u0 ,v0 )，R (X,Y,Z)为平面上任一点， 则有 或写成坐标表示式 如果用显函数 z = z ( x , y ) 表示曲面时，有 三、法方向与法线三、法方向与法线 1、定义：曲面在正常点处垂直于切平面的方向称为曲面的法方 向，过该点平行于法方向的直线称作曲面在该点的法线。 由定义，曲面的法方向为 单位法向量为 2、法线的方程 设曲面上任一点 r (u,v) 的径矢为 R (u,v) 则法线的方程为 用坐标表示为 若用

28、 z = z (x,y) 表示曲面，则有四、参数变换四、参数变换 如果曲纹坐标 (u,v) 变为新的曲纹坐标 ： 则得到曲面关于新曲纹坐标 的方程 对 求导：因此（1） ， 则两个法向量平行。（2） ，所有参数法向量的正向保持不变， 称这个方向为曲面的正向。（3）交换参数，则正向改变为负向，曲面为双侧。1 1、3 3 曲面上的曲线簇和曲线网曲面上的曲线簇和曲线网 设光滑曲面上的曲线为 (c)： u = u (t) , v = v (t) , 或者 r = r u ( t ) , v ( t ) = r ( t ) , 消去 t ，可得曲面上曲线的方程为1、一阶线性微分方程 表示曲面上的一簇曲线

29、曲线簇，设 则有 解之得 特别 当 A = 0 或 B = 0 时，有 d u = 0 或 d v = 0 此时为坐标曲线 u = c 或 v = c 。2、二阶微分方程 则表示曲面上的两簇曲线 曲线网。 设 分别解这两个一阶微分方程，可得两簇曲线，它们构成曲面上的曲线网。 特别有 它们表示坐标曲线。第二节第二节 曲面的第一基本形式曲面的第一基本形式2、1 曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长 1、 给出曲面S：r = r (u ,v) ，曲面曲线 (c)：u = u (t) , v = v (t) , 或 r = r u (t) ,v (t) = r (t)，若 s 表示弧长有 所以 称为曲

30、面的第一基本形式。其中称为第一类基本量。2、曲线 (C)上两点 A (t0) , B (t1) 间的弧长为：3、用显函数 z = z (x , y) 表示的曲面的第一基本形式4、第一基本形式是正定的。事实上，也可从 直接得到。例2：正螺面例题1：求球面的第一基本形式2、2 曲面上两方向的交角曲面上两方向的交角 1、把两个向 量 和 间的交角称为方向（ ）和（ ）间的角。2、设两方向的夹角为 ，则3、特别 （1）（2）对于坐标曲线的交角，有故坐标曲线正交的充要条件为 F = 0 。2 2、3 3 正交曲线簇和正交轨线正交曲线簇和正交轨线 设有两曲线 如果它们正交，则 或 即 若另给出一簇曲线 则

31、另一族与它正交的曲线称为这曲线的正交轨线，它的微分方程 是 即 2、4 曲面域的面积 如图,用坐标曲线把曲面分成若干小块,每块的面积为其中 D 为相对应的 u,v 平面上的区域，定义：仅由第一基本形式出发所建立的几何性质（量）称为曲面的内在性质（量）或内蕴性质（量）。如曲面上曲线的弧长，曲面上两方向的交角，曲面域的面积。2、5 等距变换等距变换 1) 曲面 S 到 S1 的变换 给定两曲面： S： S1：如果其对应点的参数之间存在一一对应关系： ， 其中 连续，有连续的偏导数，且这种一一对应关系称为曲面 S 到 S1 的变换。 由于这样两个曲面在对应点就有相同的参数。并且在以后的讨论中我们总假

32、定在对应点有相同的参数。2)等距变换：曲面间的一个变换，如果保持曲面上任意曲线的长度不变，则这个变换称为等距变换（保长变换）。定理：两个曲面上的一一变换是等距变换的充要条件是经过适当选取参数后，它们有相同的第一基本形式。 由这个定理可知：仅由第一基本形式所确定的性质(内蕴性质)在等距变换下不变，因此曲线的弧长，交角，面积等都是等距不变量。例 正螺面悬链面令则 它是正螺面与悬链面的等距变换。2、6 保角变换（共形变换） 1） 定义：两曲面之间的一个变换，如果保持曲面上曲线的交 角相等，则这个变换称为保角变换（保形变换） 2）定理：两个曲面间的一个变换是保角变换的充要条件是它们 的第一基本形式成比

33、例。 特别：等距变换是它的特例。例 球极投影球面平面第三节第三节 曲面的第二基本形式曲面的第二基本形式3.1 3.1 曲面的第二基本形式曲面的第二基本形式一、上节中我们讨论到的性质，如交角、弧长、面积等，都是曲面本身的内蕴性质，它不依赖于曲面在空间如何弯曲。为了更好地研究曲面的形状，有必要知道在曲面上任意一点 P 邻近曲面是否弯曲，往什么方向弯曲，弯曲的程度，而这个程度可用 P 点邻近的点 Q 到 P 点的切平面的垂直距离来表示，这个距离的主要部分就是曲面的第二基本形式。在第五节我们将看到，曲面的第一、二基本形式完全决定的曲面的形状。 它称为曲面的第二基本形式,它的 L 、M、N系数称为曲面的

