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1、第二节第二节 开集与闭集开集与闭集第二章 点集主讲：胡努春开集、闭集开集、闭集lP0为 E的接触点：lP0为 E的聚点：lP0为 E的内点：阐明：要证E是开集，只需证 要证E是闭集，只需证 假设E = E , 那么称E为开集E中每个点都为内点) 假设 ,那么称E为闭集与E紧挨的点不跑到E外例：开区间(a,b)为开集阐明：要证E是开集，只需证 abx 证明：任取x(a,b),取=min|x-a|,|x-b|, 那么 ,从而x是a,b的内点，故(a,b)是开集。例：闭区间a,b为闭集阐明： 要证E是闭集，只需证a b x 证明：任取xa,bc,取=min|x-a|,|x-b|, 那么 ,从而x不是
2、a,b的接触点，从而a,b的接触点都在a,b内，从而a,b是闭集。注：闭集为对极限运算封锁的点集注：闭集为对极限运算封锁的点集l即：A为闭集当且仅当A中的恣意收敛点列收敛于A中的点利用：利用：p0p0为为E E的接触点的充要条件为存在的接触点的充要条件为存在E E中点列中点列pn, pn, 使得使得或或p0p0是是E E的聚点的充要条件为存在的聚点的充要条件为存在E E中的互异的点所成的点中的互异的点所成的点列列pn, pn, 使得使得假设 或 ,那么称E为闭集。 与E接近的点不跑到E外 E为开集注： E为含于E内的最大开集E从而y为E的内点，从而所以x为E的内点，即证明：只需证任取 ，由内点
3、的定义知任取 ，取 E为闭集E证明：只需证任取 ，由聚点的定义知 E为闭集注： 为包含E的最小闭集E从而即x为E的聚点，从而开集与闭集的对偶性开集与闭集的对偶性lP0为 E的接触点：lP0为 E的聚点：lP0为 E的内点：lP0为 E的外点：b.假设E为开集，那么Ec为闭集; 假设E为闭集，那么Ec为开集。a.开集的余集是闭集开集的余集是闭集 lP0为 E的接触点：lP0为 E的内点： 从而x不是Ec的接触点， 也即Ec的接触点一定在Ec内， 从而 ，即Ec为闭集。 证明：设E为开集，即从而闭集的余集是开集闭集的余集是开集lP0为 E的接触点：lP0为 E的内点：证明：设E为闭集，即 任取 ，
4、假设x不是Ec的内点， 那么x的任一邻域内至少有一个属于E的点， 从而x为E的接触点，由为闭集可知x在E内， 这与 矛盾，所以Ec中的点都为Ec的内点，即Ec为开集。开集的性质开集的性质 a. 空集，Rn为开集;b. 恣意多个开集之并仍为开集；c. 有限个开集之交仍为开集。注：无限多个开集的交不一定为开集，如：En=(0,1+1/n),Rn中只需空集和Rn既开又闭，存在大量既不开又不闭的集合，如：E=0,1)A B闭集的性质闭集的性质a.空集，Rn为闭集；b.恣意多个闭集之交仍为闭集；c.有限个闭集之并仍为闭集。注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如：En=0,1-1/n假设E为开集，那么Ec为
5、闭集;假设E为闭集，那么Ec为开集直线上的开集构造直线上的开集构造l定理：直线上的任一非空开集都可独一地表示成有限个或可数个互不相交的开区间的并。( ) ( )( ) ( ) (直线上的闭集或是全直线，或是从直线上挖去有限个或可数个互不相交的开区间所得之集.开集的构造开集的构造直线上的闭集的孤立点必是其他区间的某两个相邻开区间的公共端点;但并不意味无孤立点的闭集定为互不相交的闭区间之并。Rn中的开集普通不能表示成至多可数个互不相交的开区间之并，但总可表示成至多可数个互不相交的半开半闭区间之并.( ) ( )( ) ( ) (6.R6.R中有关紧性的两个结论中有关紧性的两个结论Bolzano-W
6、eierstrass定理： 假设E是Rn中的一个有界的无限集，那么E至少有一个聚点.点列a1 , a2 , a3 , a4 , a1 = (a11, a12, a13, ,a1n) a2 = ( a21, a22, a23, , a2n) a3 = ( a31, a32, a33, ,a3n) l注：对无限维空间不一定成立。详细内容参见教材 p-183例6 Heine-Borel Heine-Borel有限覆盖定理有限覆盖定理 设F为有界闭集，假设开集簇 覆盖F 即 ， 那么 中存在有限个开集U1 ，U2， ,Un，它同样覆盖F注：比较下面几种不同的证法周民强，实变函数 p-36尤承业，根底拓
7、扑学 p-52熊金城，点集拓扑讲义 p-202教材 p-42注： Heine-Borel有限覆盖定理的逆命题也成立可数覆盖定理可数覆盖定理设F为Rn中一 集合，假设开集簇 覆盖F 即 ， 那么 中存在可数个开集U1 ，U2， ,Un ， ，它同样覆盖F提示：利用空间中以有理点为中心，正有理数为半径的圆全体为可数集，开集中的点都为内点，以及有理点全体在Rn中稠密和有理数全体是R的稠密集例：设例：设F F为为R1R1中的有界闭集，中的有界闭集，GG为开集且为开集且那么存在那么存在00，使得当，使得当|x| |x| 时时 ，有，有证明：对恣意的yF，由于yG ，由 组成F的一个开覆盖及有限子覆盖定理，知存在y1, y2, yn F ,于是对每个yF至少属于某个 且y与Gc中的任一点z之间的间隔为那么当 |x|时有 y+xG ，即
