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1、圆的参数方程及参数方圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化程与普通方程的互化 一、知识回顾：一、知识回顾：参数方程的概念：参数方程的概念： 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标任意一点的坐标 x，y 都是某个变数都是某个变数 t 的函数的函数 那么方程组就叫做这条曲线的那么方程组就叫做这条曲线的参数方程参数方程，联系变数联系变数 x, y 的变数的变数 t 叫做叫做参变数参变数，简称，简称参数参数。 并且对于并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所的每一个允许值，由方程组所确定的点确定的点 M(x, y) 都在这条曲线上，都在这条曲线上，二
2、、圆的参数方程二、圆的参数方程1. 圆心为原点半径为圆心为原点半径为r 的圆的参数方程的圆的参数方程. 其中参数其中参数的几何意义的几何意义是是OM0绕点绕点O逆时针旋转到逆时针旋转到OM的位置时，的位置时，OM0转过的转过的角度角度 圆心为圆心为圆心为圆心为 ，半径为半径为半径为半径为r r 的圆的参数方程的圆的参数方程的圆的参数方程的圆的参数方程一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，另外，要注明参数及参数的取值范围。另外，要注明参数及参数的取值范
3、围。另外，要注明参数及参数的取值范围。另外，要注明参数及参数的取值范围。 例例1 如图如图,圆圆O的半径为的半径为2，P是圆上的动点，是圆上的动点，Q(6,0)是是x轴上的定点，轴上的定点，M是是PQ的中点，当点的中点，当点P绕绕O作匀速圆周作匀速圆周运动时，求点运动时，求点M的轨迹的参数方程。的轨迹的参数方程。yoxPMQ解：设点解：设点解：设点解：设点MM的坐标是的坐标是的坐标是的坐标是(x, y),(x, y),则点则点则点则点P P的坐标是的坐标是的坐标是的坐标是(2cos(2cos ,2sin,2sin ). ).由中点坐标公式可得由中点坐标公式可得由中点坐标公式可得由中点坐标公式可
4、得因此，点因此，点因此，点因此，点MM的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是 例例例例2. 2. 已知已知已知已知A A（11，0 0）、）、）、）、B B（1 1，0 0）, P, P为圆为圆为圆为圆上的一点上的一点上的一点上的一点, ,求求求求 的最大值和最小值以及对应的最大值和最小值以及对应的最大值和最小值以及对应的最大值和最小值以及对应P P点点点点的坐标的坐标的坐标的坐标. . 设设P( x, y ) 则则最大值和最小值分别为：最大值和最小值分别为：60和和20；取得最大、最小值时取得最大、最小值时P的坐标分别为的坐标分别为三、参数方程和普通方程的互
5、化三、参数方程和普通方程的互化 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式形式. .为了研究方便，经常要将两种形式进行为了研究方便，经常要将两种形式进行互化互化1. 将参数方程化为普通方程将参数方程化为普通方程一般地通过消参可以将参数方程化为普通方程一般地通过消参可以将参数方程化为普通方程注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，否则，互化就是不等的取值范围保持一致，否则，互化就是不等价的价的. 例例3、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表
6、示什么曲线？各表示什么曲线？解解解解: : (1)(1)由由由由得得得得代入代入代入代入得到得到得到得到这是以（这是以（这是以（这是以（1 1，1 1）为端点的一条射线；）为端点的一条射线；）为端点的一条射线；）为端点的一条射线；所以所以所以所以把把把把得到得到得到得到(1)(2)(3)x=t+1/tx=t+1/ty=ty=t2 2+1/t+1/t2 2(1) ( x- -2 )2 + + y2 = = 9(2) y = = 1- - 2x2（- - 1x1）(3) x2 - - y = 2（x2或或x- - 2）练习、将下列参数方程化为普通方程：练习、将下列参数方程化为普通方程：步骤：步骤：
7、（1）消参；）消参； （2）求定义域。）求定义域。B B例例4 参数方程参数方程表示（表示（表示（表示（ ）（A A）双曲线的一支）双曲线的一支）双曲线的一支）双曲线的一支, , 这支过点（这支过点（这支过点（这支过点（1, 1/21, 1/2）; ;（B B）抛物线的一部分）抛物线的一部分）抛物线的一部分）抛物线的一部分, , 这部分过（这部分过（这部分过（这部分过（1, 1/21, 1/2）; ;（C C）双曲线的一支）双曲线的一支）双曲线的一支）双曲线的一支, , 这支过点（这支过点（这支过点（这支过点（1, 1/2);1, 1/2);（D D）抛物线的一部分）抛物线的一部分）抛物线的一
8、部分）抛物线的一部分, , 这部分过（这部分过（这部分过（这部分过（1, 1/2).1, 1/2).2.2.普通方程化为参数方程：普通方程化为参数方程：普通方程化为参数方程需要引入参数：普通方程化为参数方程需要引入参数：普通方程化为参数方程需要引入参数：普通方程化为参数方程需要引入参数：如：直线如：直线如：直线如：直线 l l 的普通方程是的普通方程是的普通方程是的普通方程是 2x-y+2=0 2x-y+2=0，可以化为参数方程，可以化为参数方程，可以化为参数方程，可以化为参数方程: : 一般地一般地一般地一般地, , 如果知道变量如果知道变量如果知道变量如果知道变量x x, y, y中的一个
9、与参数中的一个与参数中的一个与参数中的一个与参数t t的关系的关系的关系的关系, ,例例例例如如如如x=f(t)x=f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变量与参数，把它代入普通方程，求出另一个变量与参数，把它代入普通方程，求出另一个变量与参数，把它代入普通方程，求出另一个变量与参数t t的的的的关系关系关系关系y=g(t)y=g(t)，那么，那么，那么，那么: :就是曲线的参数方程。就是曲线的参数方程。就是曲线的参数方程。就是曲线的参数方程。 在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,
10、yx, y的取的取的取的取值范围保持一致值范围保持一致值范围保持一致值范围保持一致例例例例5 5 求椭圆求椭圆求椭圆求椭圆的参数方程：的参数方程：的参数方程：的参数方程：(1)(1)设设设设为参数；为参数；为参数；为参数；(2)(2)设设设设为参数为参数为参数为参数. .为什么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？为什么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？为什么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？为什么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？在在在在y=xy=x2 2中，中，中，中，x xR, y0R, y0，因而与因而与因而与因而与 y=x y=x2 2不等价；不等价；不等价；不等价；练习
11、练习练习练习: :曲线曲线曲线曲线y=xy=x2 2的一种参数方程是（的一种参数方程是（的一种参数方程是（的一种参数方程是（ ）. .在在在在A A、B B、C C中，中，中，中，x, yx, y的范围都发生了变化，的范围都发生了变化，的范围都发生了变化，的范围都发生了变化，而在而在而在而在D D中，中，中，中， x, y x, y范围与范围与范围与范围与y=xy=x2 2中中中中x, yx, y的范围相同，的范围相同，的范围相同，的范围相同，代入代入代入代入y=xy=x2 2后满足该方程，后满足该方程，后满足该方程，后满足该方程，从而从而从而从而D D是曲线是曲线是曲线是曲线y=xy=x2 2的一种参数方程的一种参数方程的一种参数方程的一种参数方程. . 在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使x x，y y的的的的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的. .解：解：解：解：