34、第二类基本量 。 上式表明第二基本形式近似地等于曲面与切平面的有向距离的两倍，因而它刻划了曲面离开切平面的弯曲程度，即刻划了曲面在空间中的弯曲性。 注意：第二基本形式不一定是正定的，当曲面在给定点向法向量的正侧弯曲时为正，反向弯曲为负。二、曲面的第二基本形式三、第二类基本量的计算1、2、对 进行微分得 3、对于显函数 z = z (x , y) 表示的曲面有例题1、23、2 曲面上曲线的曲率 曲面在已知点邻近的弯曲性可由它离开曲面的切平面的快慢来决定，但曲面在不同方向的弯曲程度是不一样的，即曲面在不同方向以不同的速度离开切平面，这一点，我们可以用曲面上过该点的不同方向的曲线的曲率来研究它在不同

35、方向的弯曲程度，而这条曲线又可用一条更简单的曲线（如平面曲线）来求得，这条曲线就是法截线。一、法截面与法截线一、法截面与法截线1、给定类 的曲面S：（c）：u=u(s),v=v(s) 或 是曲面上过 P 的一曲线，曲线在 P 的切向量与主法向量为 则设 P 点的法向量 与主法向量 的夹角为 ，则所以但2、定义：给出曲面上一点 P 及P点的一切方向du:dv ，于是方向(d)和单位法向量以及点P所确定的平面称为曲面在P点沿该方向的法截面，这个法截面与曲面S的交线称为曲面S在P 点沿方向(d)法截线。二、法曲率 设方向（d）所确定的法截线为 (c0)，它在 P点的曲率为 k0，对于(c0)，它是一

36、条平面曲线，它在P点的主法向量 为s在P点的法向量或它的反向量，即 ，所以 由公式（1）得 其中 和 的方向相同时取正号，此时（c0）往 的正侧弯曲， 取负号， 反向弯曲。 定义：曲面在一点沿一方向的法曲率为 注意：设给定点为P，则L、M、N、E、F、G由P点所定，但此时du:dv为法截线的方向，并不一定是前面所提到的s上的曲线（c）的方向，为了求(c)的曲率，只要（c）与（c0）在P点相切就行了，因为它们此时的切方向相同了。所以 设曲面上一曲线（c）和法截线（c0）切于P点，则它们有相同的切方向（d）= du:dv，则（1）和（3）得 利用这个关系，所求曲面曲线的曲率都可以化为法曲率讨论。三

37、、梅尼埃定理 设 R = 1/k，即 R 为曲线（c) 的曲率半径 ， Rn = 1/kn ，称R为曲线（c0)的曲率半径，也称为法曲率半径。 则公式 ， 可写为梅尼埃定理：曲面曲线（C）在给定点P的曲率中心C就是与曲线（C） 具有共同切线的法截线（C0）上同一个点P的曲率中心C0在曲线（C）的密切平面上的投影。 四、一个例，球面。 由于R 在（C）的主法线上，即在（C）的密切平面上， Rn 在（C0） ， （C0） 故这个公式的几何意义为：R为Rn在（C）的密切平面上的投影，由于它们的端点为曲率中心C和法曲率中心C0，因此几何意义可叙述成：3.3 杜邦指标线一、杜邦指标线 取P点为坐标原点，

38、坐标曲线在P点的切方向为 构成了曲面在P点的切平面上的一个坐标系。在切平面上给定方向（d），即 使得 ，则对于切平面上所有方向，N点的轨迹称为曲面在P点的杜邦指标线。二、杜邦指标线的方程 取（d）上的单位向量为 ，设N点在前面的坐标系下的坐标为(x,y),则三、曲面上的点的分类 按曲面上的点的杜邦指标线进行分类 1）若 ，则点P称为曲面的椭圆点，这时杜邦指标线是一椭圆。 2）若 ，则点P称为曲面的双曲点，杜邦指标线为一对共轭的双曲线。 3）若 ，则称P为曲面的抛物点，杜邦指标线为一对平行直线。 4）若 ，则称P为曲面的平点，这时杜邦指标线不存在。 例：平面上的点为平点。 因为平面方程为 它的二

39、阶微商全为零，因此第二类基本量全为零。3、4 曲面上的渐近方向与共轭方向一、曲面的渐近方向与渐近线1、定义：如果P是曲面的双曲点，则它们的杜邦指标线有一对渐近线，我们把沿渐近线的方向(d)称为曲面在P点的渐近方向。 设L，M，N在P点的值为L0，M0，N0，则由解析几何知，这两个方向满足方程也就是使得法曲率为零的方向。2、渐近曲线 曲面上的曲线，如果它上面的每点的切方向都是渐近方向，则称曲线为渐近曲线，它的微分方程是命题2：曲面在渐近曲线上一点处的切平面一定是渐近曲线的 密切平面。3、性质 命题1：如果曲面上有直线，则一定是曲面的渐近曲线。由法曲率公式即证：证明：沿渐近曲线有 若 k = 0，

