材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转1第第 3 章章 扭扭 转转§3-1 概述概述§3-2 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转§3-3 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩· 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图§3-4 等直圆杆扭转时的应力等直圆杆扭转时的应力· 强度条件强度条件§3-5 等直圆杆扭转时的变形等直圆杆扭转时的变形· 刚度条件刚度条件§3-6 等直圆杆扭转时的应变能等直圆杆扭转时的应变能§3-7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形等直非圆杆自由扭转时的应力和变形*§3-8 开口和闭口薄壁截面杆自由扭转时开口和闭口薄壁截面杆自由扭转时的应力与变形的应力与变形 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转2§3-1 概概 述述M 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转3 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转4变形特点变形特点: Ⅰ. 相邻横截面绕杆的轴线相对转动；相邻横截面绕杆的轴线相对转动；Ⅱ. 杆表面的杆表面的纵向线纵向线(母线母线)变成螺旋线；变成螺旋线；受力特点：受力特点：圆截面直杆在与杆的轴线垂直的平面内受外力偶圆截面直杆在与杆的轴线垂直的平面内受外力偶。
纵向线纵向线 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转5§3-2 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒通常指薄壁圆筒通常指 的圆筒的圆筒当其两端面上作用有外力当其两端面上作用有外力偶时，任一横截面上的偶时，任一横截面上的内内力偶矩力偶矩——扭矩扭矩(torque) 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转6 Ⅰ. 薄壁圆筒横截面上各点切应力的变化规律薄壁圆筒横截面上各点切应力的变化规律表面变形情况：表面变形情况：(1) 周向线绕轴线转动周向线绕轴线转动,形状及尺寸不变形状及尺寸不变(2)周向线间的距离保持不变周向线间的距离保持不变(3) 纵向线仍为直线纵向线仍为直线,但发生倾斜但发生倾斜周向线周向线纵向线纵向线轴线轴线 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转7推论：推论：(1) 横截面形状和大小不变，即横截面象刚横截面形状和大小不变，即横截面象刚性平面一样性平面一样(平截面假定平截面假定)绕轴线转动；绕轴线转动；(2) 横截面间的距离不变横截面间的距离不变 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转8横截面上的应力：横截面上的应力：(1) 只有只有与圆周相切与圆周相切的的切应力切应力( shearing stress )，且，且圆周上所有点的切应力相同；圆周上所有点的切应力相同；(2) 对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布；对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布；(3) 横截面上无正应力，处于横截面上无正应力，处于纯剪切纯剪切状态。
状态 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转9令 ，上式可写为令 ，上式可写为Ⅱ. 薄壁圆筒横截面上切应力计算公式薄壁圆筒横截面上切应力计算公式由由 并结合应力均匀分布的特点得并结合应力均匀分布的特点得 ，于是有，于是有 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转10Ⅲ. 剪切胡克定律剪切胡克定律(Hooke’s law in shear)(1) 薄壁圆筒表面格子的直角均改变了薄壁圆筒表面格子的直角均改变了g g,这种这种直直角改变量称为切应变角改变量称为切应变(shearing strain).(2) 圆筒两个端面绕轴线产生了圆筒两个端面绕轴线产生了相对扭转动角相对扭转动角j j.(3) 在假定切应力均匀分布情况下在假定切应力均匀分布情况下,切应变也均匀切应变也均匀,故有故有g g =j j r0/l,此处此处r0为薄壁圆筒的平均半径为薄壁圆筒的平均半径. 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转11实验表明：当横截面上切应力实验表明：当横截面上切应力t t 不超过材料不超过材料的剪切比例极限的剪切比例极限t tp时，外力偶矩时，外力偶矩Me(数值上数值上等于扭矩等于扭矩T )与相对扭转角与相对扭转角j j 成线性关系成线性关系,从而可知从而可知t t 与与g g 亦成线性关系，即：亦成线性关系，即：—剪切胡克定律剪切胡克定律G—材料的材料的切变模量切变模量(shear modulus)。
