14.3.2 公式法第十四章 整式的乘法与因式分解第2课时 运用完全平方公式因式分解 学习目标1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．．（重点）2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解 进行计算．（难点） 导入新课导入新课复习引入1.因式分解：把一个多项式转化为几个整式的积的形式.2.我们已经学过哪些因式分解的方法？1.提公因式法2.平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b) 讲授新课讲授新课用完全平方公式分解因式一你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？同学们拼出图形为：aabbabababa²b²ab 这个大正方形的面积可以怎么求？a2+2ab+b2（（a+b））2 =a aba ab ba²ababb²（（a+b））2 a2+2ab+b2=将上面的等式倒过来看，能得到： a2+2ab+b2 a2－－2ab+b2 我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫作完全平方式.观察这两个式子：（1）每个多项式有几项？（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？三项这两项都是数或式的平方，并且符号相同是第一项和第三项底数的积的±2倍 完全平方式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 完全平方式: 简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央.凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.2ab+b2±=(a ± b)²a2首2+尾2±2×首×尾(首±尾)2两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 3.a²+4ab+4b²=( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )² 2.m²-6m+9=( )² - 2· ( ) ·( )+( )² =( )² 1. x²+4x+4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )²x2x + 2 aa 2ba + 2b2b对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空：mm - 33x2 m3 下列各式是不是完全平方式？ （（1））a2－－4a+4; （（2））1+4a²; （（3））4b2+4b-1; （（4））a2+ab+b2; （（5））x2+x+0.25.是（2）因为它只有两项；不是（3）4b²与-1的符号不统一；不是分析：不是是（4）因为ab不是a与b的积的2倍. 例1 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( ) A . 11 B. 9 C. -11 D. -9B解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x×(-3),故可知N=(-3)2=9.变式训练 如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.解析：∵16=(±4)2，故-m=2×(±4)，m=±8.±8典例精析 方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解． 例2 分解因式：（（1））16x2+24x+9；； （（2））- -x2+4xy- -4y2.分析：：(1)中， 16x2=(4x)2, 9=3²,24x=2·4x·3, 所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + (3)2.2ab+b2a2(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为- -(x2- -4xy+4y2),然后再利用公式分解因式. 解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x + 3)2；；= (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2 (2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2) =-(x-2y)2. 例3 把下列各式分解因式： (1)3ax2+6axy+3ay2 ；；(2)(a+b)2-12(a+b)+36.解: (1)原式=3a（（x2+2xy+y2）） =3a（（x+y））2；；分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36. (2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2. 利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. 例4 把下列完全平方公式分解因式：(1)1002－－2×100×99+99²；；(2)342＋＋34×32＋＋162. 解：(1)原式=（（100－－99)² (2)原式＝(34＋＋16)2本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算，=1.＝＝2500. 例5 已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．＝＝112＝＝121.解：∵x2－－4x＋＋y2－－10y＋＋29＝＝0，，∴(x－－2)2＋＋(y－－5)2＝＝0.∵(x－－2)2≥0，，(y－－5)2≥0，，∴x－－2＝＝0，，y－－5＝＝0，，∴x＝＝2，，y＝＝5，，∴x2y2＋＋2xy＋＋1＝＝(xy＋＋1)2几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0. 方法总结：此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答问题． 例6 已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．∴△△ABC是等边三角形．解：由a2＋＋2b2＋＋c2－－2b(a＋＋c)＝＝0，，得 a2－－2ab＋＋b2＋＋b2－－2bc＋＋c2＝＝0，，即(a－－b)2＋＋(b－－c)2＝＝0，，∴a－－b＝＝0，，b－－c＝＝0，，∴∴a＝＝b＝＝c，， 当堂练习当堂练习1.下列四个多项式中，能因式分解的是( ) A．a2＋1 B．a2－6a＋9 C．x2＋5y D．x2－5y2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________．BB14.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________ ．±4 (2)原式4.计算：(1)38.92－－2×38.9×48.9＋＋48.92.解：(1)原式＝－－48.9)2＝＝100. 5.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值； (2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．原式＝2×52＝50.解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.当a－b＝3时，原式＝32＝9.(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2. 当ab＝2，a＋b＝5时， 课堂小结课堂小结完全平方公式分解因式公公式式a2±2ab+b2=(a±b)2特特点点（（1 1））要求多项式有三项三项. .（（2 2））其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负. 。