40、则为直线，这时曲面的切平面通过它，因此切 平面又是密切平面；若 ，则曲面的法向量垂直于渐近曲线的主法向量，因此曲面的切平面通过渐近曲线的切线外，还通过渐近曲线的主法向量，所以它又是渐近曲线的密切平面。4、渐近网1）如果曲面上的点都是双曲点，则曲面上存在两族渐近曲线， 这两族曲线称为曲面上的渐近网。2）定理：曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是L=N=0。证明：必要性：若曲纹网是渐近网，则du=0或dv=0 应满足渐近曲线的微分方程代入得L=N=0。充分性：若L=N=0,又du=0或dv=0,代入必有即曲纹网是渐近网。二、共轭方向1、定义：设曲面上P点处的两个方向分别为 如果包含这两个方向的直

41、线是P点的杜邦指标线的共轭直径，则这两个方向称为曲面的共轭方向。 2、共轭条件：由解析几何学知，两方向共轭的充要条件是现杜邦标线为 因此 共轭充要条件为 所以两方向共轭也可写为 特别当 时，条件就为为渐近方向，故渐近方向为自共轭方向。但3、共轭网1）给出曲面上的两族曲线，如果通过它上面每点，曲线族中的两条曲线的切方向都是共轭方向，则这两族曲线称为曲面上的共轭网。2）共轭网满足的条件：设共轭网中两族曲线的方向分别为 ，则这两个方向应满足 (1) 设一族曲线的微分方程为 Adu+Bdv=0 (2) 联立（1）（2）为关于du,dv的齐次方程组，它有非零解的充要条件是为与曲线族（2）共轭的曲线的微分

42、方程。 命题4：曲面的曲纹网为共轭网的充要条件是M=0。 特别地，取（2）为坐标曲线dv=0，即u 线，则它的共轭曲线族为 如果这族曲线为v线（ ）则M=0。因此得到3、5 曲面的主方向和曲率线一、主方向 1、定义：曲面上一点P的两个方向，如果它们既正交又共轭， 则称为曲面在P点的主方向。2、主方向满足的条件 （1）设两个主方向为（d）（ ）两式联立并消去 得这就是主方向所满足的条件，也可写成展开得3、主方向的个数主方向的个数由它的判别式确定：1）判别式大于零，方程有两个不同实根，即有两个不同的主方向；2）没有判别式小于零的情况。3）当且仅当 EN GL = EM FL = 0 时判别式等于零

43、。 此时有 E/L=F/M=G/N, 则这种点称为曲面上的脐点。 结论：1）非脐点总有两个不同的主方向，它们是杜邦指标线的主轴方向。 2）在脐点，前面的行列式为恒等式，即对于任何方向行列式为零，因此在脐点的每个方向都是主方向。3）L=M=N=0的脐点称为平点，L,M,N不同时为零的脐点叫圆点。 设(d)是主方向， 是与(d)垂直的另一主方向，由 得 利用正交和共轭得 于是有 ，两边点积 即：-= ，所以 反之，设 ， 是与(d)垂直的另一方向，若方向（d）是主方向， 则 ，其中 是曲面沿方向(d)的法曲率； 反之，如果对于方向(d)有 ，则(d)是主方向，且 是沿方向(d)的法曲率。二、主方向

44、判别定理（Rodrigues定理）：三、曲率线与曲率线网1、定义：曲面上一曲线，如果它上面的切方向都是主方向，则称为曲率线。2、曲率线的微分方程是3、曲率线网 曲率线的微分方程为二次方程式，所以它确定了曲面上的两族曲率线（每一点都有两条），这两族曲率线构成的网称为曲面上的曲率线网。注意：这个方程既是主方向的条件，也是曲率线的微分方程， 前者是对曲线上一点而言，后者是对整条曲线而言。4、曲纹网为曲率线网的条件命题5：曲面上的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是F=M=0。曲面上的每一点，两个方向互相垂直，所以曲率线彼此不相切，行列式引进 为新参数，则 线为新的曲纹坐标，这样就使曲面上的曲率线网成了曲

45、纹坐标网。这个证明还说明曲面上的任何一个正规网都可以为曲纹坐标网。3、6 曲面的主曲率、高斯(Gauss)曲率和平均曲率一、主曲率定义：曲面上一点处主方向主方向上的法曲率法曲率称为曲面在此点的主曲率，也就是沿曲率线方向的法曲率. 由定义，主方向判别定理可写为：对于曲率线有 为主曲率 ，反之也成立。或：曲面上的曲线为曲率线的充要条件是 是主曲率。 二、欧拉公式 1、在曲面S上选取曲率线网为曲纹坐标网，则F=M=0，这时对于曲面上任一方向(d)，它的法曲率公式变为特别沿u-线的主曲率为 ， v-线的为2、设 为任意方向(d)和u-线方向之间的夹角，则这个公式称为欧拉公式（Euler)3、两点说明

46、1）欧拉公式中只要知道了主曲率，则任意方向(d)的法曲率 就可以用(d)和u-线的夹角确定。 2）欧拉公式是在脐点成立，但在脐点也成立，此时E/L=G/N 即任意方向的法曲率都相等。 三、主曲率的一个命题 曲面上的一点（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的最大值和最小值。证明：在非脐点，两主曲率不相等，不妨设k1k2，由欧拉公式同理有 即即主曲率是这点所有方向的法曲率中的最大值和最小值。四、主曲率的一个计算公式 由主方向判别定理，沿主方向(d)有 则 两边分别与ru，rv作内积 即 -Ldu-Mdv = -kN（Edu+Fdv） -Mdu-Ndv = -kN（Fdu+Gdv） 整理