材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转12§3-3 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图Ⅰ. 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩P —转轴上输入转轴上输入或输出或输出功率功率n —转轴转轴转速转速外力偶矩外力偶矩Me亦称为亦称为转矩转矩 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转13Ⅱ. 扭转时横截面上的扭转时横截面上的内力内力——扭矩扭矩Me1Me2Me3Me4Me5Me1Me2Me3扭矩符号规定：扭矩符号规定：面对面对选定单元体的选定单元体的截面截面,逆时针转的扭矩为正逆时针转的扭矩为正,顺时针转的扭矩为负顺时针转的扭矩为负.习惯假定扭矩为正习惯假定扭矩为正.T＋＋视线视线Me4Me5T＋＋视线视线 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转III. 扭矩与外力偶矩的关系扭矩与外力偶矩的关系 取截面左边的单元体：取截面左边的单元体： •面对选定单元体的截面面对选定单元体的截面,顺时针转的外力偶在顺时针转的外力偶在截面上产生正的扭矩截面上产生正的扭矩,逆时针转的外力偶在截逆时针转的外力偶在截面上产生负的扭矩面上产生负的扭矩.•扭矩的大小等于外力偶矩的大小扭矩的大小等于外力偶矩的大小.•截面上总的扭矩等于该单元体上所有外力偶截面上总的扭矩等于该单元体上所有外力偶单独作用时在截面上产生的扭矩的代数和单独作用时在截面上产生的扭矩的代数和.Me1Me2Me3T＋＋视线视线 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转以横坐标表示截面位置以横坐标表示截面位置,纵坐标表示各截面扭矩大纵坐标表示各截面扭矩大小小,并按适当比例绘制出的二维图形并按适当比例绘制出的二维图形.IV. 扭矩图扭矩图Me41234Me1Me2Me3n【【【【例例例例3-1 3-1 】】】】 转速转速转速转速 n n = 300 r/min , = 300 r/min ,主动轮主动轮主动轮主动轮1 1输入功率为输入功率为输入功率为输入功率为P P1 1 = 500 kW ,= 500 kW ,从动轮输出功率分别为从动轮输出功率分别为从动轮输出功率分别为从动轮输出功率分别为P P2 2 = 150 kW ,= 150 kW ,P P3 3 = 150 kW , = 150 kW , P P4 4 = 200 kW. = 200 kW. 试画扭矩图试画扭矩图试画扭矩图试画扭矩图. . 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转2 2）画扭矩图）画扭矩图）画扭矩图）画扭矩图 4774.5 N·m 4774.5 N·m9549 N·m9549 N·m 6366 N·m 6366 N·m+ +- -MMe4e41 12 23 34 4MMe1e1MMe2e2MMe3e3n n【【【【解解解解】】】】1 1）））） 计算外力偶矩计算外力偶矩计算外力偶矩计算外力偶矩 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转17【【课堂练习课堂练习】】若将若将从动轮从动轮3与与4对调如对调如图图,试作扭矩图试作扭矩图.这这样布置是否合理？样布置是否合理？4774.5 N·m4774.5 N·m11140.5 N·m11140.5 N·m4774.5 N·m4774.5 N·m+ +_ _对调后对调后4774.5 N·m4774.5 N·m9549 N·m9549 N·m 6366 N·m 6366 N·m+ +_ _对调前对调前MMe3e31 12 24 43 3MMe1e1MMe2e2MMe4e4n n对调后对调后 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转m=k xxO【【例例3-2】】图示杆受矩集度图示杆受矩集度m=k x的线性的线性分布力偶作用，试画出杆的扭矩图分布力偶作用，试画出杆的扭矩图.Tx——m=kxT T( (x x) )T T( (x x)+)+dTdT( (x x) )dxdx 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转(1)(1)变形几何关系变形几何关系 圆轴扭转前的横截面圆轴扭转前的横截面,变形后仍保持为变形后仍保持为平截面平截面,其形其形状和大小不变状和大小不变,半径仍保持为直线半径仍保持为直线,横截面象刚性平横截面象刚性平面一样绕轴线转动了一个角度面一样绕轴线转动了一个角度.从受扭圆轴上同轴截出半径为从受扭圆轴上同轴截出半径为ρ的微段的微段dx,设微段左右端面相设微段左右端面相对转角为对转角为dφ,其端面上承受的其端面上承受的扭矩为扭矩为Tρ,纵向线纵向线AB转角为转角为γρ .OρdφTρTργρdxBAB'Ⅰ. 