47、得到关于du,dv的齐次方程，它有解的充要条件是 这就是主曲率的计算公式。也可用二次方程表示。五、高斯曲率和平均曲率 1、设k1, k2为曲面上一点的两个主曲率，则它们的乘积k1k2称为曲面在这点的高斯曲率（全曲率，总曲率），记为 K，即 K= k1k2 。而k1, k2的平均数称为曲面在这点的平均曲率（中曲率），用H表示，即H=1/2（ k1+k2)。由韦达定理知 2)若曲面用z = z(x,y) 表示则3）例题6。六、极小曲面 1、极小曲面 1) Plateau 问题，1866年提出。 2）平均曲率为零的曲面。第六节。 2、研究状况 1）寻找极小曲面 1774年欧拉找出悬链面，1860年B

48、onnet证明了它是旋转面中 唯一的极小曲面。 1776年Meusniner,正螺面。1842年，Catala证明了它是直纹面中仅有的极小曲面。 1834年，Scherk,z=log(cosy)-log(cosx)，他证明了它是平移曲面中唯一的极小曲面。 2）系统研究的黄金时代 1855-1890，提出、寻找。 1930-1940，解决Plateau问题。 方兴未艾，极小子流形。 把计算机用于极小曲面论中（整体的），可以得到无数个极小曲面。 经典结论：有限型的极小曲面有三种：平面、正螺面、悬链面。 3）求出极小曲面是的曲面的一种：悬链面。例7。3、7 曲面在一点邻近的结构 一、椭圆点： ，适当

49、选择 曲面的法向量可使主曲率全大于零，由第一章的结果，平面曲线在一点邻近的近似方程为所以这里得到它的近似方程为 ， ，它们都是抛物线，所以曲面在椭圆点邻近的形状近地等于椭圆抛物面。 二、双曲点 因此对应于主方向k1（k2）的法截线朝法向量的反（正）侧弯曲，它们在两个主方向的近似形状为：因此曲面在双曲点的邻近的形状近似于双曲抛物面。 三、抛物点 对于(1)，设 k10 时，两法向量同向，当 K0 时，两法向量反向。 第四节第四节 直纹面与可展曲面直纹面与可展曲面1、定义：由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面。直线为直母线。例如柱面，锥面，单叶双曲面，正螺面等。 与直纹面上所有直母线相交的曲线叫直纹面

50、的导线。2、直纹面的方程（1）设导线为 ， 是过导线上一点 处的直母线上的单位向量，则有：其中直纹面上一点 P 到导线上的点 的距离为v。（2）坐标曲线v-曲线， 为直母线；u-曲线， 为与导线平行的曲线。 4、1 直纹面 (3)几种特殊的直纹面几种特殊的直纹面 为常向量，任意母线的方向不变，为柱面。 为常向量，任意母线过一定点，为锥面。 为导线上的切向量，为一空间曲线的切线曲面 3、直纹面的法向量与高斯曲率、直纹面的法向量与高斯曲率 （1）由 得 （2）当 P 点在直纹面的一条直母线上移动时，u不变，v变，法向量变化如下： a) ，法向量改变方向. b) ，法向量不改变方向， 即沿一条直母线

51、有相同的法向量或切平面。（3）高斯曲率）高斯曲率 由因此对于情形 a) 有 ，K0。 b) 有 ，K= 0。 另外注意到直纹面上有直线，即直母线，则一定是直纹面的渐近线，即直纹面上的渐近曲线。 4、腰曲线定义:如图 M 为直母线 l , 的公垂线，当u0时垂足M沿直母线 l 趋向于极限位置M0，称为直母线 l上的腰点。腰点的轨迹为腰曲线。它的表示为特别地，当取腰曲线为导线时，上式中的向径 就是 ，因此有 ，即它们垂直。 二、可展曲面二、可展曲面1、定义：称满足 的直纹面为可展曲面。 由前面的结论可知，这是情形（2），它沿一条直母线有同一个切平面，或沿一条直母线有同一法向量，因此，可展曲面是沿一

52、条直母线有同一个切平面的直纹面。因此对于情形 a) 有 ，K0。 b) 有 ，K= 0。 证明：对于可展曲面有 ，取腰曲线为导线， （1）当 ，这时腰曲线退化成一点，所有直母线上的腰点为同一点，曲面为锥面。腰点即为锥面的顶点。方程为 （2） ，由于 ，则三向量共面，且 （3） 为常向量，所有直母线平行，为柱面。2、命题1：每一个可展曲面或是柱面，或是锥面，或是一条曲线的切线曲面。3、单参数曲面族的包络、单参数曲面族的包络 给出一个单参数曲面族 （1） 对于不同的参数有不同的曲面，并假定函数（1）有一阶和二阶 连续偏导数。 （1）定义：如果有一曲面S，它的每一点是族（1） 中的一个曲 面 上的点

53、，而且在S与 的公共点它们有相同的切平面；反过来，对于族中的每一曲面 ，在曲面S上有一点P ，使 和S在P有相同的切平面，则称 S 为单参数曲面族 的包络。 （2）包络面的方程 现在假定曲面族 的包络S存在，由上面的定义，S上任意点P(x,y,z)必在族中某一曲面上，而这个曲面由参数 来确定，所以包络面S上每一点对应于 的一个确定的值，因此 为S上点的坐标的函数，即 代入（1）得 (2) 对于S上的点，上式恒成立。 其次，在包络面S上任取一条曲线因为（c）上的点的坐标 满足方程，所以对t 求导得： （3）在（c）上取一点，由于S和 在 P 有相同的切平面，所以（c）在P的切线与 在P 的法线垂

54、直，而切向量平行于对包络面上的每条曲线都成立，由（c）的任意性有 ，否则 ，因此 ，即 由上面的分析，曲面族的包络面满足方程组 （4）消去参数 得关于x,y,z的三元方程，它表示一张曲面称为曲面族 的判别曲面。 若假定在族中的曲面上的点和在包络面上的点是正常点，则判别曲面就是包络面S，这一点后面说明，先看一个例： 例题：求平面族 的包络面方程。下面说明判别曲面就是S。 首先 可以这样理解：对每一固定的 ，方程组（4）代表曲面 和曲面 的交线 ，而判别曲面 是这些交线所产生的，因此， 上的每一点决定一个 值 ，而点的坐标以及所对应的 值适合（4），但上面已经得到包络S上的每一点和它所对应的 值适

55、合（4），因此S属于 。(3)特征线 包络S与族中的曲面 相切的曲线称为特征线，因而当 固定时，（4）为特征线的方程，特征线的轨迹就是包络，族中每曲面沿特征线切于包络。 再证 属于S 。由于判别曲面上每一点都在族中某一曲面上，因此它的坐标对 的某个值满足方程在判别曲面上取一条过P点的曲线（c）：代入（4）式第一式中，然后关于t 求导，则有但由（4）第二式 ，所以即P点 的法线和 上曲线（c）的切向量垂直，由（c）的任意性， 与 在P点相切，这就说明了 的点也是 的点。因此， 属于S 。所以（4）命题2：一曲面为可展曲面的充要条件是此曲面为单参数平 面族的包络。 证明：充分性：设单参数平面族为

56、则特征线方程为 它是平面与平面的交线，即为直线，所以这些特征线的轨迹为直纹面，即包络面为直纹面，下证是可展的。 由于包络面沿特征线（现为直母线）与族中曲面（平面）相切，所以此平面是直母线上所有点的公共切平面，即沿一条直母线有同一个切平面，按可展曲面的定义，它是可展的。必要性：设曲面可展。由于直纹面的坐标曲线为直母线和与导线 平行的曲线，所以对于可展曲面，它的直母线就是v线（u= 常数），当u变化时，得到v线族，所以可展曲面可以看成是由 单参数u的直母线族所构成的，即可展曲面的直母线族仅与单 参数有关，而且经过给定的母线，可引唯一的切平面，因此所有切于可展曲面的切平面也只与一个参数有关，这就是说

57、可展曲面在它每一点处切于它的单参数平面族中的某一平面，即可展曲面是这个单参数平面族的包络。4、命题3：一个曲面是可展的充分必要条件是高斯曲率为零。 证明：如果曲面是可展的，则沿一条直母线的单位法向量保持不变，即为常向量，故 。但零向量与任意向量共线，所以 ，由主方向判别定理，沿直母线的方向为主方向，并且直母线方向上的主曲率为0，于是有 K=k1 k2=0。 一个，曲面由这些曲线组成，所以曲面是一个单参数族的包络面，因而是可展曲面。 反之，若 K=k1 k2=0，则两主曲率至少有一为0，设 k2=0，由于为主曲率，所以对应的方向为主方向，但它又是法曲率，说明这个方向是渐近方向，所以这一族渐近线也

58、是曲率线，由主方向判别定理， 为常向量。 这说明单位法向量沿渐近曲线保持不变，因此在所有渐近曲线上曲面的法线都平行。又沿渐近曲线的切向量为dr，它垂直于法向量，所以 积分有 对于渐近曲线上任一点成立。现设 为渐近曲线上某一点，有得 ，因而必在M0的切平面上 ，即r对应的点在M0的切平面上，但这些点为渐近曲线上的点，所以渐近曲线在这个切平面上，因此对于同一条渐近曲线上的点，其切平面是同 命题4：曲面上的曲线是曲率线的充要条件是沿此曲线曲面的 法线组成一可展曲面。证明：必要性：曲面上的曲线 是曲率线，有 沿曲线曲面的法线组成的曲面为 所以 ，故为可展曲面。 充分性：设 是曲面上一曲线，沿它曲面的法

59、线构成 一可展曲面 ，即有 但 （它们为有固定长和为切向量） 由此 由主方向判别定理， 是主方向，因此曲线 上每一点的切向量都是主方向，因而为曲率线。 命题5：可展曲面可以与平面成等距对应（简称展为平面）。 证明：在直角坐标下，平面的第一基本形式为 在极坐标下则为（1）柱面： 有 （2）锥面： 有 线曲面就是平面曲线所在的平面，但第一基本形式不变，因此切线曲面也可展成平面。 又由前面结论，可展曲面只有以上三种，综上所述，命题得到证明。 最后指出，上述命题曲面和平面的一部分而言的。 （3）切线曲面： 上式中出现曲率，但没有挠率，所以如果两条曲线曲率相同，即使挠率不同，它们的切线曲面也有相同的第一