横截面上的应力横截面上的应力§3-4 等直圆杆扭转时的应力等直圆杆扭转时的应力·强度条件强度条件 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转OρdφTρTργρdxBAB'因因故故即受扭圆轴横截面上任一点的即受扭圆轴横截面上任一点的切应变与该点的半径切应变与该点的半径ρ成正比成正比当当ρ=R时，得时，得γmax=Rθ θ即横截面边沿上各点的切应变最大即横截面边沿上各点的切应变最大令令—单位长度相对扭转角单位长度相对扭转角,同一截面其为常数同一截面其为常数则则 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转（（2）物理关系）物理关系 圆轴处于比例极限圆轴处于比例极限内内,由胡克定律知由胡克定律知即受扭圆轴横截面上任一点的即受扭圆轴横截面上任一点的切应力与该点的半径切应力与该点的半径ρ成正比成正比当当ρ=R时时,得得τmax=GRθ θ即横截面边沿上各点的切应力最大即横截面边沿上各点的切应力最大TτmaxτmaxτmaxτmaxτmaxTτmaxτmaxτmax 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转22(3) 静力学关系静力学关系τρdAρORT ——圆截面的圆截面的极惯性极惯性矩矩,它是一个与圆面它是一个与圆面积有关的几何量积有关的几何量则则即即—抗扭刚度抗扭刚度 考虑到考虑到 令令 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转23 令令 ——抗扭截面模量抗扭截面模量 将将 代入代入 得得 令令ρ =R,则则 则则 TτmaxτmaxτmaxτmaxτmaxTτmaxτmaxτmax 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转24Ⅱ.Ⅱ.极惯性矩极惯性矩IP和和抗扭截面模量抗扭截面模量WP(1)空心空心圆圆截面截面OdD 其中其中(2)实实心心圆圆截面截面 dρρdA=2πρdρ 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转MeMeOzxydxdzdyτ右右τ左左τ上上τ下下F FS S上上上上= =τ τ上上上上dxdzdxdzF FS S下下下下= =τ τ下下下下dxdzdxdz F FS S左左左左= =τ τ左左左左dydzdydz F FS S右右右右= =τ τ右右右右dydzdydz ⅢⅢ. 切应力互等定理切应力互等定理 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转切应力互等定理切应力互等定理 ：：在互相垂直的两个平面在互相垂直的两个平面在互相垂直的两个平面在互相垂直的两个平面上上上上, ,切应力必然成对存切应力必然成对存切应力必然成对存切应力必然成对存在且数值相等在且数值相等在且数值相等在且数值相等; ;二者都垂直于两平面的二者都垂直于两平面的二者都垂直于两平面的二者都垂直于两平面的交线交线交线交线, ,共同指向或共同共同指向或共同共同指向或共同共同指向或共同背离两平面的交线背离两平面的交线背离两平面的交线背离两平面的交线. .该定理在任意应力状态下均成立该定理在任意应力状态下均成立该定理在任意应力状态下均成立该定理在任意应力状态下均成立. .σxσyσzτxyτyxτxzτzxτzyτyzτ τxyxy= =τ τyxyxτ τyzyz= =τ τzyzyτ τzxzx= =τ τxzxz 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转思考：思考：为什么竹竿受扭后为什么竹竿受扭后先沿纵向（母线）破环？先沿纵向（母线）破环？ 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转(1)圆轴扭转时的破坏现象圆轴扭转时的破坏现象 塑性材料如低碳钢在受扭过塑性材料如低碳钢在受扭过程中先屈服程中先屈服,如继续增大载荷如继续增大载荷,试件将沿试件将沿横截面横截面破坏破坏. 脆性材料如铸铁等在受扭过脆性材料如铸铁等在受扭过程中程中,变形始终很小变形始终很小,试件沿与试件沿与轴线成轴线成45º的螺旋面的螺旋面破坏破坏.IⅤIⅤ. 强度条件强度条件低碳钢低碳钢铸铁铸铁 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转•对塑性材料：对塑性材料： τ u＝＝ τ s•对脆性材料：对脆性材料：τ u＝＝ τ b(2)许用切应力和安全系数许用切应力和安全系数 w1.剪切极限应力剪切极限应力构件扭转时，产生过大塑性变形或断裂时横截构件扭转时，产生过大塑性变形或断裂时横截面上的切应力称为剪切极限应力面上的切应力称为剪切极限应力.用用τ u表示表示.w2.许用切应力许用切应力 轴能安全工作时横截面上的最大切应力轴能安全工作时横截面上的最大切应力. n—安全系数安全系数 —许用切应力许用切应力, 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转(3)圆轴扭转的强度条件圆轴扭转的强度条件 和拉压强度条件一样，解决强度计算的三类问题和拉压强度条件一样，解决强度计算的三类问题.—强度条件强度条件 w强度校核强度校核w设计截面设计截面w求许可载荷求许可载荷 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转31【【例例3-33-3】】图示阶梯轴，图示阶梯轴，AB段直径段直径d1=120 mm，，BC段直径段直径d2=100 mm。