60、基本形式，即是等距的，由此，现给定曲率和挠率分别为由曲线论基本定理，除空间位置差别外，确定了唯一条曲线（c），当 从1连续变到0时，得到一个连续的曲线族 ，这些曲线族的切线曲面也变动，但由于曲率不变，由上面的结论，它们的第一基本形式不变， 因此这些切线曲面都是等距的。当此时曲线为平面曲线，但平面曲线的切线仍在此平面上，这时的切 第五节 曲面论的基本定理一些符号注意（1）和号中上，下标与字母选取无关，（2）只对上，下标相同的标号求和。5、1 曲面的基本方程与克氏符号 给出了一个 类的曲面S： ，可确定三个向量对这三个向量求导，就得到一个类似于曲线论中基本公式的式子，但我们希望用一个简便的式子表示

61、，于是令 上式中第一式点乘 ，得到又 ，两边求导得后两式相加并减去第一式得 令 是 的逆矩阵并采用克罗内尔符号还可得到 ，称为第二类克里斯托费尔符号，也称联络系数，ij,k称为第一类的克里斯托费尔符号，采用原来的符号有P133。对于曲面上的正交网，F=0，有P133。对（1）中的第二式两边点乘用过去的符号有P133。于是得到 的导向量公式： 称为曲面的基本方程，其中第一式叫高斯方程，第二式叫Weingarten方程。5.2 曲面的黎曼曲率张量和高斯-科达齐公式一、曲率张量1、定义：曲面的曲率张量（第二类黎曼曲率张量）为2、性质1）反对称性（关于j,k），即 直接代入定义可得到。特别地：性质2）

62、三个下标作循环置换后相加的和为0，即 此式称为Ricci恒等式。（直接验算）3、定义另一方种黎曼曲率张量为由于4个指标有16种排列，所以有16个分量，它们有如下性质： 4、性质1）反对称性：性质2）对称性：性质3）对后三个下标作循环置换后相加的和为0，即 证明： 由反对称性 这里共有12个分量为0，又由对称性及反对称性得到因此16个分量中只有R1212为独立的，它其实就是高斯曲率。最后指出，黎曼曲率张量只与gij有关，即为曲面的内蕴量。二、高斯-科达齐-迈因纳尔迪公式命题1）高斯公式 2）科达齐迈因纳尔迪公式 三、高斯定理：曲面的高斯曲率为内蕴量。 由前面知，Rmijk的16个分量中只有一个是

63、独立的，即R1212 ，并且为内蕴量，利用高斯公式得到 所以 对高斯方程求导 上面两式相减，左边为0，而右边为 的线性组合，但l,m=1，2，所以实际上右边为 的线性组合，可写为 但 线性无关（不共面），故p,q,r均 为0，如 p=0，有即为高斯公式。同理对q=0有：两式合并得（l 改为p）利用 的系数为零得注意：这量共有222=8 个式子，但只有2个是独立的。即为 把克氏符号代入可得到具体表达式，P138。 四、高斯曲率的具体表达式（用第一基本量表示）。对于正交网来说有 F = 0，所以 设是给定的两个二次微分形式，其中是正定的，若和的系数gij和Lij对称且满足高斯-科达齐公式，则除了空

64、间的位置差别外，存在唯一个曲面，以 和为此曲面的第一和第二基本形式。5.3 曲面论基本定理曲面论基本定理 第六节 曲面上的测地线 平面上的直线（1）任一点的切向量平行；（2）曲率为0； （3）直线段是连接点与点之间的最短线段。 曲面上的测地线相当于平面上的直线。6.1 曲面上曲线的测地曲率 一、测地曲率的定义 给定曲面S： （c）是曲面上的一曲线： 在曲线上一点 P 有： 令 ，则 是两两正交的单位向量且成右手系， 都在 P 点的法面上。 定义：曲线（c）在 P 点的曲率向量 上的投影（即在S上P点的切平面上的投影）称为曲线在 P 点的测地曲率。 二、性质 命题1： 证明：注意： 都在 P 点

65、的法面上。 测地曲率的几何意义：曲面 S上的曲线（C），它在 P 点的测地曲率绝对值等于（C）在P点的切平面上的正投影曲线 的曲率。 证明：过（C）的每一点作曲面S在P点的切平面的垂线，于是得到一柱面，这个柱面和S在P点的交线是 ，（C）和 都是柱面上的曲线。在这个柱面上用梅尼埃定理。 取 为柱面上P点的法向量，由于柱面垂直于切平面，所以柱面上任一点的法向量平行于切平面，又P在切平面上，所以柱面在P的法向量 应在切平面上，而（C）点的切向量 也在切平面上，所以柱面在P的法截面就是切向量 与法向量 所确定的平面， 法截面与柱面的交线就是法截线 ，因此柱面在 方向的法曲率 由于 ，其中k为（C）在

66、P点的曲率， 为（C）的主法向量和柱面在P点的法向量 之间的角，即 推论：曲面上的直线的测地曲率为0。 这是因为曲面上的直线在任一点的切平面上的投影还是直线，所以曲率为0。 三、测地曲率的计算公式 特别地，当曲面上的坐标网为正交网时，F=0，代入上式并整理得 这就是测地曲率的一般计算公式。 下面给出一个简单一点的形式。设曲线的切方向与u-线所成的角为 ，则同理代入前面的 kg 的计算公式可得 这个公式称为刘维尔(liouville)公式。也可写为其中 分别为 u 线和 v 线的测地曲率。事实上，对于u线和 v 线来说，分别有 ，代入测地曲率的计算公式有6、2 曲面上的测地线 一、定义：曲面上的

67、一条曲线，如果它的每一点处的测地曲率 为 0，则称为测地线。二、性质1）如果曲面上有直线，则必为测地线。 2）命题3：曲面上非直线的曲线是测地线的充要条件是，除 了曲率为 0 的点外，曲线的主法线重合于曲面的法线。 证明：设曲线（c）为测地线（不是直线），则 但 即 ，所以主法线重合于法线。 反之，若主法线重合于法线，则 ，得 所以曲线是测地线。 推论：如果两曲面沿一曲线相切，并且此曲线是其中一个曲面的测地线，则它也是另一个曲面的测地线。证明：因为这两个曲面沿曲线相切，所以曲面沿曲线的法线 重合，又此曲线的主法线只有一条，所以此曲线的主法 线同时与两个曲面沿此曲线的法线重合，由命题知推论成立。

68、例：球面上的大园一定是测地线，因为大园的主法线 重合于 法线。三、测地线的方程 设（C）为测地线，则它的主法线重合于法线，即但 又 g = det(gkl) 不为0，于是得到测地线方程为 特别地，当坐标曲线正交时，由刘维尔公式也得到曲面上测地线的微分方程为 若给出了初始条件： 则有唯一解例题。四、定理：过曲面上任一点，给定曲面上一个切方向，则存在唯一一条测地线切于此方向。证明：设测地线方程为 满足上述方程的曲线都是测地线，给出了初始条件：s=s0 ，即一个点 和一个切方向由常微分方程理论，方程组有唯一解，即存在唯一一条测地线 （C）：过已知点并切于定方向。6.3 曲面上的半测地坐网一、定义：曲

69、面上的一个坐标网，其中一族是测地线，另一族是 这族测地线的正交轨线，则这个坐标网称为半测地坐标网。 极坐标网是它的特例。二、命题4：给出曲面上的一条曲线，则总存在一个半测地坐标 网，它的非测地坐标曲线族中包含给定的一条曲线。证明：由定理1，过曲面上给定的曲线（C）上的每一点，沿着（C），在切平面上对应于垂直于（C）的方向，存在唯一条测地线 ，然后再作这一族曲面的正交轨线，则这族测地线和它的正交轨线组成了曲面上的一个半测地坐标网，并且 的正交轨线族中包含了（C）。三、在前一节习题6（5）中提到，对于曲面上的半测地坐标网， 有 ，我们现在证明这个结论。首先，由于半测地坐标网是正交的，所以 F=0

70、，半测地坐标网中有一簇坐标曲线是测地线，不妨设为 u 线，dv =0,即 ， 它满足测地线微分方程但由P165，当坐标曲线正交时，即 E 与 v 无关，只与 u 有关，可设在曲面上引进新参数 从而第一基本形式变为6.4 曲面上测地线的短程性 定理2：若给出曲面上充分小的邻域内的两点 P 、Q 则过这两点 在小邻域内的测地线是连结这两点的曲面上的曲线中弧长最短的曲线。 证明：设（C）是曲面上连结 P，Q 的一条测地线，在曲面上选 取半测地坐标网，使曲面上包含（C）在内的一测地线族为u-线，它的正交轨线为v-线，于是曲面的第一基本形式为 不妨设曲线（C）的方程为 v=0 ，P和Q的坐标分别为(u1

71、,0).(u2,0)(u1u2) ，于是沿测地线（C）由P到Q的弧长为又在这个小邻域内连结P和Q的任意曲线 的方程为 v = v(u) ，于是沿 ，从 P到Q的弧长为 只有当 时，上式等号才成立，但此时 v 为常数，即为u-线，而且是过P，Q 的u-线，即（C），表示此时 重合，所以（C）是连结 P，Q的最短线。（C） 由这个定理，我们又称测地线为短程线。注意：定理若不是限制在一个小邻域内则不一定成立。如球面上的大园是测地线，所以球面上不是直径两端的两点，连结它们的大园弧有两段，显然长的不是连结它们两点的最短线，而短的是。6.5 高斯-崩涅 (Gauss-Bonnet)公式 在平面上，三角形的

72、内角和等于180度，但在曲面上的情形可能不大一样，如图：这一节就是把平面上的结果推广到曲面上去。 在曲面S上给出了一个由k条光滑曲线段所围成的曲线多边形，它围成了一个单连通的曲面域G。多边形的边缘记为 。 设曲面的高斯曲率和测地曲第分别为 K,kg ，曲面的面积元素和弧长元素为 ，则的下面的高斯-崩涅公式成立。其中 是 的第 i 个内角的角度， 是外角的角度。 引理：若在曲面上引进半测地坐标网，有 则证明：由于坐标网正交，F=0，由刘维尔公式定理证明：在曲面上引进半测地坐网并由引理得两边沿边缘积分对第二个积分用格林公式令又面积元素并由第五节习题6（5）（P144）知因此第二个积分为 对于（*）