MA =22 kN·m，，MB =36 kN·m，，MC =14 kN·m，，材料的许用切应力材料的许用切应力[ [t t ]=]=80 MPa试试校核该轴的强度校核该轴的强度 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转32【【解解】】1））绘扭矩图绘扭矩图MA =22 kN·m，，MB =36 kN·m，，MC =14 kN·m 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转33AB段内：段内：2）求每段最大切应力）求每段最大切应力AB段直径段直径d1=120 mm，，BC段直径段直径d2=100 mm 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转34BC段内：段内：AB段直径段直径d1=120 mm，，BC段直径段直径d2=100 mm3））校核强度校核强度t t2,max >t t1,max且且t t2,max<[t t ] = 80MPa,满足强度条件满足强度条件. . 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转35§3-5 等直圆杆扭转时的变形等直圆杆扭转时的变形·刚度条件刚度条件Ⅰ. 扭转时的变形扭转时的变形等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角相对扭转角(相对角位移相对角位移) j j 来度量。
来度量MeADB CMej jg g 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转u若圆轴在标距为若圆轴在标距为l的两横截面间的两横截面间G、、IP、、T为为常数，则相对扭转角：常数，则相对扭转角： —单位为弧度单位为弧度(rad) —单位为度单位为度 (º)u若圆轴的若圆轴的G(x)、、IP (x) 、、T (x)为横截面位置为横截面位置x的连续函数，则相对扭转角：的连续函数，则相对扭转角： 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转u若圆轴在第若圆轴在第i段标距段标距li内内Gi、、IPi、、Ti为常数，为常数，则相对扭转角：则相对扭转角： —单位为弧度单位为弧度(rad) —单位为度单位为度 (º) 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转(a)38【【例例3-43-4】】钢制实心圆轴中钢制实心圆轴中, ,M1=1 592 N·m,M2 = 955 N·m,M3 = 637 N·m,lAB = 300 mm,lAC = 500 mm,d = 70 mm ,切变模量切变模量G = 80 Gpa. .试求横截面试求横截面C 相对于相对于B的扭转角的扭转角j jBC . .【【解解】】1））求求I I、、IIII两段的扭矩两段的扭矩 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转39(a)2））设设A截面固定截面固定, ,分别求分别求B、、C截面相对于截面相对于A截面截面的扭转角的扭转角j jAB、、j jAC 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转40(a)3））求求C截面相对于截面相对于B截面的扭转角截面的扭转角【【思考思考】】C截面相对于截面相对于B截面的转向？截面的转向？ B截面相对于截面相对于C截面的转向？截面的转向？ 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转【【例例3-5】】图示有锥度的实心圆轴长为图示有锥度的实心圆轴长为l,两端直径分两端直径分别为别为D和和d,沿轴线承受矩集度为沿轴线承受矩集度为m的均布力偶的均布力偶,轴材轴材料的剪切弹性模量为料的剪切弹性模量为G.【【解解】】1）求）求x截面的扭矩截面的扭矩ldDm写出轴写出轴x截面上半径为截面上半径为ρ ρ的点的点(x,ρ ρ) )的切应力的切应力τ τ (x,ρ ρ) ) 及及x截面的扭转角截面的扭转角.T(x)dxmT(x)+d T(x)xdx 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转2）求）求x截面的极惯性矩截面的极惯性矩x截面的直径截面的直径x截面极惯性矩截面极惯性矩3）求）求 (x,ρ)点的应力点的应力ldDx 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转4）求）求x截面的扭转角截面的扭转角ldDx 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转—轴单位长度最大扭转角轴单位长度最大扭转角(º/m).[θ]—轴单位长度许用扭转角轴单位长度许用扭转角(º/m).和强度条件一样，可解决刚度计算的三类问题和强度条件一样，可解决刚度计算的三类问题 .w刚度校核刚度校核w设计截面设计截面w求许可载荷求许可载荷Ⅱ. 刚度条件刚度条件 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转45【【解解】】1））按强度条件求所需外直径按强度条件求所需外直径D【【例例3-6】】某空心圆轴内外直径之比某空心圆轴内外直径之比a a = 0.5 ,材料许材料许用应力用应力[t t ] = 40 MPa,切变模量切变模量G= 80 GPa.轴的最大轴的最大扭矩扭矩Tmax = 9.56 kN·m,许可单位长度扭转角许可单位长度扭转角[θ]=0.3ºm.试选择轴的直径试选择轴的直径. 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转462）） 按刚度条件求所需外直径按刚度条件求所需外直径D3）空心圆轴所需外直径为）空心圆轴所需外直径为D≥125.5 mm,由由a a = d/D = 0.5知知 材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转47 。