73、式中的第三个积分，可设 的切向量 和u-线所成的角为 ，且由于 ，所以为单位向量， 其中正负号的产生是由沿边界积分时有两种不同的方向，如果我们采用逆时针方向时，可只取正号，即 这时第三个积分变为（*）式变为 当 绕转一周后， 的增量是 ，即边界曲线的切向量转过了 ，它等于 （即分段曲线所转过的角之和）加上所有外角。即于是（*）式变成了 推论1：如果 为一条光滑的曲线，则外角为0，有其中 表示三角形的内角和。故当 特别地，当曲面为平面，K=0 ，多边形的边界为直线（平面上的测地线）所组成时，得到平面上的多边形的外角和公式为推论2：如果 是一个测地三角形，即三条边由三条测地线组成 的三角形，则有

74、对于平面上的三角形有即三角形内角和为6.6 曲面上向量的平行移动 在前面我们看到曲面上的测地线相当于平面上的直线，这里简单对比一下： 平面直线1）曲率为0；2）两点间最短距离是直线段；3）给定一个方向和一点决定一条直线； 曲面上的测地线1）测地曲率为0；2）两点间（小范围）最短距离是测地线； 3）给定一个方向和一点决定一条测地线； 但直线还有一个性质就是直线上任一点处的切向量都是平行的，这个性质是否也可以推广到测地线上去呢？另一个问题是，欧氏空间中的平移具有两条基本的性质：保持线性关系和保持内积，我们希望曲面上的平移至少保持两个性质。这一节就讨论这个问题。一、曲面上的向量及平行移动1 、曲面上

75、的向量：曲面上给定点处切于该曲面的向量，也就 是给定点的切平面上的向量。2 、绝对微分及勒维-基维塔平移 设曲面上一曲线（C）：沿它上面的点M，给出一向量它在点 M 处切于曲面，且沿此曲线给出一向量场。微分 ，从点 M 引 ，一般来说，这个向量不在点 M 的切平面上，因此它不再是曲面在M点的切向量，现在分解它为切平面和沿曲面的法向量 方向上的两个分量。当 从M 点按通常意义下的移动到邻近点 时，得一增量，其主要部分等到于 沿法线方向的分量为 ，则 为 在 方向上的射影，且为单位向量，所以它就是它们的内积，即设切线分量为 这实际上就是 到点 M 的切平面上的投影向量。 我们称点 M 处的向量 和

76、向量 的差为向量 从点 M 沿曲线（C）移动到 的绝对微分，记为 ，即： 当向量从点 M 沿曲线移动到 时， 等到于把它的通常微分 投影到点M 处的切平面上的部分，因此还是曲面上的向量。 当 时，表示向量 从点 M 沿（C）的方向移动到点 时，微分 沿法线 的方向，换言之，把向量投影到点M 的切平面时，我们得到向量 ，这时称向量是向量 从 M 点沿（C）的方向到邻近点 经过平行移动而得到的向量。 这样定义的平移概念与所取的曲线 有关，因此与 称为沿曲线在勒维基维塔意义下的平行向量，即称向量 与 沿曲线 是勒维基维塔平行移动。 特别地，在平面上向量的勒维基维塔平行移动和通常意义下的平移一致，这是

77、由于在平面上 ，所以勒维基维塔平行移动是平面上通常平移在曲面上的推广。3、绝对微分及平行移动的分析表达式 沿曲线（C）上的每个点，由于 为切向量，在这切平面上，以 为基向量建立坐标系，并设 的坐标为由于从式中可看出，只要在上面的式子中去掉法线分量就得到 ，如果它的坐标用 来表示，则 这就是绝对微分的表达式。 特别地，若向量 作平行移动，则 ，即从而得到向量 由点 M 沿方向 作平行移动到邻近一点 的分析表达式：即在平移下， 的坐标微分 可用坐标微分 来表达。4、绝对微分的运算性质 设 是沿曲线（C）的向量场，f 是定义在（C）上的数量函数，则有证明：（1）（2）直接验证。二、平行移动的性质 对

78、于欧氏平面上的平行移动，它(1)保持向量的长度和角度不变，(2)直线上的切向量都是平行的。下面说明曲面上的平移也具有这两个性质。1、levi-civita平移保持两个向量的内积不变，因而保持向量的长度和夹角不变。证明：设 是由曲面S上沿曲线（C）的平行的向量场，则 有 这说明levi-civita平移保持内积不变。由于向量的长度与夹角都是由内积所定义的，故也保持向量的长度和夹角不变。2、曲线（C）为测地线的充要条件是它的切向量在levi-civita平行移动的意义下沿（C）是相互平行的。证明：设（C）： ，s为自然参数，现设它 的切向量沿（C）作平行移动，以 代入平移表达式除以ds 得到 这是测地线方程。即充分性成立。反之逆推可知必要性成立。定理：向量沿一条已知曲面曲线作平行移动的充要条件是沿此曲线所作的切平面的包络所得可展曲面展开在平面上时，所得的向量在平面上为平行移动。 由这个定理可得沿曲线平行移动的向量的作图法，这个作图法在理论上成立。P165。6、7 极小曲面。